Riassunto esame Teoria finanziaria, prof. Barone-, libro consigliato Investments, Bodie, Kane, Marcus

serve per calcolare la probabilità che il valore vero possa essere 0 piuttosto che il valore della stima. Una grande t‐statistic

implica una bassa probabilità che il valore sia 0

8.3.1.1 La stima di alfa

La stima ce la da Excel ed è il valore Intercept. Alcune formule utili possono poi essere le seguenti (ma non

le abbiamo mai viste): &

• & &

• &

8.3.1.2 La stima di beta

Anche la stima di beta ce la da Excel. Se abbiamo una t‐statistic elevata ed un p‐value quasi 0 possiamo

rifiutare l’ipotesi che il vero valore di beta sia 0 e quindi confermare che vi sia una certa sensibilità fra il

titolo ed il mercato. Vediamo la formula seguente (ma non ci servirà mai):

•

8.4 Portfolio construction and the Single­Index Model

E una volta costruita la nostra regressione per un titolo? Il processo di disegnare una frontiera efficiente

può essere perseguito più o meno come nel capitolo 7. Il problema è trovare il portafoglio ottimo di titoli

rischiosi. Una volta trovato questo portafoglio possiamo poi, come al solito, usare l’equazione del capitolo

6.5 per trovare la quota del nostro budget che sarebbe meglio investire nel portafoglio rischioso, ovvero

.

Non ci soffermiamo tanto sui come e sui perché anche perché in classe non li abbiamo visti, vediamo

semplicemente la procedura per trovare l’Optimal Risky Portfolio.

8.4.1 The Optimal Risky Portfolio of the Single­Index Model (mai visto in classe)

Procedimento

1. Occorre prima trovare i , gli per tutti i titoli con cui desideriamo costruire il nostro portafoglio

ottimo ed il premio per il rischio del mercato ovvero &

per ogni security

2. Calcolare il valore

3. Una volta calcolati tutti i valori calcolare tutti i valori ∑

∑

4. Calcolare il valore ∑

5. Calcolare il valore ∑

6. Calcolare il valore /

7. Calcolare il valore /

& &

8. Calcolare il valore ;

9. L’optimal risky portfolio ha ora i pesi seguenti: )

10. I prossimi due punti guardarli a pagina 278 perché non ho voglia di scriverli ( ma probabilmente non serve

9 The Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Questo modello predice con precisione la relazione che dovremmo osservare fra il rischio di un asset ed il

suo valore atteso di rendimento. Questa relazione ha due importanti implicazioni:

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• Ci fornisce un metro di paragone per valutare il rendimento atteso di eventuali investimenti (ci dice

se il rendimento che prevediamo per uno stock è superiore o inferiore al suo rendimento “giusto”)

• Ci aiuta a stimare i rendimenti attesi di assets che non sono ancora stati tradati nei mercati (IPO)

9.1 The CAPM

Il CAPM è uno strumento per stimare i rendimenti attesi d’equilibrio di assets rischiosi. Le assunzioni da

cui partiamo sono:

1. Ci troviamo in un mercato di concorrenza perfetta in cui gli investitori sono price‐takers

2. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale d’investimento

3. Gli investimenti possibili si limitano all’universo dei publicly traded financial assets (ovvero: stocks, bonds, T‐Bills)

e non ci sono costi di transazione nel tradare securities

4. Gli investitori non pagano tasse sui rendimenti

5. Tutti gli investitori sono razionali (mean‐variance optimizers), e usano dunque il metodo di Markowitz

6. Tutti gli investitori hanno aspettative omogenee e quindi analizzano securities e mercato allo stesso modo

Le conseguenze sull’equilibrio sono:

1. Tutti gli investitori sceglieranno di detenere un portafoglio di risky assets (M) che contiene titoli le cui quote

nel portafoglio sono proporzionali al valore di ogni assets rispetto al valore totale di mercato (il massimo

possibile di diversificazione) anche il portafoglio di

2. Il portafoglio M è ovviamente sulla frontiera efficiente e contemporaneamente è

tangenza con la CAL di ogni investitore

3. La CAL di ogni investitore, date aspettative omogenee, coincide con la Capital Market Line (CML) del mercato

rischio.

4. Tutti gli investitori detengono una quota di M e di risk‐free in funzione del loro indice di avversione al

5. Il risk premium sul portafoglio di mercato sarà proporzionale al suo rischio ed al grado di avversione al

rischio medio degli investitori, ovvero: . ;

Perché? Beh abbiamo visto dal capitolo 6 che

ora, dal momento che nel complesso dell’economia y=1 (perché tutti i titoli sono acquistati da qualcuno) in media

Da notare che, dal momento che M

possiamo dire che vale la relazione esposta (basta risolvere poi l’equazione).

è anche il rischio sistematico di tutto l’universo considerato.

rappresenta tutti i titoli del mercato,

6. I premi per il rischio sui singoli titoli saranno proporzionali al risk premium sul portafoglio di mercato. In altre

parole la relazione può essere espressa tramite una semplice relazione lineare il cui coefficiente lineare è

, .

Il premio per il rischio su ogni titolo è dunque rappresentabile dalla funzione seguente:

,

Il portafoglio di mercato M equivale all’intera ricchezza dell’economia (se tutti ne comprano una quota alla

fine aggregandoli tutti otteniamo M e

otteniamo la somma di tutti i titoli ovvero la

ricchezza complessiva dell’economia). La

proporzione di ogni stock nel portafoglio M

equivale al valore di mercato complessivo di

quello stock sulla ricchezza complessiva.

Il CAPM implica che nel tentativo di ottimizzare

i loro portafogli personali, gli individui arrivano

tutti a basare le proprie decisioni sullo stesso

optimal risky portfolio.

Dal momento che l’investimento nell’indice di

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mercato è la soluzione più efficiente, date le premesse del CAPM, dobbiamo dedurre che la miglior

strategia degli investitori è una strategia passiva e consiste nell’investire in un fondo d’investimento che

riproduce il portafoglio di mercato complessivo (mutual fund theorem).

9.1.1 Expected Returns on Individual Securities

singolo titolo alla varianza e al rendimento di mercato

9.1.1.1 Contributo di un

Se è il rapporto fra l’outstanding value del titolo e il valore del mercato abbiamo che:

, contributo del titolo i alla varianza del mercato

contributo del titolo al rendimento del mercato

Ne consegue che , ,

Ma noi sappiamo che , chiamato anche market price of risk

2

E dunque, dato che i due devono essere equivalenti perché sennò le variazioni del mercato avrebbero

impatti diversi nei portafogli dei clienti (che dunque avrebbero diverse CML), che

,

→ e, per finire:

, ,

expected return‐beta relationship

We see now why the assumptions that made individuals act similarly are so useful. If everyone holds an

identical risky portfolio, then everyone will find that the beta of each asset with the market portfolio equals

the asset’s beta with his or her own risky portfolio. Hence everyone will agree on the appropriate risk

premium for each asset.

Anche se nella realtà gli investitori non hanno preferenze omogenee e tengono portafogli differenti essi

tendono comunque a diversificare i portafogli. Un portafoglio molto ben diversificato risulta comunque

altamente correlato col mercato ed il relativo rimane comunque una buona misura del rischio.

9.1.2 The Security Market Line

Quando abbiamo parlato di CML avevamo messo in relazione il rendimento di

un portafoglio come una funzione della deviazione standard dello stesso.

