Fisica Generale: meccanica e termodinamica - Teoria (riassunto)

CINEMATICA

Velocità - Spostamento

Δs: [x(t + Δt) - x(t)]

Δt indipendente dalla traiettoria

[Δx] = [Δs]   Δs: s(t + Δt) - s(t)   spazio percorso.

l.m.

Atto

Δx → lim   Δs → ⇓ ds   differenziali sono uguali.

Velocità

Velocità media

v_m = ⇓ Δx     [m/s]

Velocità istantanea

v = lim   Δs = x(t)   = lim   Δx = dx

di velocità istantanea è tangente alla traiettoria del punto:

v = ⇓ ds/dt ⇓ versore, direzione, e verso

modulo della velocità

Accelerazione

Accelerazione media: a_m = ⇓ Δv / Δt     [m/s²]

Accelerazione istantanea

a = lim   Δv/dt = dv/dt

a= a_t priv (v - τ )

a = ⇓ dv/dt,

a_t e an

a_t - tangenziale

a_n normale

a_n  V dt/dt = v ds/dt

v ds/dt = v dt   accelerazione

a = ⇓ (x), = cos (x) - 0 per τ =Θ

a = () &to= ()

a_n  V dt/dt = v/ dt

v/ ds = dt

Dall'accelerazione alla Traiettoria

Se voglio ricavare la traiettoria partendo dall'accelerazione devo risolvere un sistema di equazioni differenziali:

• ^dx₁/_dt = v₁(t), ^dv₁/_dt = a₁(t)
• ^dx₂/_dt = v₂(t), ^dv₂/_dt = a₂(t)
• ^dx₃/_dt = v₃(t), ^dv₃/_dt = a₃(t)

Dove le funzioni a_i(t), v_i(t) sono note e x(t), t(t), z(t) sono incognite. Non basta conoscere l’accelerazione in un punto per sapere la traiettoria, se f è primitiva di F => G = F + k e anche la primitiva è k cost.

Considero il sistema ^dx₁/_dt = v₁(t), in un istante t₀ a cui corrisponde velocità V₀, v₀, v₀, e un istante generico t. Det x = ∫v_xdt = ∫[a_x(t)]dt ⇒ V₁= V₀ + ∫[a_x(t)]dt

È quindi necessario conoscere il valore di V₀. (condizione iniziale)

Moto rettilineo uniforme

• ā = ^dv/_dt = 0,
• V(t) = cost,
• ^{∫_t0→t V(t)dt} = ū(t) - z₀ ⇒ ¹/₂at

Moto uniformemente accelerato

a = costante ≠ 0, ā = ^dv/_dt

• V = dz/_dt, v = v(t)
• ∫v(t)dt = x_(t) - z₀ = ∫[V₀ + at]dt = ∫[V₀t + ¹/₂at²]

Caduta verticale di un grave

a = -9.8 m/s², V₀ = 0

Per E_s1 = h_(t) = 0m

t = _^2h /_g, V₀gt

Per E_s2 = V₀ = 5 m/s

V_f = -?

Per E_s3 = h_max = ?

h_max = V₀

V = V₀ - gt

t = ^v/_g

h_max = V₀t - ^gt2/₂

III Principio di azione e reazione

La forza che il corpo A esercita su un corpo B è uguale e contraria a quella che B esercita su A.

Attrito radente

L'attrito si manifesta sempre e solo quando si applica una forza ad un corpo in quiete. Quando il corpo si ferma si origina una forza di attrito statico. Appena il corpo scivola una forza di poco maggiore con v. Le masse di attrito col n. Componimento normale della forza di contatto è il N. Sotto l'attrito si sta (dipende dal materiale delle superfici a contatto).

Appena il corpo si muove l'attrito diventa dinamico pari ad Af = μd*N il coefficiente μs/μd. Infatti serve più forza per mettere in moto un oggetto che per continuare a farlo muovere.

Attrito volvente

Si ha quando una ruota scivola su una superficie e tiene conto della sua deformazione il moto di una ruota è di roto-traslazione.

Roto di una ruota

• Traslazione
• Rotazione
• Roto-traslazione

La velocità in O è data da:

• Vr = wR se Vf = wR
• Vf = wR se Vf = Vr
• Vr = V se V ≠ wR

Il carico dinamico interviene solo se Vf ≠ wR e si oppone al moto. la svolta gira attorno al punto O (punto di istantanea rotazione).

Ipotesi che la svolta giri in senso orario la semistrada dx ha una normale N maggiore. La somma delle reazioni è esposta punto dx e scivolamento e cede

R = F + N * u

_F = N * r / R → _{Fx = Fy} / N

Coef. di attrito volvente

Δₒ=0

_γ²=ω₀²

α_pt=0 γ=ω₀ a₁=a₂=γ x’=γx -b±√_b²/₀ |α|₁=|α|₂=α

a₁, a₂→come=real.t³ non ho=semi e coseni

x(t)=e_-αt(C₁t+C₂t)

e_-γt(C₁e^γt+C₂e^-γt)

grafia qualitativa:

il primo dipende da C₁ e C₂ ma sicuramente g_γ accade quando g´t_γ fà la base somma di:

uno SPOSTAMENTO CRITICO

Δₒ=0

_γ=ω₀²

x=α₂=γ

k(t)=c₁e_t’-c₂e_γt c₂e_-αt e_-γt(t₁t+C₂t)

x(t)

se c₂>o

pendenza delle positive

se c₁<c₂

pendenza della negativi

OSCILLATORE ARMONICO FORZATO E RISONANZA

Kx-x=B’x’+F(t)m+k_γx+mₖ

F(t)= x x’x = = F(t) = cos(ωt)

Se F(t)=0 ho in oscillatore smorzato la soluzione è data dalla soluzione dell’equazione omogenea più una particolare, del non omogenea

Se F(t)=sinusoida.e F(t)=|F₀|sen|ωt| la soluzione particolare

xxxxx x A sen(ωt-φ)

x(t)=A sen|(ωt-φ)|

x’t=wA•cos(|ωt-φ|)

x’’t=w|A sen(ωt-φ)

|x’x=zyx+mω₂x

x=Fo-m(ωt)——

x=F[sin(ωt)^(F₀/m) cos(ωt)|t|

O.Homoge (dopo calcoli senza)

|^A=

(|

√(wω₀Φω₀) ( ⨯'||' ⨯ωkk=1)

-φ)

∫(=[tan_{’t х’x²}