teoria geometria e algebra lineare

Geometria e

algebra lineare

teoria

COMPLESSI

NUMERI odor

④ CIR e

c

Per i ¢

risolvere i

ie IR

ht ¢

2 1

introduciamo

1=0 con

= - , complessi '

è

numeri

dei ci

definizione di vista

Per dico IR

insiemi

punto l' insieme

dal :

, ,

}

( la

? b) be

E IR

IR ca

=

= , ,

^ b)

da ,

§ >

I 1

a

Somma b) d) ( )

la ( btd

t a

c te

: =

, , , )

( bd

Prodotto b) d)

(

( bc

ad

ac

c

a. -

: -

. = ,

,

Proprieta della

' somma

) la b)

d)

a)

b)

commutativi ta tca

(

' tcc

51 c.

: =

, ,

, )

(

( ) f)

b)

associatività

) (

la

) d) (

f)

(

b)

(

52 tic t e

a t

c

e

+

a.

: = ,

, ,

,

,

)

b) b)

( (

(

) neutro

elemento

53 t 0,0 a

a

: = ,

, b)

b) )

la fa

esistenza

) (

dell' opposto

54 t 0,0

: - =

, ,

Proprieta prodotto

' del

commutativi '

ta

)

PL associatività

P2) b)

( )

b)

B) ( la

elemento neutro 1,0

a

: . =

, , atfbz

( )

) fb

)

b) (

) )

la aib

reciproco ( 10

(

Pa esistenza del se allora

0,0

+ .

: =

, , i

,

a.

distributiva

Proprieta ' ) b) (

(

d) d) b)

( (

( f)

b) f)

( (

( e

t t

e c

a

C a.

a .

. =

,

, ,

,

, , ( )

)

numeri ( numeri

complessi reali

si identificare EIR

Oss forma i CI

i E

0 0

nella con a

a.

a. va

possono :

: 6

di

IR è sottoinsieme

quindi :

immaginario

asse ) )

( di

E ( Gauss

piano

0,1

• ( )

1,0 )

(

IR reale

asse

,

• •

( )

0,0

23102 fogli 01/03

ESERCIZIO ZS

calcolare ti

7=1

dove

:

% !

( ) ?

18 )

Ki ( )

? nel

) ti

" (

( sento

costo

stile

- De Moine sti

1 3

2 Z =

: =

. )

No

tisen

) )

(

' Me (

VE

( (

)

8 16

8.

2- cos 8 - =

=

di Noi ottave

è

abbiamo conosciamo

quindi radici

radice

che '

ti

Oss ottava due

1 16

w

2- gia

una =

: = . di

radici

tre

16

di Ci

reali 5 complesse

ottave 16

altre

ossia sono W =

, . 6

geometrica

Interpretazione prodotto in

del trasformazione

Fissiamo consideriamo la piano fissato

di angolo

e 1

modulo e del Ztswz

we ,

formula )

lwzl

1a

Dalla lzl

abbiamo

di arglzttarglw

)

che

De IZI

Moi IWHZI aiglwz

1.

une = = = =

rotazione di

Quindi trasformazione è origine

la )

all' angolo aigw

attorno

una

1)

lwls

(

wz caso

•

1

^ • )

Se ( WI

rotazione

Iwl coefficiente

dilatazione

abbiamo di

1 alla

# oltre una

- )

IWI

( Iwllzl

' lwzl

dilatazione

realmente 1 viceversa

)

se e

z e una : =

» •

piè Coeff .

, fissato

> 113 113

Esempi In coeff

di

argini rotazione

1 BZ questo dilatazione

"

Zts senza

w e o

caso >

: = .

. rotazione ditta

znizw.ie/wl=1eargCwI=ttt2 dilatazione

origine

all'

attorno

2 senza

. tiro dilatazione

) 1tir3.tw/=2eaigw=M3 di di

coeff

( rotazione

3 1 2

Z 3

Zhi W e

= .

. ^ ttip )

( z

•

^

§ 3 z

. >

Forma complessi

dei

esponenziale nun . io

e'

se '

+ ( tisana

esponenziale )

d. definiamo dtioe

di E coso

OELR l' come e

=

, io

l' + '

abbiamo

Per IR

dtio.de te

che

VR

0=0 a

° e

=

io )

Clio

io ) Per

ti Re

Eulero 0=5 la

per formula (

seno

cosa

di seno

ossia In

coso

1=0 e e

e

• = = = .

formula citta li Scrivendo

'

-1 ossia

diventa 1=0

t .