Questo era appropriato perché la deviazione standard era una valida misura

del rischio per portafogli diversificati. La SML, al contrario, mostra i singoli risk

premiums sempre in funzione del rischio, ma questa volta la misura del rischio

è , ovvero la contribuzione del contributo del titolo nella varianza complessiva di

mercato (dato che tutte le securities devono stare su questa linea quando il mercato è

in equilibrio è ovviamente correlata al rischio)

Dato il rendimento atteso fornitoci dal CAPM possiamo dire se il prezzo di un

titolo oggi riflette o meno questo rendimento e dunque decidere se il titolo è

sovra o sottostimato. Le due fondamentali conclusioni del CAPM sono:

1. Il market portfolio is a mean‐variance efficient portfolio (M è efficient)

2. L’expected return‐beta relationship con alfa uguale 0 (vedi SML)

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Da notare che rispetto all’Index Model, nel CAPM ogni titolo dovrebbe avere un alfa = 0. Nella realtà non è

necessariamente così e avremo security con alfa positivi ed altre con alfa negative. Ciò nonostante se il costo per

ricercare il vero valore alfa è elevato, la migliore alternativa, dataci dal CAPM, è assumerlo uguale a 0. I test empirici

sul CAPM rilevano, ad ogni modo, che nemmeno in media alfa sia 0

10 Arbitrage Pricing Theory (APT) and Multifactor Models of Risk and

Return

Il mispricing permette di ottenere rendimenti più elevati del tasso risk‐free mettendo insieme un portafoglio privo di

rischio (pur composto in parte da titoli rischiosi): il mispricing si identifica quindi con la possibilità di fare arbitraggio.

La pratica dell’arbitraggio implica la simultanea vendita ed acquisto di securities al fine di approfittare di discrepanze

nel loro prezzo (mispriced price).

Il principale principio della capital market theory è che in equilibrio i prezzi di mercato sono razionali e non esiste

possibilità di arbitraggio (quindi in equilibrio non può esserci mispricing); qualora vi fossero temporanee possibilità di

arbitraggio vi sarebbe una forte pressione sul mercato per ristabilire l’equilibrio e, quindi, i security markets tendono

a soddisfare la “no‐arbitrage condition”.

10.1 Multifactor Models: an overview

I Factor models sono strumenti che ci permettono di descrivere e quantificare i diversi fattori che

influenzano il rendimento su un titolo durante un qualsiasi periodo di tempo.

Il Single‐Index‐Model visto nel capitolo 8 è un caso particolare del modello a più fattori che analizziamo in questo

capitolo. Nel capitolo 8 avevamo visto che:

Rendimento di un titolo Rendimento atteso del titolo Fattore macroeconomico inatteso Errore inatteso dovuto all’azienda

(ad esempio il tasso d’interesse)

~ , ~ , ~ ,

non ha indice perché è comune a tutti i titoli ed ha media 0 perché, in media, le sorprese macroeconomiche inattese devono

tendere a 0 (idem per l’errore); inoltre non sono correlati in quanto è firm‐specific mentre è sistemico

Se ora chiamiamo F la deviazione del fattore macroeconomico inatteso (common factor) dal suo valore atteso 0 (

il

) possiamo supporre che i diversi indici

valore atteso del common factor deve essere 0 altrimenti non potremmo dire che è inatteso

reagiscano differentemente ad F quindi possiamo scrivere quello che è chiamato un single‐factor model:

I componenti non sistematici del rendimento (ovvero gli ) dei titoli sono supposti non essere correlati tra loro (altrimenti non

potremmo dire che sono firm‐specific) e nemmeno col fattore F (se lo fossero non vi sarebbe netta distinzione fra componenti

sistematici e non sistematici).

Esempio per meglio comprendere cosa si intende per F:

supponiamo che la common factor, o fattore macroeconomico, considerato sia il GDP di una nazione. Se il valore atteso per la crescita del GDP è 5%

ed invece si realizza una crescita del 6% allora il valore di F è 1%. Questa sorpresa macroeconomica, insieme all’eventuale sorpresa dovuta

all’azienda, determina l’effettivo rendimento sul nostro titolo i.

Dal momento che la sorpresa macroeconomica o sistemica può essere dovuta a diverse cause, ora leviamo

l’approssimazione del capitolo 8 sul fatto che m sia esprimibile attraverso un singolo fattore (come il GDP)

ed ammettiamo la possibilità che la parte sistemica del rendimento nel suo complesso (la sorpresa

macroeconomica) sia influenzata da più fattori e che ogni titolo abbia una diversa sensibilità ad ognuno di

questi fattori. Facendo questo arriviamo a definire dei multifactor models.

I multifactor models:

1. Ci forniscono una migliore descrizione dei rendimenti dei titoli

2. Sono utili in applicazioni di risk‐management (dove i fattori da considerare sono più d’uno)

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I vari associati ad ogni singolo fattore sono spesso chiamati: factor sensitivities, factor loadings o factor

betas.

10.1.1 A multifactor Security Market Line

Quanto è il valore atteso di un titolo? Avevamo visto che, con un solo fattore valeva quanto segue:

“rischio” Risk‐premium sul fattore

Possiamo affermare che più sarà alto il , più sarà alta la sensibilità a variazioni del fattore e dunque le

eventuali oscillazioni e dunque il rischio: misura dunque anche una sorta di rischio.

Non sorprendentemente un multifactor index model realizzerà quindi una multifactor security market line

(multifactor SML) il cui risk‐premium (Sharpe ratio) complessivo sarà determinato dalla sensibilità ad ogni

systematic risk factor ed al premio per il rischio associato ad ognuno di questi fattori.

Quindi la multifactor SML sarà una semplice generalizzazione della SML vista in precedenza.

Ricordiamoci che una differenza col modello uni fattoriale è che qui il risk‐premium può anche assumere

valori negativi.

10.2 Arbitrage Pricing Theory

An arbitrage opportunity arises when an investor can earn riskless profits without making a net

investment. Esempio trivial:

Se il titolo UBS è quotato 50 a NY e 52 a Berna io posso comprare un’azione a NY e rivenderla a Berna guadagnando 2

senza alcun investimento netto

Law of One Price: se due assets sono equivalenti da tutti i punti di vista economici, allora dovrebbero avere

lo stesso prezzo di mercato. Nel caso di una violazione di questa legge il titolo con il prezzo più basso

verrebbe domandato maggiormente dagli arbitrageurs e tornerebbe ad essere equivalente all’altro: i prezzi

di mercato si muovono dunque per eliminare le possibilità di arbitraggio (se questo non avvenisse ci

troveremmo in un mercato irrazionale).

Un portafoglio ben diversificato avrà un rendimento descritto dalla funzione seguente: ,

→ con un portafoglio ben diversificato rimane solo: dove è la

media pesata, per la quota del titolo nel portafoglio, dei di ogni singolo titolo.

→ :

con un portafoglio ben diversificato rimane solo il rischio sistemico, ovvero

Per capire meglio i passaggi vedere il capitolo sul potere della diversificazione (sul libro 8.2 e 10.2)

10.2.1 Betas and Expected Returns

Siccome il rischio non legato al fattore può essere eliminato con la diversificazione, solo il rischio legato ai

fattori dovrebbero, in equilibrio, determinare il premio per il rischio sul mercato.

Vediamo i seguenti grafici. Il ritorno atteso sul portafoglio A, ben diversificato, è 10%. In questo punto il fattore

sistematico è 0 (il che implica che non ci sono state

sorprese macroeconomiche e quindi beta non ha avuto

effetto: se ci fossero state il valore sarebbe stato di più o

meno del 10% seguendo la funzione e

di

proporzionalmente a beta). Se il portafoglio non fosse

diversificato avremmo i punti sparsi in quanto il

rendimento del singolo stock potrebbe, a volte, essere

superiore a quello del mercato ed a volte inferiore (volatilità superiore perché c’è meno diversificazione)

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In equilibrio la linea deve essere retta (perché il Beta di mercato, che definisce la pendenza è uno e uno

soltanto). Se la linea fosse curva o vi fosse un punto che sta fuori, vi sarebbe la possibilità di arbitraggio.

