Teoria Matematica applicata

DEFINIZIONI IMPORTANTI PER ESAME MATEMATICA

• Definizione di funzione, dominio, codominio, immagine, suriettività, iniettività, invertibilità:

Siano A e B due insiemi non vuoti, una funzione f definita in A a valori in B è una legge di natura qualunque che a ogni elemento x di A fa corrispondere uno e un solo elemento y = f(x) di B.

L'insieme A si chiama dominio di f, si indicherà con dom(f) e si chiamerà anche insieme di definizione. L'insieme B in cui la funzione prende i propri valori si chiama codominio della funzione. L'insieme di tutti i possibili valori f(x), cioè il sottoinsieme di B di elementi che sono associati ad almeno un elemento del dominio, viene chiamato immagine di f. L'immagine di una funzione f sarà indicata come im(f) oppure f(A) dove A è il dominio. In termini di insiemi, per f : A → B, y ∈ im(f) se e solo se y = f(x) per qualche x ∈ A.

Sia f : A → B una funzione, se b ∈ A,

Un elemento x_A si chiama controimmagine di b tramite f quando f(x) = b.

Funzione suriettiva: la funzione si dice suriettiva se ad ogni elemento di B è associato almeno un elemento di A. Il sottoinsieme b è quindi uguale all'insieme B cioè: im(f) = B.

Funzione iniettiva: la funzione si dice iniettiva se ad ogni elemento di B è associato al più un elemento di A. Quindi è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Funzione biettiva: una funzione è detta biunivoca o biettiva quando è suriettiva e iniettiva.

Invertibilità: solo le funzioni iniettive sono invertibili. La funzione inversa di f è f^-1.

Intervallo: un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde ad una semiretta o ad un segmento della retta reale. Esso può essere chiuso o aperto a seconda che i suoi estremi siano o meno compresi all'intervallo.

Si chiama intorno di Xo un qualunque intervallo.

aperto contenente Xo.

• Funzione composta:

Siano f : A → B, g : B → C due funzioni, si dice funzione composta di f e g la funzione di A in C che si indica con g ◦ f . Quindi (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

• Funzione inversa:

Siano A, B due insiemi non vuoti, f una funzione iniettiva di A in B. Si chiama funzione inversa di f la funzione da im(f) in dom(f), quindi da B in A, che associa a ogni elemento dell'immagine la sua unica controimmagine. La funzione inversa di f viene denotata con il simbolo f ^-1.

• Descrivi le funzioni trigonometriche, le loro proprietà e le loro funzioni inverse:

Dato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, la circonferenza C di centro l'origine e raggio 1 è l'insieme dei punti P(x, y) del piano per cui x^2 + y^2 = 1. Chiameremo C circonferenza goniometrica. Immaginiamo che il punto P si trovi nella posizione (1, 0) e inizi a ruotare su C descrivendo la parte di circonferenza contenuta nel primo quadrante (x, y).

≥ 0). Se P descrive un arco di lunghezza t > 0 indichiamo con P(t) il punto di arrivo. Se P simuove in senso orario possiamo comunque associare ancora il punto P(t) al valore t < 0 sepercorro un arco di lunghezza |t|, in senso opposto al precedente.

Per t variabile da 0 a 2π (con π, pi greca, si indica la lunghezza della semicirconferenza diraggio unitario) il punto P(t) percorre l’intera circonferenza goniometrica. Si definisconoallora il coseno e il seno di t mediante cos(t) `e l’ascissa di P(t) (coseno) sin(t) `e l’ordinatadi P(t) (seno).

Si possono derivare varie proprietà delle funzioni circolari. Innanzitutto esse sono funzioniperiodiche e quindi si ripetono e gli stessi valori si ripresentano dopo un certo T. Inparticolare, dopo aver compiuto un giro di circonferenza, ossia per T = 2π abbiamosin(t) = sin(t + 2π); cos(t) = cos(t + 2π). ∀ ∈

Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto all’origine t R

si ha sin(t) = -sin(-t). Una funzione con questa proprietà si dice funzione dispari. Il grafico della funzione coseno, ∀ ∈ invece, è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, t R si ha cos(t) = cos(-t). Funzioni con simmetria uguale a quella della funzione coseno si dicono funzioni pari. Altre funzioni trigonometriche sono secante, cosecante, tangente, cotangente. Le funzioni trigonometriche, in quanto periodiche, non sono iniettive. Tuttavia sono strettamente crescenti o decrescenti su opportuni intervalli, le restrizioni su tali intervalli sono iniettive e quindi invertibili. Per ciascuna funzione si sceglie una cosiddetta regione fondamentale, cioè un insieme su cui la restrizione della funzione risulti iniettiva. In ogni regione fondamentale si considera la restrizione della funzione trigonometrica e quindi la funzione inversa di quest'ultima. • Limite ∈ Si dice che f tende al limite L R quando x tende a x0 e si

scrive lim_x→x0 f(x) = L se f si avvicina arbitrariamente a L quando x si avvicina a x0.

Teorema di unicità del limite: Una funzione non può avere due limiti differenti, se lim_x→x0 f(x) = L, lim_x→x0 f(x) = L ′ , allora necessariamente L = L ′ .

