Teoria Matematica applicata

Definizioni matematica applicata

Definizione di funzione, dominio, codominio, immagine, suriettività, iniettività, invertibilità

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali, una funzione f definita da A in B è una legge di natura qualunque secondo cui ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B. L'insieme dei valori appartenenti ad A si chiama dominio oppure insieme di definizione e si indica con dom(A). L'insieme dei valori che appartengono a B si chiama invece codominio della funzione.

Il sottoinsieme b appartenente a B, comprendente i valori di B a cui è associato almeno un elemento di A, viene chiamato immagine della funzione. L'insieme di elementi appartenenti ad A che sono associati ad un elemento di b viene chiamato controimmagine della funzione. La funzione si dice suriettiva quando ad ogni elemento di A è associato almeno un elemento di B, dunque b = B. La funzione si dice iniettiva quando ad ogni elemento di A è associato al più un elemento di B, dunque a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione si dice biettiva quando è sia suriettiva che iniettiva. La funzione inversa di f è f^-1, ovvero data una funzione f da A in B, la sua funzione inversa è una funzione da B in A. Sono invertibili solo le funzioni iniettive.

Funzione continua e teoremi sulle funzioni continue

Sia f : A → R, A ⊆ R, x₀ ∈ A, x₀ punto di accumulazione di A, la funzione f è detta continua nel punto x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀). Nel caso in cui la funzione f sia continua in tutti i punti del dominio A, si dice che la funzione è continua in A. Quando il limite è sostituito dal limite sinistro o dal limite destro si parla, rispettivamente, di continuità a sinistra o di continuità a destra.

Teorema degli zeri

Sia f: [a,b] → R, continua in [a,b], se f(a)f(b) < 0 allora esiste un punto c appartenente a (a,b) tale che f(c) = 0. Ovviamente, essendo f(a)f(b) < 0 i valori agli estremi dell'intervallo hanno segno discorde e 0 sarà un valore intermedio.

Funzione derivata e teoremi delle funzioni derivabili

Sia f: I → R, possiamo considerare i punti del dominio I in cui tale funzione è derivabile e costruire una nuova funzione che associ a x il valore f'(x), cioè: x tende a f'(x), ed f è derivabile in x. La nuova funzione così definita si chiama funzione derivata e sarà indicata con f'(x).

Teorema di Rolle: data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato chiuso [a, b] con le seguenti proprietà: f(x) è continua in [a, b], è derivabile in ]a, b[ e infine f(a)=f(b), allora esiste un punto c interno all'intervallo in cui f'(c)=0.

Teorema di Lagrange: se una funzione f(x) è continua in un intervallo limitato e chiuso [a, b] e derivabile in ogni punto interno all'intervallo, allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo in cui vale la relazione f(b) – f(a) / (b-a) = f'(c).

Continuità e derivabilità

Dimostrare che una funzione derivabile è continua. E viceversa?

Possiamo dire che una funzione derivabile è continua poiché se f è derivabile in un punto x₀ allora f è continua nello stesso punto. Il viceversa è falso, poiché non è detto che se una funzione è continua in un punto x₀ allora in quel punto sia anche derivabile. Per esempio la funzione f(x) = |x| è continua in ogni x reale ma non è derivabile in x = 0.

Da un punto di vista grafico infatti il concetto di continuità equivale alla possibilità di tracciare il grafico della funzione senza staccare la penna dal foglio. La derivabilità invece è una richiesta aggiuntiva, ossia che il grafico della funzione sia "liscio" ossia non presenti "spigoli".

Funzioni trigonometriche, le loro proprietà e le loro funzioni inverse

Le funzioni trigonometriche corrispondono alle funzioni seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante e le rispettive funzioni inverse sono arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, arcocosecante. Esse hanno diverse proprietà tra cui:

• Sono funzioni periodiche ovvero sono funzione che dopo un certo intervallo T (chiamato periodo) si ripetono poiché riassumono gli stessi valori. La funzione seno e coseno, ad esempio, hanno un periodo T= 2 π.
• Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto all'origine quindi è una funzione dispari.
• Il grafico della funzione coseno è simmetrico rispetto all'asse delle y e quindi è una funzione pari.
• Teorema di Pitagora: sin²x + cos²x = 1
• Formule di addizione: cos(s+t) = cos(s)cos(t) – sin(s)sin(t) oppure sin(s+t) = sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t)

Funzione polinomiale, le loro proprietà e comportamento con + e – infinito

Una funzione polinomiale, o polinomio di grado n appartenente a N, ha la forma: p_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ con x appartenente a R.

Tra tutte le funzioni reali di variabile reale, l'insieme P dei polinomi può essere individuato dalle seguenti proprietà:

• Le funzioni costanti con x → c dove c ∈ R è assegnato, appartengono a P.
• La funzione identità, con x → x, appartiene a P.
• Se p₁ e p₂ appartengono a P, vi appartengono anche p₁ + p₂ e p₁p₂.

Funzione esponenziale, le loro proprietà e le loro funzioni inverse

La funzione esponenziale corrisponde a y= e^x, con x appartenente a R e con "e" che indica il numero di Nepero. La sua funzione inversa è detta logaritmo naturale. L'esponenziale è l'unica funzione che soddisfa un'equazione del tipo y' = y.

Concetto di integrale secondo Riemann e principali proprietà

Sia f : [a, b] → R limitata e monotona. Allora f è integrabile. Se f è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b], allora f è integrabile su [a, b].

Teorema del calcolo integrale e cenno di dimostrazione

Definizione di prodotto di matrice e dire quali proprietà sono soddisfatte

Sia A una matrice m x q e B una matrice q x n, allora C = AB si ottiene attraverso il prodotto righe per colonne e avrà quindi dimensione m x n. Il prodotto di matrice non ha proprietà commutativa, poiché il prodotto AB è diverso dal prodotto BA. Considerando le due matrici A e B e uno scalare alfa appartenente ad R, possiamo elencare le seguenti proprietà:

• (alfa per A)B = A (alfa per B) = alfa (AB)
• Se D ha le stesse dimensioni di A, allora (A + D)B = AB + DB
• Se C ha le stesse dimensioni di B, allora A(B + C) = AB + AC
• Se A è di tipo m x q, B è di tipo q x n, C è di tipo n x z, allora A(BC) = (AB)C
• A^TB^T = (AB)^T

Definizione di inversa di matrice quadrata e dimostrare che è unica

Una matrice è una tabella di numeri ordinata per righe e colonne. Si indica con a_ij l'elemento della matrice A che si trova all'incrocio della riga i-esima con la colonna j-esima. Le righe (che indichiamo con la lettera m) e le colonne (che indichiamo con la lettera n)