Esempio: Immaginiamo che nella figura a lato siano plottati i rendimenti di

due portafogli diversi con stesso beta (in funzione di un solo

fattore sistematico). È possibile questa situazione? No perché io

potrei vendere allo scoperto B e comprare A ed ottenere un

rendimento superiore senza aver fatto alcun investimento netto

(vendo uno e compro l’altro, non cambia l’investimento ma il

rendimento dell’altro è il 2% superiore).

E se i beta fossero diversi? Supponiamo di avere un portafoglio C ed uno A come

rappresentato dalla figura a lato: ci troveremmo con due

portafogli aventi beta differenti. Ora noi potremmo costruire,

tramite A ed il risk‐free asset, un portafoglio D con un beta

uguale al portafoglio C. Da quanto visto sappiamo che questa

situazione rende possibile l’arbitraggio: la retta detta dunque il

valore atteso su tutti i portafogli ben diversificati.

10.2.2 The One­Factor Security Market Line (One­Factor SML)

La Security Market Line del modello uni fattoriale deve forzatamente

essere identica a quella vista nel CAPM perché, come abbiamo visto, se

così non fosse avremmo possibilità di arbitraggio. L’equazione della SML

è dunque:

Abbiamo usato la no‐arbitrage condition per ottenere un expected

return‐beta relationship identica a quella del CAPM senza usare le

restrittive assunzioni del CAPM.

Le condizioni usate ora erano:

1. Un modello fattoriale che descrive il rendimento sulle securities

2. Un numero sufficiente di securities per formare portafogli ben diversificati

3. L’assenza di possibilità di arbitraggio

L’APT dimostra che a dispetto delle restrittive assunzioni, il CAPM dovrebbe essere comunque valido. È

notare che, al contrario del CAPM, l’APT non necessita a che il bench‐mark

oltretutto importante far

portfolio nella SML sia il vero portafoglio di mercato: qualsiasi portafoglio ben diversificato residente sulla

SML può essere usato quale benchmark portfolio.

Se un indice di mercato è sufficientemente diversificato, secondo l’APT, la SML rimane valida.

Abbiamo anche dimostrato che se non ci sono possibilità di arbitraggio, il rendimento in eccesso di ogni

portafoglio ben diversificato deve essere proporzionale al suo beta.

10.3 A Multifactor APT

Lo sviluppo del multifactor APT è simile a quello del modello ad un solo fattore, ma occorre prima

introdurre il concetto di factor portfolio: un portafoglio ben diversificato costruito in modo da avere beta =

1 su di un singolo fattore e beta = 0 per ogni altro fattore. È possibile formare un simile portafoglio perché

abbiamo un gran numero di securities fra cui scegliere ed un numero relativamente piccolo di fattori.

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I factor portfolio serviranno quale benchmark portfolios per una multifactor security market line.

10% 12%

Supponiamo di avere due factor portfolios, 1 e 2, in cui e ed un risk‐free rate del 4%. Il risk‐premium sul

primo factor portfolio è dunque il 6% e quello sul secondo l’8%. Ora consideriamo un portafoglio A costruito a partire dagli altri

, ,

e sul secondo . Il rendimento complessivo di A sarà dunque

due con un beta sul primo factor portfolio 0,5X6%+0,75X8%+4%=13%.

In parole, l’APT dice che il rendimento complessivo su un portafoglio deve essere uguale alla somma dei

risk‐premiums necessari quali compensazione per ogni fonte di rischio sistematico (ogni fattore è una

fonte di rischio sistematico) più ovviamente il risk‐free rate che è garantito di suo.

Il premio per il rischio complessivo di A attribuibile al fattore 1 sarà uguale alla sensibilità di A al primo factor portfolio moltiplicata

per il premio per il rischio che lo stesso factor portfolio garantisce, ovvero . Il premio per il rischio complessivo sul

. Il rendimento complessivo (compreso quindi il risk‐free rate) del nostro portafoglio A

secondo fattore sarà quindi

sarà dunque .

1 2

1 2

Il rendimento di un portafoglio generico Q sarà dunque una somma dei singoli risk‐premiums sui vari

fattori: sensibilità al factor portfolio 1 ….e al 2

11 The Efficient Market Hypothesis

Non è possibile identificare patterns prevedibili nei movimenti dei prezzi dei titoli: questi sembrano muoversi in

maniera casuale ed hanno eguale probabilità di salire come ne hanno di scendere, indipendentemente dalla

performance passata. Questo si spiega assumendo che tutte le informazioni disponibili sono già riflesse nei prezzi e

che solo nuove informazioni possono farli muovere. Non è dunque possibile prevedere i movimenti dei prezzi dei

titoli sulla base di esperienze passate.

Queste variazioni random dei prezzi indicano che il mercato è efficiente e funziona bene. Supponiamo che l’ipotetico

un’azione che vale 100 oggi varrà 110 domani: chi le detiene

modello di previsione (che non può esistere) ci dica che

oggi non le venderebbe e chi non le detiene aumenterebbe la domanda facendo IMMEDIATAMENTE schizzare il

prezzo a 110: in altre parole il prezzo degli stock rifletterebbe immediatamente le buone notizie implicite nel modello

di previsione … ergo nessun modello può prevedere l’andamento dei prezzi. Questo implica che solo le nuove

informazioni possono far variare il prezzo degli stocks e, per definizione, le nuove informazioni non sono prevedibili.

Ecco perché gli stock prices seguono un random walk.

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Generalmente si distinguono tre versioni dell’ipotesi di efficienza dei mercati (vedi sopra):

1. La versione debole

2. La versione semi forte

3. La versione forte

Altre cose che forse possono servire:

14 Bond Prices and Yields

14.1 Caratteristiche dei Bonds

Analizziamo qui le obbligazioni (bond). I bond sono delle debt securities, ovvero un titolo che dà diritto ad

un flusso periodico di pagamento. Le debt securities sono spesso chiamate fixed‐income securities perché

promettono:

• O un flusso di pagamento fisso

• O un flusso di pagamento predeterminato da una già specificata formula

Vediamo i seguenti concetti:

Il coupon rate, la maturity date e la face value di un bond sono parte integrante del bond indenture,

ovvero il contratto fra l’emettitore e il bondholder.

Pagamento semi‐annuale di alcuni bonds: significa che se abbiamo un coupon di 80 per un bond di face

value 1000, 40 li riceviamo a metà anno e gli altri 40 alla fine dell’anno.

Diversi tipi di debt securities:

• Treasury note (paga un coupon semi‐annuale e le maturities arrivano da 0 a 10 anni)

99: 28 99 99,875 87: 30 87

I face value sono solitamente 1000$. Se si indica un prezzo di un prezzo di

87,9375 quindi dopo il due punti si intendono sempre in trentaduesimi

• Treasury bonds (paga un coupon semi‐annuale e le maturities arrivano dai 10 ai 30 anni)

Valgono le stesse considerazioni dei T‐notes

• Corporate bonds

Il prezzo viene quotato in percentuale del face value. Solitamente quando sono quotati si mostra anche lo spread fra

l’YTM del corporate bond e l’YTM di un T‐Bond con una maturity date comparabile. Lo spread si misura in basis points ed

ogni point equivale ad uno spread di 0,01%: Lo spread rispecchia il credit‐risk della corporate che lo emette.

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14.1.1 Yield To Maturity (rendimento medio del bond)

Misura il rendimento medio di un investitore che acquista il bond al prezzo domandato (asked price) e lo

tiene fino alla sua maturity date.