Teorema dei due carabinieri: Se f, g, h : A → R, A R, sono tali che g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per x∈ I(x0, r) \ {x0}, x0 punto di accumulazione di A, r > 0, e se lim_x→x0 g(x) = lim_x→x0 h(x) = L allora lim_x→x0 f(x) = L.

Funzione continua⊆ ∈Sia f : A → R, A R, x0 A, x0 punto di accumulazione di A, la funzione f `e detta continua nel punto x0 se lim_x→x0 f(x) = f(x0). Nel caso in cui la funzione f sia continua in tutti i punti del dominio A si dice che la funzione è continua in A.

Teorema dei valori intermedi: Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], se y `e un numero reale ∈ compreso tra f(a) e f(b) allora esiste un numero reale r (a, b) tale

che f(r) = y. ∈Teorema degli zeri: Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], se f(a)f(b) < 0, allora esiste c (a, b)tale che f(c) = 0.

Teorema di Weierstrass: Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], allora esiste un numero reale∀ ∈positivo k tale che |f(x)| ≤ k, x [a, b]. Esistono inoltre due punti x0 (punto di minimo∀ ∈assoluto) e x1 (punto di massimo assoluto) tali che f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1), x [a, b].

• Successione numerica: Una successione numerica f è una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale a di n.

• Derivata: Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a,b] si chiama derivata della funzione nel punto c, interno all’intervallo, il limite, se esiste ed è finito per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c.

• Funzione derivata: Sia f : I → R, possiamo considerare i punti del dominio I in cui tale funzione `e derivabile e costruire una nuova funzione che

associ a x il valore f' (x), x → f' (x), f derivabile in x. La nuova funzione così definita si chiama funzione derivata e sarà indicata con f' (x). Teorema Derivata della funz. composta: Se f è definita in un intorno di x0 e derivabile in x0, se g è definita in un intorno di f(x0) e derivabile in f(x0) allora la funzione composta g ◦ f (supponendo di essere nelle condizioni di poterla definire) è derivabile in x0. Teorema Derivata della funzione inversa: Sia f : (a, b) → R una funzione continua estrettamente monotona, se f è derivabile in x0 e f' (x0) ≠ 0, allora f^ -1 è derivabile in f(x0) e vale la formula (f^ -1 )' (y0) = 1 / f' (x0) , y0 = f(x0). Teorema di Rolle: data una funzione f (x) definita in un intervallo limitato chiuso [a,b] con le seguenti proprietà: f(x) è continua in [a,b], è derivabile in ]a,b[ e infine f(a) = f(b), allora esiste un punto c interno all'intervallo in cui.

f ’(c)=0

teorema di Lagrange:se una funzione f(x) è continua in un intervallo limitato e chiuso [a,b] e derivabile in ognipunto interno all’intervallo, allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui valela relazione f(b) – f(a) / (b-a) = f ‘ (c)

teorema derivata e monotonia:teorema della derivata prima:

teorema derivata e convessità:

• Derivabilità e continuità:

Possiamo quindi concludere che una funzione derivabile è continua poiché se f è derivabilein un punto x0 allora f è continua nello stesso punto. Il viceversa è falso, poiché non è dettoche se una funzione è continua in un punto Xo allora in quel punto sia anche derivabile.

Per esempio la funzione f(x) = |x| `e continua in ogni x reale ma non `e derivabile in x = 0.

Da un punto di vista grafico infatti il concetto di continuità equivale alla possibilità ditracciare il grafico della

funzione senza staccare la penna dal foglio. La derivabilità invece è una richiesta aggiuntiva, ossia che il grafico della funzione sia “liscio” ossia non presenti “spigoli”. Nella dimostrazione abbiamo sottinteso la continuità delle funzioni derivabili, per cui f(x0+ h) → f(x0) per h → 0. Supponiamo f derivabile in x0, si ha lim h→0 f(x + h) = lim h→0 (f(x + h) + f(x) − f(x)), ma f(x) è una costante rispetto al limite, quindi lim h→0 f(x + h) = f(x) + lim h→0 h f′ (x) − f(x) h = lim h→0 hf′ (x) = f(x).

• Funzione primitiva: una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell’intervallo [a, b] se F(x) è ∀ ∈ derivabile in ogni punto dell’intervallo e la sua derivata è f (x), quindi se F ‘ (x) = f (x) x[a, b].

• Funzione integrabile: Una funzione f : [a, b] → R limitata si dice integrabile (secondo Riemann) su [a, b] se supP(s) =

infP (S). Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale (di Riemann) di f in[a, b] e sarà denotato con uno dei simboli [a,b] f(x)dx, I f(x)dx, I f, dove I = [a, b] è il dominio di integrazione e f = f(x) è la funzione integranda.

Teorema integrabilità della funzione: sia f : [a, b] → R limitata e monotona. Allora f è integrabile.

Teorema integrabilità delle funzioni continue: Se f è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b], allora f è integrabile su [a, b].

• Proprietà dell'integrale: ∈Sia f : I → R, I intervallo, f localmente integrabile, a, b I. L'integrale da a a b di f è il numero

⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩reale definito come segue b a f(x)dx = [a,b] f(x)dx se ab I

due numeri a e b vengono detti primo e, rispettivamente, secondo estremo di integrazione.

• Valore medio integrale: Sia f : [a, b] → R integrabile, si chiama valore medio integrale di f in [a, b] il numero