, io

io forma

gccosotisenot.ge esponenziale

z.ge

⇐

Proposizione :

erez

le 2-

a) I ¥ e

ze

=

b) arglez ) CI

IMZ 2- E

=

-21+2-2

c) Z CZZ CI

e ' E

@ -22

Zi

= ,

Dimostrazione IWI

)

a) b) Premessa 0EUR

( seno 0

ti

cosa g.

con

se 0

=p =p e

+ g) allora argw

w e

:

: =

, , .

IY

Per è )

+

✗ cosytiseny

yea (

tiy

definizione ✗

allora e

×

2- con

✗

se e

= = =

,

, È erez )

argcez

'

lezl

è ✗ y

e

O

> =

= = IMZ

=

ztiyz )

) (

iyi i

)

( ( yityz

ehi a)

✗

✗

c) ✗

+ +

ezitzz +

Se tiy iyz '

Zi -22 ✗

✗ allora e

+

e a

i ,

= =

=

= =

, (

i " ti

( )

( )

"

✗ (

✗ )

(

+ )

(

CI = ) )

di esp.in yityz

def cos

sen yityz

' sen

yityz yityz

cos e

@ + e

= =

=

. =L ] ztiyz

[ iy

]

" eziezz

✗

+

(

isenyn ✗

)

(

" cosyztisenyz

(1) )

Mo

De '

e

iure '

e

cosy e

+

, =

= CI

' di

def espin 2

cio

vedere '

Infatti

formule

Oss De c)

di

di conseguenza

si

Moi

le se =p

Z

come

une possono

: ,

,

,

.

È (0^+02)

i

02 02 i

li 02

fzli 01

fili 01g i

allora Zizz giga

giga e

l -22 e e

>

=

= =

,

Radice 02103

di

quadrata complesso

num

un .

Supponiamo la quadrata

calcolare di atib

dover dobbiamo trovare

di radice iy

2- ✗

W +

;

= =

tale '

) ti

Ma ( iy

che wz Zxy

✗÷y2

Z wz ✗ + =

=

= . 7

{

Quindi ✗ YZ

2

wz 2- a

<

= - = *

b

Zxy =

Si di semplificare

Per

equazioni b assegnati

di dove

tratta sistema y

due in sono

✗ e

un a e .

Naztbz

I

=/

Inizi

conviene IZI

IWIZ

che Z yz

WZ 2

2-

osservare ✗ +

= = =

{

'

Quindi equivalente

il sistema yz

2-

✗

* e a

a =

b

2 ✗ y = Naztbz

tyz

2

✗ = ✓ artt

✓

Sommando at

Naztbjtal

otteniamo

equazione

'

3 ossia

2×2

1° dove

✗ ✗

✗

±

e a

= n =

= 2

✓ Na=tb=_÷

Naztbz ( )

Dalla differenza 1° troviamo

3° Zyz

tra equazione yn ±

a yr

y

e _ = =

=

Le

! solo l

soluzioni soddisfano =D

sistema

del le '

attenzione Zyx

2 la

Che

sono .

✓ naztb-tat-ipfvaztbt-a.ws

le atib

radici di

quadrate sono Wi un

2- =

= -

=

2 2

' { bzo

se

+ bco

se

- {

Esempio tai ? ?

Z =3

3. X 2

y X ±

: - =

= '

Cerchiamo abbiamo

xtiy tale lzl

poiche 4

che 5 Zxy

wz Z

w : =

=

=

= , -5

'

" e

+9 y #

{ { È :

!

È i

innati .ws a.

un

e

u -

.

.

Equazioni di I grado ci

b.

la ' ±

formula risolutiva dell' ¢

b

cq.az?tbztC=O ce Zaia

ato -

e

a sempre

con e =

, , 20

radici

ci è

dove ba

delle di

due quadrate D= lac

una -

Radici in

esime e

n - w.INT/cos(ltYt-)tisen(4tf-Itt

))

)

( di

'

si dice che esimo

radice

Zee complessa ¢ zn

we se

n

e una - =

sia

Teorema Esistono radici di

distinte

esime

WEIC complesse Zn

Zo

1

Wto za

n w

n

nz

e e

: - -

, .