I prezzi di un bond che vediamo quotati nel giornale non tengono conto degli interessi accresciuti fra i vari

momenti in cui i bonds pagano il coupon (

per far si che un bond che paga un coupon dell’8% semi‐annualmente abbia un

)

prezzo quotato di 1000 e non 1040 nell’ultimo anno prima della maturità

“Se un bond è acquistato, diciamo, quando manca ancora la metà del tempo fra il pagamento del coupon precedente e il prossimo,

il compratore dovrà pagare qualcosina in più perché gli manca meno del normale per ricevere il prossimo coupon”

Questo qualcosina in più è chiamato accrued interest e si calcola nel modo seguente:

se abbiamo un semi‐annual coupon payment altrimenti niente se è un bond che paga solo una volta l’anno

,

Per cui il prezzo del bond è:

Esempio: un T‐bond che paga un coupon rate dell’8% viene acquistato 40 giorni dopo che l’n‐esimo coupon è stato pagato ed il suo

prezzo quotato sul giornale è 990:00. Il prezzo a cui potrò acquistare questo bond è

990 998,79

14.1.2 Call Provisions on Corporate Bonds

Alcuni corporate bonds sono emessi con call provisions che permettono all’emettitore di ricomprare il bond

ad uno specifico call price prima della maturity date (i T‐Bonds solitamente non vengono emessi così).

14.1.3 Puttable Bonds

Extendable or put bond danno l’opzione al bondholder di rivendere all’emettitore il bond. Qualora il

coupon rate fosse minore del current market yields il bondholder lo potrebbe rivendere al prezzo pattuito.

14.1.4 Convertible Bonds

Danno il diritto ai bondholders all’opzione di scambiare ogni bond con un numero specifico di azioni

dell’azienda emettitrice del bond. Supponendo che l’azione valga 20$ e che il bond con un valore facciale di

1000$ dia diritto ad acquistare 40 azioni. Oggi non converrebbe dare via il bond di 1000$ per ottenere un

allora noi potremmo

controvalore azionario di 800$ ma qualora il prezzo delle azioni salisse a, diciamo, 30$

ottenere col nostro bond un valore azionario di 1200$ (200$ sono chiamati conversion premium), sempre

ammesso che il valore del bond non sia sceso nel frattempo.

14.1.5 Floating­Rate Bonds

Gli interessi pagati sul bond dipendono da una qualche misura dei rendimenti dei mercati (ad esempio

questi bond potrebbero dire che pagano un rendimento del 2% superiore ai T‐Bonds e quindi il coupon

varierebbe al variare dei T‐Bonds).

14.1.6 Preferred Stock

Pur essendo azioni sono considerate nell’universo fixed‐income perché promettono il pagamento di uno

specifico flusso di dividendi. Nel caso in cui l’azienda non pagasse dividendi questi verrebbero cumulati e

pagati quando l’azienda potrà farlo (quando l’azienda pagherà dividendi pagherà prima i preferred stock).

14.1.7 Innovation in the Bond Market Indexed

Alcuni bond di nuovo tipo (pagina 463): inverse floaters, Asset‐Backed Bonds, Catastrophe Bonds,

Bonds (ad esempio le Treasury Inflation Protected Securities o TIPS, indicizzate all’inflazione)

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14.2 Bond Pricing

1 1

Semplifichiamoci però la vita:

Il valore presente di un coupon‐annuo di 1$ che viene pagato T volte (ossia per T anni) quando il tasso di interesse è r è:

Il valore presente di un unico pagamento futuro di 1$ che avverrà fra T anni è:

Possiamo dunque scrivere che il prezzo di un bond è:

∑ , ,

Il grafico a sinistra mostra la relazione fra tasso di interesse

e prezzo di un bond (inverse relationship between bond

prices and yields) su 30 anni con un coupon dell’8%. Si

vede chiaramente che con un tasso di interesse dell’8%

(equivalente al coupon) il valore attuale del bond

corrisponde al valore facciale (in altre parole se i due tassi,

quello di rendimento e quello di interesse sono uguali non

guadagnerò niente comprandolo a 1000 oggi e prendendo

100 domani).

I prezzi dei bond fluttuano inversamente ai tassi di interesse ed è proprio per questo che le fluttuazioni dei

tassi di interesse rappresentano la principale fonte di rischio nei fixed‐income markets: più è lunga la

dei tassi di interesse. Proprio per questo

durata del bond e più il suo prezzo sarà sensibile alle fluttuazioni

motivo i T‐Bills sono considerati gli strumenti più sicuri: hanno una brevissima durata.

È importante notare che la formula di cui sopra ci dà i prezzi dei bond solo negli istanti precisi in cui sono

pagati i coupons. Per poter sapere il prezzo all’interno di un intervallo più breve, ad esempio da un giorno

all’altro, dobbiamo usare un metodo come quello visto a pagina precedente (considerare cioè gli accrued

interests)

14.3 Bond Yields

14.3.1 Yield to Maturity (YTM) – Internal Rate of Return

L’YTM è il tasso di interesse che rende il present value del bond’s uguale al suo prezzo attuale ed è

solitamente visto come una misura del rendimento medio che sarà guadagnato se è comprato oggi e tenuto

fino a maturazione.

Per calcolare l’YTM risolviamo l’equazione del suo prezzo in funzione del tasso di interesse utilizzando il

prezzo attuale del bond, ovvero cerchiamo l’incognita r nell’equazione seguente:

Per fare i calcoli si usa Excel perché sono complicati.

Pagina 44 di 73

Quando troviamo il tasso di interesse con la formula di cui sopra troviamo il tasso di interesse composto

sul periodo che intercorre fra il pagamento di una cedola e l’altra:

Per trovare l’YTM annuale composto (cioè il vero YTM che ci interessa), se ad esempio il bond paga un

, , %.

coupon ogni sei mesi e troviamo r=3%, dobbiamo fare

L’YTM annuale che troviamo sui giornali invece è semplicemente 3%X2=6%!!! È importante quindi che

l’YTM che troviamo sui giornali sia trasformato nel vero YTM (

dividiamo l’YTM del giornale per il numero di volte che

viene pagato in un anno e poi usiamo il procedimento di cui sopra per trovare l’YTM composto annuale … ovviamente il fattore di

)

elevazione non è sempre 2 ma dipende dal numero di volte che vengono pagati i coupons!!

A differenza dell’YTM il

Un premium bond è un bond che è venduto oggi ad un prezzo superiore al suo face value, per ogni

premium bond vale che:

• coupon rate > current yield > YTM

Un discount bond è un bond che è venduto oggi ad un prezzo inferiore al suo face value, per ogni discount

bond vale che:

• YTM > current yield > coupon rate

YTM

14.3.2 Yield to Call

L’YTM è calcolato sull’assunzione che il bond sia tenuto fino a maturazione. Se invece il bond è callabile e

può essere ricomprato prima della maturity date dall’azienda? Come possiamo misurare l’average rate of

return su bonds soggetti a call provision?

Partiamo dalla situazione in cui i tassi di interesse sono allo stesso livello del coupon rate: per l’azienda emettitrice e per il detentore

del titolo ci troviamo in una situazione di indifferenza. Se i tassi scendono però, l’azienda si ritrova a dover pagare molto di più per il

di quanto dovrebbe se decidesse di ritirare tutti i bond e rifinanziarsi con una nuova emissione ad un coupon rate più

debito sul bond basso che, visto i tassi di interesse più bassi, il mercato sarebbe comunque disposto a sottoscrivere.

Abbiamo anche visto che la diminuzione del tasso di interesse provoca un aumento nel prezzo dei bonds

che è fonte di un aumento di YTM per il bondholder e di perdita per l’emettitore. Con un callable bond

bond

l’emettitore può decidere di tutelarsi fissando un prezzo massimo oltre il quale ricomprerebbe il

(quindi oltre una certa diminuzione del tasso di interesse l’azienda potrebbe ricomprare il bond ed evitare

di perderci troppo).

