Teoria Matematica Finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA

La operazione finanziaria e' un'insieme di atti che prevede uno scambio di capitale in momenti di tempo differenti

X(t) = [ (C,x₁,x₂,...,x_n) / (t,t₁,t₂,...,t_n) ]  successioni di importi (nominali) succ successioni di tempi (scadenze)

o

Se X_io = importatore Se X > 0 = discordo

Lo spirimentiamento = deposifriamo oggi una certa o montante C préstué

M = C + J = intestesso totale

i = Tasso unitario di instesser c'est periodi o una un piu frazione

Aper dobbiabi lo j o laglante tra car el lo boggam decidder quole tepilene - div itesser ste

1 - Regime a intersse numero 2 - Regime d'intenesse conposto

REGIME DI INTERESSE SIHPLICSEC Avec...l'anv...mon

Ne importo indiputo per un periodo attetto di 1 anno pomeile intersse insocente ditetr elle somme replicate lor... stad. t 'interesse

M = C(1 + t) ...a questo ajeio dinunclaro M = Lc^t ci T ...t ^4laice

se non è convertibile

Formula Inversa di VA = R * (1 - (1+i)^-n) / i

Dimostrazione:

VA = R * q_mi

q_mi = (1+i)^-n

Dimostrazione formula rendita perpetua posticipata VA = R / i

quando k tende ad infinito S_n diventa

• Sicuramente q_n converge a 0
• in conclusione VA = R / i

Lo stesso vale per quella anticipata

Dimostrazione formula rendita temporanea posticipata (durata n)

1. Considero una rendita temporanea immediataVA = R / i
2. Considero anche una rendita perpetua
3. Dalla differenza ottengo la rendita temporaneaVA = R - R / (1+(1+i)^m)

Questo è un modo tecnico per andare a costruire il flusso di cassa di una rendita.

Rendimento: Yield to Maturity

Il rendimento di un'obbligazione è il tasso di interesse determinato dall'implicita del valore attuale della successione di pagamenti (cedole) e dal prezzo attuale.

Questo tasso è detto rendimento a scadenza (YTM), perché è incassato su base annua. Se il TIR dell'obbligazione al prezzo attuale è inferiore, allora:

Rendimento alla scadenza Y per cui:

P = VN (TASSO TRA) [^C/_(1+i)ⁿ+^M/_(1+i)ⁿ]

i = il valore delle cedole attuali

• C: valore cedole attuali
• T: il numero di periodi in cui ancora si riscuotono le cedole
• M: atto di valore allattivo

Valore futuro annuo. Calcolato rispetto al tasso di interesse annuo.

Teorema del prezzo dell'obbligazione

Il prezzo di un'obbligazione, con le cedole rimanenti e rendimento attuale di scadenza, così:

P = VN (INTERO) [^C/_(1+i)^m+^M/_(1+i)^m]

Per tracciare il rendimento di due tratteggiare questo equazione rispetto al rischio non è possibile il tradizio di dimensione.

Curva Prezzo-Rendimento

Effetto del Tasso Cedolare

P e C è alto il tasso cedolare (NC è alto il prezzo). Due titoli con stesso attualità (2 anni), quindi:

• λ < C sopra la parità
• λ > C sotto la parità

λ = (1+i)^m - im

Effetto dello Scudo

P è alto il tasso dello scudo, il prezzo di due titoli con stessa durata:

Δλ > 10, subisce uno Δp > 1

Duration Rendita/annuita' anticipata

• Rendita/annuita' perpetua
• Rendita/annuita' perpetua composta

R = VA * (i / (1-1/(1+i)ⁿ))

Durata media per pezzo flusso R_i, può essere calcolata con durata di un bond, flussi doppi calcolati in modo indiretto

Variazione al rendimenti del pezzo V_i = D / (1+i)^t

Durata (D): Somma (D * R / A)

Durata di una rendita/annuita' perpetua composta = Durata di una rendita perpetua composta

Esempio: z: 10y - scelta T. Ricavo rendita perpetua anticipata e una zero coupon bond al 10% annua

• In base al rischio di tasso
• Calcolo la Duration e prediligo le minore
• Durata Zero coupon bond = 10 (esattamente la durata)
• Rendita perpetua posticipa = 1 + 0,1 + (1 + i)

Sceglieremo lo zero coupon bond

Duration

VA: S:

t x ∑_t (0,t) - ∑_t (1,1+0,t)^-i

Scorporo:

Prendere prezzo di emissione BTP ed eliminare i flussi cedolari calco con tasso cedolare 3,5%

• (0,1) = 3,5%
• (0,2) = 3,5%
• (0,2) = 103,5
• 35
• 35
• 103,5
• 0
• 1
• 2

P₁: 3,5 (1+i(0,1)^-1) + 3,5 (1+i(0,2)^-2) + 103,5 (1+i(0,3)^-3) = 99,65

I_d = (3,5 (1)(0,4)^-1) + 2; 35,7 (0,2)^-2; 3,08 5 (0,2)

P₂ 99,65

RICALCARE I TASSI DAL MERCATO

• R = VN (1 + i(0,t)^t)

(0,1) = P_t / VN_t

N = 1+

Estratte tasse postai (0, t) BTP con scadenza t

VN (0,t) = P / (i^r)^t - i

Generalmente vengono utilizzati tassi di SSF nel mercato generano loc. dei nelle base allo comprendendone il tasso dei guasti nel perso e quindi nel tasso

QUANDO HO I PREZZI UND NON HO I TASSI

• > SE HO 2 BTP E UN BTP

u(0,0,5) = P₁ / VN

u(0,1) = P₂ / VN

u(0,4,5) = P₃

Cedere nel BTP in considerando u(0,t)