. . .

. .

, .

ft 2kt

-

rail ÙT

f) T

è

Se rccosqtisen date da 0,1

K 1

con

sono

w esse zn n

= -

=

= = .

.

.

, ,

, aIIe

NIWT

" )

In

In lznl

altre arglzr larglwit

)

parole 2kt tre

e =

= = paio

rei

risolvere

dobbiamo

Dimostrazione ' '

dove assegnato

Zn

l' 2-

w e

ca e

w

: = =

= .

,

. gneino ?

gnein

geio "

)

Poiche gnleioin

(

' abbiamo

zn re

=

=

= ,

{ r

9 "

ciò equivale r

=

a no KEZ

2kt

lft con

=

4tf distinte

go.IT radici

Si solo

Ora 0,1

K

ossia ottengono -1

2

KE per

con n

e =

= . .

.

. •

rail vertici

Geometricamente formano i di

di

esime poligono

le radici

Ossi un

w

n - =

,

. "

Tr

inscritto

lati raggio

circonferenza origine

regolare di di

centrata nell'

nella e

n .

, città

t" cit

%

Nfei

l'

Ntei

Caso ei 2 NT

or

ZK

2 zo z

K zo

n 0,1 e , -

: =

= = = =

= =

,

rail il rail

w = W

w re

= =

. •

° ^

^

n Z1

•

Zn ⑦

ZO ZO ZO

• • •

È -

rr It

I .

• zz

413 914

,

412 >

>

Zoo ° o

- £2 73

HÌ )

ftp.eitl/3t43tt

( 4/3+213TI

frei

Frei 413

frei

Caso z

=3 z

1,2

K zo

Zr

n 0 , ,

=

: =

= = =

, ,

, v

|

TÌ )

eritrei )

"

avrei eillletttz

" ftp.eilhettt ftp.eill/et3lzttt

zz.INT

Caso 4 ZK z

zo z

2,3

0,1

K

n , ,

:

= =

= =

, ,

, , ,

fondamentale

Teorema dell' algebra coefficienti complessi

consideriamo polinomio di grado n a

un :

s

"

PCZ

) anzntan.az - dieci

Z 1

an

as

t con

t ao

t o

e +

= . . .

Si P Pczo

radice di )

è

dice ci

che 0

Zoe se

una = .

Q

polinomio Pcz

In cz-zdaczstz.CC

)

tale

di che

tal grado

esiste 1

n

un

caso =

-

la di P

Definizione esiste

molteplicità il

è

e quale

il

di

radice

Zoe per

m2o un

come Max

: Pcz "

polinomio tale (

che zo)

Q alzi ttzec

z

) -

= ' Pcz Cz )

tale "

la molteplicità Qlz)

)

che alzo

In zo )

altre con

parole e #

in 0

-

=

, .

complessi

P polinomio

Se di radici

è Cl

in

ammette

grado coeff

1

nz e

a allora esso

un ,

.

' soluzioni

molteplicità

la Ossia

loro Pczt

delle esattamente

ammette

l' e

e

somma 0

n n

eq =

. , .

ripetersi

potrebbero

alcune di queste .

) polinomio si può

Corollario ( il

fatto scrivere

1

di

teorema rizzazione come

: Plz ) ( le

) dove

)

( Zz)

Za Zs

( Zn

Zn

Z Z

Z Sono

Zz

an sue

- -

-

= . .

. ,

, ,

radici .

METODO LINEARI

GAUSS SISTEMI

PER

DI oslos

' in

di

sistema

lineare

Un equazioni

Def sistema incognite

di primo grado

m

e

mxn un n :

.

{ bn

011 Gin Xn

t

X2

012

Xl t t =

.

. . i

incognite

le i

dove

bz termini

sono

azn Xn Xn

Xi aij sono

t Xn

Xzt

azz

t Xz

21 =

.

. . .

.

, .

. ,

* | coefficienti

i termini

sistema noti

del bi i

: i

e sono .

bn

Xn

ami amm

tana Xzt

Xn =

. .

. è

Una equazioni

soddisfa

( ) tutte

In le

Iz

sistema In

del

soluzione che

rupia

una , .

. . .