Quando il call price è inferiore al present value del bond

l’emettitore lo ricompra tutelandosi così da eventuali perdite

eccessive dovute alla fluttuazione dei tassi verso il basso.

Come mostra la figura, quindi, in presenza di bassi tassi di interessi il

valore dei bonds callabili rispetto agli altri diverge. La YTC è calcolata come la YTM eccetto

che il tempo fino al call rimpiazza il

tempo fino a maturazione, e il call price

rimpiazza il valore facciale.

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14.3.3 Realized Compound Return versus Yield to Maturity

Siccome l’YTM viene espresso sottoforma di interessi composti è chiaro che implicitamente si assume che

ogni cedola sia reinvestita ad un tasso di interesse uguale all’YTM del bond.

Il rendimento composto di un investimento è calcolato come segue:

1

è il valore complessivo futuro del bond e dei coupons distribuiti e

reinvestiti

è il valore iniziale dell’investimento nel bond

e

è il numero di anni che intercorrono fra

Cosa succede se i coupons non possono essere reinvestiti allo stesso tasso

dell’YTM? Lo schema a lato lo spiega bene (e la tabella sotto ne formalizza

i contenuti): se il tasso a cui è reinvestita ogni cedola è inferiore all’YTM il

Realized Compound Return sarà inferiore all’YTM e viceversa se il tasso di

reinvestimento è superiore. La previsione del realized compound

un determinato periodo

yield su

durante il quale si tiene

l’investimento è detta horizon

analysis.

Le previsioni sui total return

dipendono dalle previsioni sia sul

prezzo del bond alla fine

dell’orizzonte sia dal tasso al quale

siamo capaci di reinvestire i coupons.

I prezzi di vendita dipendono, d’altro

canto, dall’YTM e dall’horizon date.

14.4 Bond Prices Over Time

Un bond viene venduto al suo valore facciale quando il coupon rate uguaglia il tasso di interesse sul

mercato. Quando il coupon rate è inferiore ai tassi di interesse, il coupon non sarà più sufficiente a far

guadagnare gli investitori quanto potrebbero guadagnare investendo, alternativamente, nei T‐Bonds: per

ricevere un giusto ritorno sull’investimento in bond gli investitori necessitano quindi che vi sia anche un

capital gain sul bond e, quindi, il bond verrà venduto ad un prezzo inferiore al suo valore facciale per poter

garantire un fair Holding‐Period Return.

Vale quanto segue:

La figura a lato mostra la relazione fra il prezzo di due bonds che pagano

approcciarsi della data di scadenza. Si

entrambi 1000$ alla scadenza, al

vede bene che sia i premium sia i discount bonds tendono a raggiungere il

valore facciale quando la scadenza è vicina.

Pagina 46 di 73

14.4.1 Yield to Maturity versus Holding­Period Return

Consideriamo un bond a 30 anni che paga un coupon annuo di

80$ e che è venduto al suo valore facciale di 1000$. Lo YTM su

l’YTM

questo bond è l’8%. Se l’YTM rimane costante anche il prezzo del bond rimarrà costante, se invece

dovesse scendere (a causa dell’aumento del prezzo) allora l’HPR dovrà aumentare per compensare la

perdita. Se supponiamo che la caduta dello YTM causi un aumento del prezzo a 1050 avremmo che:

13%.

In sostanza ricordiamo:

• YTM dipende dal coupon, dal valore facciale e dal prezzo odierno e quindi può essere calcolato

istantaneamente

• HPR è il rendimento di un investimento su un particolare periodo di tempo e dipende fortemente

dal prezzo al quale il bond può essere venduto

• Alla fine della maturity di qualsiasi bond YTM e HPR tendono a coincidere ma possono divergere

molto al variare dei tassi di interesse su di un determinato periodo prima della scadenza del bond

14.4.2 Zero­Coupon Bonds and Treasury Strips

Un bond che ha un coupon rate basso rispetto al tasso di interesse sul mercato dovrà essere venduto ad un

prezzo inferiore al suo valore facciale.

Uno Zero‐Coupon Bond è un Bond il cui coupon rate è 0. Per la ragione di cui sopra esso sarà venduto ad

un prezzo nettamente inferiore a quanto promette di pagare alla scadenza.

Immaginiamo un bond che paghi 10 coupons, noi potremmo definire il diritto di acquistare un singolo

flusso di coupon e considerarlo come uno Zero‐Coupon Bond: in questo caso paghiamo di stripping. I

Treasury Strips sono dunque Zero‐

Coupon Bonds del tesoro americano.

Se il tasso di interesse rimane

costante, il prezzo dei Zero‐Coupon

crescerà esattamente al crescere del

tasso di interesse, a partire dal loro

prezzo iniziale (discounted) fino al loro

valore facciale.

14.5 Default Risk and Bond Rating

Vedi pagina 479 e 480. Da ritenere: l’YTM promesso e l’YTM atteso su un bond divergono (il secondo è

solitamente più piccolo) a causa del rischio di default dell’azienda.

14.5.1 Determinants of Bond Safety

Pagina 481

14.5.1.1 Bond Indentures bond con il bondholder.

L’Indenture è il documento che definisce il contratto che lega l’emissario del

Questo contratto può specificare, tra l’altro (vedi pagina 483 per maggiori dettagli):

• Sinking Funds

• Subordination of Further Debt

• Dividend Restrictions

• Collateral

Tutti questi elementi contribuiscono a rendere un Bond più o meno sicuro.

Pagina 47 di 73

15 La struttura a termine dei tassi di interesse

15.1 La Yield Curve (curva dei rendimenti) Bonds con scadenze diverse hanno solitamente

YTM diversi e generalmente i Bonds con

scadenza più lunga offrono YTM più elevati. La

relazione tra rendimenti e maturity è espressa

graficamente dalla yield curve e non è sempre

detto che la curva abbia pendenza positiva.

Se, come abbiamo visto nel capitolo 14.4.2, parlando di Treasury Strips, ogni cash flow di un bond può

essere venduto come una security distinta, deve valere che il valore dell’intero bond dovrebbe

corrispondere al valore dei suoi cash flows comprati pezzo per pezzo sullo STRIPS market.

Se così non fosse un investitore potrebbe ipoteticamente comprare un bond, stripparlo, e venderne ogni

singolo pezzo separatamente guadagnandoci sopra: bond stripping e bond reconstitution (l’inverso)

offrirebbero così la possibilità di fare arbitraggio, quindi:

La curva dei rendimenti ci dà tutti i tassi di interesse che ci servono per scontare ogni singolo pagamento

di cedola quando cerchiamo il valore attuale di un bond ed impedisce a che le possibilità di arbitraggio si

verifichino.

15.2 Curva dei rendimenti e tassi di interesse futuri

15.2.1 La curva dei rendimenti sotto l’ipotesi di certezza dei tassi di interesse

I tassi di interesse si fissano a quel livello per cui gli investitori con orizzonte di investimento a breve e

investitori con orizzonte a lungo sono indifferenti fra l’investire a lungo o a breve.

Distinguiamo fra:

1. spot rate (y)

È l’YTM sugli zero‐coupon bonds. Ovvero il tasso

valevole OGGI per il periodo di tempo che manca

alla scadenza dello zero‐coupon bond. È il tasso di

interesse multi periodale valevole oggi per n

periodi.

2. short rate (r)

È il tasso di interesse che si riferisce per uno

specifico intervallo di tempo. Potremmo dire che è il

tasso di interesse uni periodale valevole fra n

periodi.

