Matematica finanziaria - teoria

ORALE MATEMATICA FINANZIARIA

Lez. 1

Le operazioni finanziarie sono scambi tra importi monetari che si possono essere semplici (2 importi) o complesse (> 2 importi)

C sono:

• operazioni di capitalizzazione
• operazioni di attualizzazione

La situazione finanziaria elementare è:

(C, f) ------>

Quando C ↔ M

to t

C ... capitale iniziale

M ... montante finale

Quando ho il valore attuale C e devo trovare il montante M uso legge di capitalizzazione

Quando ? C < ------ M

io t

ho il montante M e devo trovare il valore scontato C uso legge di attualizzazione

Formule:

I = M - C = D

M = C + I

M - I = C

(^I/_C = ^{M - C}/_C) tasso di interesse

(^D/_M = ^{M - C}/_M) tasso di sconto

Problemi di monotonia

H(a) = F(C₁, i₀, t)

ABOMINU ... definita per ogni C, i₀, t ...

- F(C₁, i₀, t₁) = C con C₂ > C₁

- F(C₂, i₂, t₁) < F(C₂, i₀, t) con t₂ > t₂ > 0

Inoltre

- F(C₁, i₀, t) = C F(C₁, i₀, t)

- M(t), C - F(C₁, i₀, t), C – j(t)

- f(t) = [i, i, i]

- f(t) = 1 - f^a(j) > 0 - t(t) ... rispetto al tempo

ossia se f(t) è derivazione allora f'(t) > 0

ESSENDO ⁱ/_C = f,'c(i - 1)/C

tasso di interesse

_c^c = C [j(t', a) - 1]

f(t) > 1 → f(n) > f(n + i(<n [r(n))(pi))

generato d-unusato di capitale intuso

INTERESSE ANTICIPATO

V(t) = B_n - B₀ * d

B_m = d * d^m

t = o k. o K = 1

• V(t) - V(o) = - d t
• V(t) = V(o) - d t

Per assicurazioni C = M . V(t) = M (1 - d t)

f(t+h) = ¹/_V(t) => 1 / 1 - d t

f(t) => f(t) - 1 * ¹/_{d t}= ¹/_{- d t}

f(t) = f'(t) * _d => ^d/_{1 - d t} NON È SCINDIBILE

m(x) = f(t + h) = ¹/_{1 - d t + h l}

f(x) . f(h) = ¹/_{(1 - d t + h l) . (1 - d h)}

CAPITALIZZAZIONE A TASSI VARIABILI

• i.a. M = C + i_t t_o + C_to (t_ot₁)...
• i.c. M - C_{(1tn + Ctn)(t1-tn)...}

Vedi confronto grafico tra tassi variabili.

FORMULE:

R_k = C_k + I_k

E_t = S_t - D_n Sⁱ

Sⁱ: C₁ + C₂ + ... + C_n

E₀ = Sⁱ D_k = D_k-1 - C_k

i_k = D_k-1 [t_n - t_n-k]^an

se t_n - t_n-k = 1

D_k = R ⋅ a_n I_k = R ⋅ a_n-k+1

CK_k = R ⋅ y^n-k+1

N.B. AMMORTAMENTO FRANCESE:

tate costanti a quote capitale progressive

R_vj: 0 1 2 3 n

Sⁱ: R ⋅ q_n S ⋅ R/S q_n+1

D_k: R ⋅ q_n S ⋅ R

EK = S^i' - D_k

Quindi: C_k = C_k-1 ⋅ (1 + i)

quote capitale in progressione geometrica di ragione (1 + i)

RATEO DI INTERESSE

La parte di cedola già maturata dall'ultimo godimento ma non ancora staccata: es.

Rateo = Ck * (t - t_n-1) / (t_n - t_n-1)

MERCATO SECONDARIO

corso "ex-quo": prezzo che viene pagato per la negoziazione dei titoli obbligazionari nel mercato secondario e che comprende le rateo di interesse

CORSO "EX QUO" = CORSO SECCO + RATEO

"CEDOLA DELLA REDDITIVITÀ" DI UN TITOLO

RENDIMENTO EX-POST

la possibilità di misurare la redditività di un investment tra due date precise t e T non utilizzabile perché si pone il problema di conoscere la redditività tra t e T

VALUTAZIONE EX-POST

• X titolo obbligazionario investimento effettuato all'epoca t con termine in T
• P(X_t, t) prezzo titolo pagato in t per l'investimento
• P(X_t, T) quotazione titolo all'epoca T (100)

TASSO DI RENDIMENTO

r = (P_{(Xt, T)} - P_{(Xt, t)}) / P(X_t, t)

TASSO DI RENDIMENTO ANNUO EX-POST

i.c.c. k_{e ex-post} = (V(X_{T; Xt)^1/n / P(Xt)) - 1}

i.s.i. r_{s ex-post} = (V(X_{t, T}) - P(X_t, t)) / ((T - t) * P(X_t, t))

Con V(X_t, T) valore finale all'epoca T dell'investimento effettuato in t (100)

• Se X z.c.b V(X_t, T) = P(X_t, T)
• Se X titolo con cedole V(X_t, T) tiene conto del reinvestimento delle cedole incassate nel periodo considerato

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Legge di probabilità su più teste

nP_xy = nP_x|y = nP_x|u = C_x+m^m C_y-m^y

nP_xy = Sⁿ C^{(n-1) 2c} n q^c c^c

nP_zz = Sⁿ q C^{(n-1) 2c} 2c 2

2c² = c^x c⁴

Assicurazioni

Condizione di equilibrio dell'oper. assicurative e opportunità dell'equivalenza tra premio e valore attuale atteso della prestazione assicurative

Assicurazioni rati vita

P_x

E(x) = C ⋅ vⁿ nP_x

Supponendo C=1

E_x = vⁿ nP_x = (1+i)^-n nP_x

nE_x = vⁿ nP_x = vⁿ nP_x = vⁿ P_xy = J^u+r P_ux = J^n+x r_n+y = D_x+n D_x

D_x = v^x l_x → simbolo di commutazione caso vita

Rendita vitalizia

E(x) = vⁿ a(1+q_x) = (v^1+q) (1+q_x) a(x)

v ⋅ vⁿ naQ_x = (1vⁿ v^w-1 - a_x) v_n a^v-1 ax

NV = Σ Dt = D_x + (D_x+2 Dx) + D_ux = Σ D^x = Σ (p = D^x)

N_x+1 = E^x D_t + πt = N_x+1 / D_x

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