,

termini si

noti tutti

Se il sistema dice

i nulli

sono omogeneo

,

Il si

sistema dice

Def lineare *

. determinato

il soluzione

unica

ammette

se un'

soluzioni

impossibile

il ha

non

se soluzioni

ha

) infinite

iii indeterminato se le soluzioni

hanno

Def sistemi incognite si stesse

equivalenti

dicono

Due stesse

nelle se

. .

sistemi triangolari (

banale

ogni

triangolare

è

Si equazione almeno

Def sistema

dice che se non

per

un

. ) equazione

incognita incognita in

che

esiste compare nell' compare

e

un' un' non

successive

delle

nessuna cq . .

{

Esempi 37=5

1) Zy

✗ t

: - )

determinato (

sistema 3×3

=3 -8

-57 19

ZZ

+

y ,

,

Z 8

-

=

{

2) -37=5

✗ )

(

sistema

ZZ determinato

=3 3×3 -8

-19,19

yt ,

-8

Z =

{ 37=5

3) Zy

✗ + - impossibile

3×3

sistema

1

2- = - 8

0 -

=

{

4) +3

✗ W 0

2- + = indeterminato (

-5W +5

15

3×4

Sistema -7W +3

=3 2W

5W

y W

- , ,

, )

arbitrario

M

5

Z 2W con we

- = .

La sistemi

'

risoluzione sistemi dei

Per

triangolari

dei semplice esempio

molto nel

e caso

. ,

abbiamo

3×3 :

{ b

)

( "

€ " ✗ " "

+

✗ + "

" ^ "

" "

= = 62

) triangolare

sistema

( Ez 922

azz ✗

a

✗ Con =/ 0

+ an

23 3

2 = ,

33×3=63

)

( E3 ☐ determinato

caso

I sistema

0

933 =/

: 923103

b2

3=13 033 sostituisco

ottengo )

)

in ( (

Infatti ) in

Ez ottengo

( ✗ - fr

da E ✗ e

} 2 =

; f- 922933

A 33

sostituendo impossibile

basta )

I sistema

impossibile

( '

caso 433 0 Es e

: = , {

b.

☒ 343

ossia 61

✗

433

caso 3=0 tana

an an

t

✗ 2

^

: =

= , bz

923

622 ✗ ✗

t 3

2 =

3.0

✗ 0

=

qualsiasi

Poiche

' trattato

' parametro

valore viene come

✗ e

puo assumere un

3 , equivalente

(G)

membro '

CEI sistema

) Il

secondo

al

portato di ed a

e :

.

{ bn

Anz ✗

Gt3

✗

t

Un ✗ 3

2

n -

= bz A

✗

azz 23×3

2 = -

bz bi azz 013022 Ht

023×3 sistema è indeterminato

Ottengo Xe - il

-

Xz . . .

= =

,

022 and 22 )

( infinite

soluzione

Gauss

Il di

di eliminazione

metodo qualsiasi

Tale trasformare sistema in sistema equivalente

ci

metodo permette di un un

forma Cio

triangolare fare le di Gauss

si

'

sia utilizzando

può

che in mosse :

. )

1)

( equazione

(

moltiplicare dividere

G- diverso da

un' numero

per

e un zero

multiplo

( 2)

G- di equazione delle

aggiungere altra ca

un'

un' a

un .

scambiare

3) equazioni

( G- due

È sistemi collegati

verificare

facile essi

Gauss

dalle

Oss due di

che sono

a) mosse

se

: ,

equivalenti

sono .

Le

b) fatte

LGZ ) alla volta

vanno

mosse una

Vegano Gauss

metodo

funziona di partendo

il esempio

dall'

come

ora :

,

/ ftp.i

2 I :

"

2- :

yt ?

= ÷:*

% ; . , ( 3)

37=-6

52=-6 '

3g E

y

ZX -

- -

-

{ { ÌÈ ?

× +

¥

{ triangolare

sistema

ottengo un

; .

→ 2

yt Z = supponiamo In

In tal

partiamo sistema

dal an

che

generale an

caso

0

#

e

* .

, termini equazioni

'

si i

usato eliminare

pivot

chiama dalle altre

ajnxn

e puo per

essere .

)

{ ( Er

bn

Xz Ann Xn

an tana t t

Xn =

.

. . aI

d' )

(

(

b ' ) En

Ez

Xn

A'

Xz t

t 2

i n

22 -

=

.

.

. an

one ten)

( )

En

bin

ai tainnxn

xz t -

=

.

. . an prima

compaia

supponiamo ti

d'