Gli investitori con orizzonti di lungo periodo e quelli di breve periodo devono essere indifferenti fra

l’acquistare due bond uniperiodali ed uno bi periodale, quindi:

1 1 o, in altri termini . Generalizzando:

Pagina 48 di 73

15.2.2 Forward Rates

Il tasso short futuro è quello che chiamiamo forward

interest rate e per calcolarlo usiamo lo stesso principio

dell’equivalenza fra investimenti usato prima: l’acquisto di

uno zero‐coupon bond per n periodi deve essere uguale

all’acquisto di uno zero‐coupon bond per n‐1 periodi ed il

successivo reinvestimento in un bond valevole un anno. In

parole povere deve valere che

1

1 1 , ovvero:

15.3 Incertezza sui tassi di interesse e tassi forward

In condizioni di certezza vale: 1

1 1

In condizioni di incertezza vale invece:

1 1

1

Se fosse effettivamente uguale a gli investitori a breve sarebbero indifferenti fra le solite due

strategìe di investimento. Il problema è che non è noto con certezza e dunque per rendere le due

strategìe equivalenti dobbiamo aggiungere un premio per il rischio di liquidità per compensare gli

investitori a breve spaventati dall’eventuale scostamento in negativo di rispetto al suo valore atteso.

L’equazione va dunque corretta nel modo seguente:

Il tasso forward comprende ora un premio

Il premio per il rischio potrà essere negativo o positivo a seconda che sul mercato sia necessario, per

stabilire un equilibrio, invogliare gli investitori a lunga a domandare a breve o quelli a breve a domandare a

lungo. ‐ se è positivo significa che ci sono più investitori a breve, se è

negativo sono in maggioranza quelli a lungo.

15.4 Theories of the term structure

15.4.1 Expectations hypothesis

L’assunzione è che valgono le aspettative e dunque e non c’è nessun premio per il rischio. Con

questa assunzione possiamo legare i rendimenti sui bonds a lungo termine alle aspettative sui futuri tassi di

interesse. In più, possiamo usare il tasso forward derivato dalla curva dei rendimenti per inferire sulle

aspettative del mercato relative ai short rates futuri.

In questa ipotesi la YTM di un bond sarebbe determinata esclusivamente dai tassi odierni e futuri

uniperiodali e una curva dei rendimenti crescente indicherebbe senza equivoci che gli investitori si

aspettano un aumento dei tassi di interesse.

Pagina 49 di 73

15.4.2 Preferenza per la liquidità

Siamo in una situazione in cui il mercato è dominato da investitori di breve

periodo. Per far si che essi investano a lungo, per equilibrare il mercato,

abbiamo dunque bisogno che ovvero che il premio per il rischio

sia positivo. In questo contesto teorico una curva dei rendimenti crescenti

potrebbe essere dovuta a:

• Aspettative sui tassi attesi in discesa associata ad un premio per la

liquidità che cresce di più

• il rischio basso

Aspettative sui tassi attesi in salita e premio per

• Aspettative sui tassi costanti e premio per il rischio crescente

Purtroppo, anche se la yield curve riflette le aspettative sui futuri tassi di

interesse, riflette anche altri fattori quali il premio di liquidità e diventa

dunque difficile distinguere i tassi attesi dal premio liquidità.

Possiamo comunque dire che (diamo per scontato che il tasso forward contenga già il liquidity premium):

• la yield curve cresce

• la yield curve decresce

15.5 Forward Rates As Forward Contracts

Ammettiamo di voler fare un mutuo domani fissandone già il tasso al 7,01% oggi.

Supponiamo di avere un 1‐year zero‐coupon bond con un YTM del 5% (costa 952.38 oggi e paga 1000

domani) e un 2‐year zero‐coupon bond con un YTM del 6% (costa 890 oggi e paga 1000 fra due anni). Il

forward rate per il secondo anno sarebbe 7,01%.

Compriamo l’ 1‐year zero‐coupon bond oggi, spendendo 952.38, e vendiamo per lo stesso importo un

numero di 2‐year zero‐coupon bonds (per comprare 1‐year zero‐coupon bond oggi dobbiamo vendere

. , 2‐year zero‐coupon bonds): dopo un anno riceveremo 1000 dal 1‐year zero‐coupon bond

comprato e dovremo pagare alla fine del secondo periodo il valore facciale dello 2‐year zero‐coupon bond

1,0701

… siccome ne abbiamo venduti … dovremo pagare 1000x1,0701=1070,1 alla scadenza) …

riassumendo avremo ottenuto all’inizio del secondo periodo 1000 e dovremo ripagare 1070,1 alla fine del

periodo: per ottenere 1000 dobbiamo pagare 1070,1 e quindi è come se l’interesse è dello 7,01%. Il fatto è

che questo interesse lo abbiamo già definito un anno prima e corrisponde al tasso forward.

In generale per costruire un prestito futuro ad un tasso di interesse forward già noto oggi:

1

Vendere 2‐year zeros per ogni 1‐year zero che compriamo (dobbiamo comprare il numero di one‐

zero sufficiente a darci un valore facciale uguale al valore complessivo del prestito che vogliamo ottenere).

16 Managing Bond Portfolios (non è da fare?)

20 Option Valuation

20.1 The Option Contract

Una call option da al detentore il diritto di comprare un asset per un prezzo definito, chiamato exercise o

strike price, entro o in, una specifica data. Ad esempio:

Una april call option su azioni IBM con un exercise price di 85$ dà il diritto di acquistare l’azione IBM per 85$ durante qualsiasi

periodo prima della fine di aprile.

Pagina 50 di 73

L’azione di esercitare una call option è detta “call away”. Se l’opzione non è esercitata entro il termine

perde ogni valore. Vediamo i casi seguenti quando giungiamo alla scadenza del termine specificato:

• Prezzo di mercato > exercise price

Il valore dell’opzione è

• Prezzo di mercato < exercise price

Il valore dell’opzione è si chiama premium

Il premium rappresenta la compensazione che l’acquirente del call

deve pagare per ottenere il diritto di esercitare l’opzione qualora il

suo esercizio diventa profittevole.

I writers, ovvero coloro i quali vendono le call options, ricevono il premium quale

pagamento contro la possibilità di dover più tardi vendere l’asset ad un prezzo inferiore

a quello di mercato.

Una put option, al contrario, dà al detentore il diritto di vendere un asset per un prezzo

definito, sempre chiamato exercise o strike price, al put writer. Chiaramente un put

sarà esercitato solo se il prezzo di mercato è inferiore allo strike price e tutti i

ragionamenti si invertono.

20.1.1 Options Trading

Le opzioni possono essere tradate:

• Sull’OTC market (

il contratto può essere tailored sui bisogni dei traders ma mettere in piedi un opzione sull’OTC è

)

generalmente più costosa che sull’Exchange Market

• Exchange Market (

le opzioni tradate con le stesse scadenze sono tutte standardizzate e quindi i costi di trading si

)

abbassano ed il mercato è più competitivo perché i prodotti sono tutti “uguali”

Exchanges offrono due importanti benefici:

1. Facilità di trading

2. Liquid secondary market

Nelle quotazioni dell’Exchange può succedere di vedere opzioni identiche vendute a prezzi diversi, questo è

possibile in quanto magari una delle due è stata scambiata oggi e l’ultimo scambio dell’altra risale a ieri (ad

ogni modo il valore di scambio quando si vuole scambiare qualsiasi delle due non può differire)

20.1.2 Adjustments in Option Contract Terms

Quando ci sono splits di stocks oppure distribuzioni di dividendi superiori al 10% lo strike price di

un’opzione viene istantaneamente modificato così come anche il numero di azioni a cui l’opzione da

eventualmente diritto (

questo perché gli splits riducono il valore di ogni singola azione e renderebbero quindi il valore delle

opzioni praticamente nullo e anche la distribuzione di elevati dividendi abbassa il di mercato complessivo della azioni e quindi

).

influisce senza giustificazione sul valore delle opzioni

20.1.3 The Option Clearing Corporation (OCC)

Acquirenti e venditori di obbligazioni definiscono un prezzo e decidono di scambiarsi le opzioni. A questo

punto entra l’OCC quale camera di compensazione che si piazza fra i due, diventando l’effettivo acquirente

dell’opzione dal punto di vista del writer e l’effettivo writer dell’opzione dal punto di vista del buyer.

Pagina 51 di 73

Tutti gli individui, quindi, trattano solo con l’OCC, che garantisce la performance dei contratti. Siccome

l’OCC diventa garante, gli option writers devono depositare un margine a garanzia della loro capacità di

far fronte al contratto.

Il margine (che solo il writer è tenuto a versare) è determinato secondo diversi metodi da:

• Il valore in‐the‐money dell’obbligazione

• Altre securities tenute dall’investitore nel portafoglio

20.1.4 Other Listed Options (pagina 697)

Non ci sono solo le opzioni sugli stocks ma anche sugli assets in generale, ad esempio troviamo:

• Index Options

• Futures Options

• Foreign Currency Options

• Interest Rate Options

20.2 Value Of Options at Epiration

20.2.1 Call Options

20.2.1.1 Punto di vista del call holder (quello che compra l’opzione)

Abbiamo già visto prima che vale quanto segue:

È però importante tenere presente che il profitto, al contrario del

payoff, tiene anche in considerazione il costo dell’Opzione. Ciò

nondimeno quando parliamo di payoff non ci riferiamo al profitto

netto ma a quello lordo (ovvero senza considerare il premium

dell’opzione)→ profitto ≠ payoff = valore dell’opzione al termine.

20.2.1.2 Punto di vista del call writer (quello che vende l’opzione)

All’inverso vale che:

È logico, se l’exercise price è superiore al valore dello stock il

detentore dell’opzione non la eserciterà ed il payoff sarà nullo

(mentre il profitto netto corrisponderà al prezzo di vendita

dell’opzione) mentre, se l’exercise price è inferiore al valore dello

stock il writer avrà un payoff negativo uguale alla differenza fra

l’exercise price ed il prezzo di mercato (mentre la perdita effettiva

dipende da quanto ha guadagnato prima vendendo l’opzione).

20.2.2 Put Options

In questo caso l’holder non esercita l’opzione a meno che l’asset sia

quotato ad un prezzo inferiore all’exercise price e vale la seguente

holder:

equazione di payoff per il put

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20.2.3 Option versus Stock Investments

Due diverse strategìe:

• Bullish strategy → acquistare calls o vendere puts → profitti quando gli stocks aumentano di prezzo

• Bearish strategy → acquistare puts o vendere calls→ profitti quando gli stocks perdono di prezzo

Siccome il valore delle opzioni dipende dal prezzo degli stocks, acquistare opzioni può essere visto come un

sostituto all’acquisto e alla vendita diretta di stocks. Ma perché quindi passare attraverso le opzioni e non

direttamente alle azioni? Analizziamo tre strategìe di investimento di un budget di 7000$ considerando

al 2%:

un’azione che oggi vale 70$, calls con strike price a 70$ e 6‐month T‐bills

• Strategìa A (portafoglio A)

Investire 7'000$ in 100 azioni che valgono 70$.

• Strategìa B (portafoglio B)

Investire 7’000$ in 700 call options del valore di 10$. Queste opzioni hanno un exercise price di 70$ e danno diritto ad

acquistare complessivamente 100 azioni

• Strategìa C (portafoglio C)

Comprare 100 opzioni come quelle sopra (spendo quindi 1000$ ed acquisto il diritto di acquistare 14,3 azioni a 70$) ed

investo i rimanenti 6000$ in 6‐month T‐bills al 2%

Analizziamo ora il valore complessivo (a sinistra) e rendimento (a destra) del portafoglio al variare del

valore delle azioni:

Il portafoglio A avrà un valore di 100 volte il prezzo di una singola azione, il portafoglio B non ha nessun valore se non al momento in

il valore delle azioni e lo strike

cui il prezzo delle azioni sale sopra allo strike price di 70$ e da li in poi vale 700 volte la differenza fra

price. Il portafoglio C vale sempre e comunque 6120$ più l’eventuale valore di 100 opzioni per lo scarto fra il prezzo di mercato e lo

strike price … una volta calcolati tutti i valore calcoliamo il rendimento percentuale rispetto all’investimento iniziale di 7000$ e

otteniamo la tabella a destra.

Graficamente abbiamo quanto segue:

• Il portafoglio B è il più sensibile alle variazioni del

prezzo delle azioni. Se il prezzo scende sotto ai

70$ infatti non ce ne facciamo niente delle nostre

opzioni e perdiamo il 100% di quanto investito ma

se il prezzo sale guadagniamo 700 volte

l’incremento del prezzo delle azioni.

• Il portafoglio C non è sensibile ne quanto l’A ne

quanto il B agli aumenti e alle perdite di valore

delle azioni ma garantisce anche nella peggiore

delle ipotesi una perdita massima del 12,6%

• Il portafoglio A è meno probabile di B che conduca ad una perdita del 100% ma in compenso non permette di

garantire lo stesso effetto leva del portafoglio B.

Nel caso in cui si disponga di informazioni insider la strategia B è sicuramente quella che paga

(illegalmente) di più grazie al fattore leva delle opzioni. Le opzioni possono dunque:

• Rendere accessibile un effetto leva

• un minor rendimento potenziale

Se mischiate coi T‐Bills consentire di limitare le perdite in cambio di

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20.3 Option Strategies

Un numero illimitato di payoff patterns possono essere costruiti combinando puts e calls con diversi

exercise prices. Qui spieghiamo la motivazione e la struttura di alcuni patterns più popolari.

20.3.1 Protective Put (l’esempio è più chiarificatore)

Immaginiamo di volere investire in uno stock ma di volere anche limitare le perdite oltre un certo livello:

potremmo considerare di investire in uno stock e contemporaneamente comprare una put option sullo

stock: qualsiasi cosa succeda al valore delle azioni ci garantiamo un payoff almeno uguale all’exercise price

del put (questo perché male che vada possiamo sempre vendere le azioni all’exercise price).

In questo esempio consideriamo il payoff di portafoglio e non il rendimento dello stesso che vale:

Se il valore dello stock è inferiore all’exercise price del put il nostro portafoglio avrà un valore equivalente

all’exercise price (perché possiamo comunque vendere all’exercise price) mentre se il valore dello stock è

impatti

superiore il valore del nostro portafoglio sarà uguale a quello dello stock. Il grafico illustra bene gli

di una simile strategia sul profitto (quindi consideriamo anche il costo dei put) rispetto all’acquisto di soli

stocks:

• Il profitto se investiamo unicamente sugli stocks è 0 se il prezzo degli stocks non

) e varia linearmente verso

cambia (assumendo di averli comprati al “prezzo”

l’alto e verso il basso se il prezzo degli stocks varia (ovvero se )

• Il profitto se investiamo sia in stocks sia in puts, se il prezzo degli stocks non

è negativo e

cambia ed abbiamo comprato dei puts con un exercise price

coincide con quanto abbiamo speso per acquistare il put (‐P). Se il prezzo degli

stocks scende il profitto complessivo rimane sempre –P perché il put ci

garantisce di poter vendere gli stocks sempre al prezzo anche se è minore.

Se invece il prezzo degli stocks cresce, ovvero allora cominceremo prima

a guadagnare quello che abbiamo perso comprando il put e poi oltre un certo punto inizieremo a guadagnare.

La seconda strategia ci consente di limitare le perdite al costo sostenuto per assicurarci i put mentre la

prima ci può anche portare a perdere tutto ( ).

Esempio: supponiamo di essere un fondo pensioni che dispone di 100$ di azioni. Se il fondo comprasse un

put con uno strike price a 100$ che costa X$ e le azioni dovessero perdere di valore al massimo potrebbe

guadagnerebbe un po’ meno (110$‐X$).

perdere X$ e se invece il valore dovesse aumentare a 110$

20.3.2 Covered Call (esempio con un solo call e una sola azione)

Al contrario di prima qui compriamo

uno stock e simultaneamente

vendiamo un call sullo stock.

Il massimo che possiamo incamerare quando le azioni aumentano di valore è

dunque quello che ci ha dato l’altro per comprare il call (perché l’altra parte di

guadagno non possiamo realizzarla pure avendo lo stock perché dobbiamo

vendergliela a lui ad un prezzo inferiore a quello di mercato) mentre il massimo che

di valore è

possiamo incamerare (ocio è comunque una perdita) se le azioni perdono

il valore complessivo delle azioni (quindi la perdita complessiva equivale alla

diminuzione di valore dello stock meno quanto incamerato con la vendita del call). Il

vantaggio di questa strategia è che iniziamo a perdere solo quando il valore perso

sull’azione è superiore a quello incamerato col call)

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Esempio: supponiamo di essere un fondo pensioni che dispone di 100$ di azioni e che intende venderle

comunque quando queste raggiungono 110$. Questo potrebbe vendere un call con uno strike price a 110$

e quando le azioni dovessero raggiungere 110$ egli non incamererebbe più solo 10$ ma 10$+X$ del prezzo

del call. Se invece il valore delle azioni dovesse scendere a 90$ avrebbe in realtà perso solo 10$‐X$.

20.3.3 Straddle (bets on volatilità)

Un long straddle si fa quando si comprano sia un put sia un call entrambi

Questa

con lo stesso exercise price, X, e la stessa expiration date, T.

strategìa è utile agli investitori che credono che lo stock si muoverà molto

ma non sono sicuri della direzione. Ad esempio se si è in trattativa per

l’acquisizione di un’azienda possiamo immaginare che il prezzo

dell’azione raddoppi se la vendita va in porto o dimezza se la trattativa

fallisce. Una long straddle permette di guadagnare in entrambi i casi.

Il peggiore dei casi è

quello se il prezzo non si

muove perché in quel

caso avrò speso per

l’acquisto del put e del call senza guadagnarci niente. Chiaramente per

guadagnarci le nostre stime di volatilità devono essere superiori a quelle

fatte dal mercato.

Strips: due puts e un call su una security con lo stesso exercise price e

maturity date

Straps: due calls e un put.

20.3.4 Spreads (bullish spread)

Uno spread è una combinazione di due o più calls (o due o più puts) sullo

stesso stock con diversi exercise prices o times to maturity. Alcune opzioni

vengono comprate ed altre vendute, distinguiamo fra:

• Money spread: acquisto di un’opzione e simultanea vendita di

un’altra con un diversi exercise price

• Time spread: acquisto e vendita di opzioni con diverse expiration

grafici)

dates (vedi tabella e

20.3.5 Collars

A collar is an options strategy that

brackets the value of a portfolio

between two bounds. Suppose that

an investor currently is holding a large position in Microsoft, which is currently selling at $70 per share. A lower bound

of $60 can be placed on the value of the portfolio by buying a protective put with exercise price $60. This protection,

however, requires that the investor pay the put premium. To raise the money to pay for the put, the investor might

the put, meaning that

write a call option, say with exercise price $80. The call might sell for roughly the same price as

the net outlay for the two options positions is approximately zero. Writing the call limits the portfolio’s upside

potential. Even if the stock price moves above $80, the investor will do no better than $80, because at a higher price

the stock will be called away. Thus the investor obtains the downside protection represented by the exercise price of

the put by selling her claim to any upside potential beyond the exercise price of the call.

Pagina 55 di 73

20.4 The Put­Call Parity Relationship

Un protective put portfolio non è l’unico modo per ottenere un limited down side risk con unlimited upside

potential. Consideriamo la strategia di comprare una call option e T‐Bills con valori facciali uguali all’exercise price

simile portafoglio

del call e maturity date uguale all’expiration date dell’opzione. Esaminiamo la posizione di un

quando le opzioni scadono e i T‐bills giungono a maturazione.

Esempio:

1. Il call ha un exercise price di $100 e noi ne compriamo tanti quanto ci servono per comprare 100 azioni.

2. Se alla scadenza volessimo comprare 100 azioni dovremo quindi spendere 10’000$

momento compriamo T‐bills il cui valore alla maturity sia esattamente quanto dovremmo

3. Nello stesso

spendere se volessimo esercitare il call, ovvero T‐bills per 10’000$ alla maturity.

Più generalmente per ogni opzione che compriamo con un exercise price di X compriamo T‐Bills con un valore

al tempo T, scadenza avremo:

facciale di X. Alla maturazione Se il valore azionario è

Se il valore azionario è superiore all’exercise price

Value of call option 0

inferiore all’exercise price non usiamo il frutto dei T‐Bills (X)

Value of riskless X X

ci conviene esercitare il put e per comprare le azioni tramite

bond

ci teniamo quello che ci il call e terminiamo con St

pagano i T‐Bills (ovvero X) TOTAL X ,

Se il valore dello stock eccede X allora il payoff sul call, ovvero

viene aggiunto al face value del bond e fornisce un payoff totale di

. Il payoff su questo portafoglio è precisamente identico al

payoff sul protective put che abbiamo visto prima (vedi a lato)

Se due portafogli giungono allo stesso risultato allora per “comprarli” dobbiamo pagare lo stesso prezzo

(altrimenti ci sarebbe arbitraggio): a call‐plus‐bond portfolio must cost the same as the stock‐plus‐put

)

portfolio (

se ogni call costa C e sappiamo che lo zero‐coupon bond costa e ogni put costa P e lo stock oggi costa

allora il put‐call parity theorem ci dice che:

L’equazione di cui sopra si applica solo alle opzioni sugli stocks che non pagano dividendi prima della

maturity date dell’opzione. Con i dividendi deve valere:

20.5 OptionLike Securities

20.5.1 Callable Bonds

Un’emissione di un bond con una call provision convoglia una call option all’emettitore, in cui si specifica

un exercise price al quale l’emettitore ha diritto di riacquistare l’obbligazione. Se un bond callabile fosse

emesso con lo stesso coupon rate di uno straight bond normale ci

aspetteremmo che il suo prezzo sia inferiore a quello di uno straight

bond (la differenza di prezzo sarebbe il valore della call option), ma i

coupon rate sui callable bonds sono di solito scelti in modo che il bond

possa essere venduto al suo FV. Come mostra la figura, il potenziale di

capital gains di un callable bond è limitato dall’opzione per l’azienda di

ricomprarlo all’exercise price.

Pagina 56 di 73

20.5.2 Convertible Securities I bonds e gli stocks convertibili convogliano

l’opzione al detentore della security e non

all’emettitore. Tipicamente l’opzione riguarda il

diritto di scambiare ogni bond o preferred stock in

un numero fisso di common stocks

indipendentemente dal prezzo di mercato dello

stesso. Per esempio un bond con una conversion

ratio di 10 permette al detentore di convertire un

bond avente valore facciale di 1’000$ in 10 azioni

normali (possiamo anche dire che il conversion

price è 100$).

Se il valore presente del bond è inferiore a 10 volte il valore di un’azione

allora il detentore se non è scemo lo convertirà: un bond che vale $950 con

una conversion ratio di 10 sarà convertito quando il prezzo di un’azione

supererà i 95$.

La conversion value di un bond è il valore che avrebbe se fosse

immediatamente convertito in stocks; chiaramente quindi il bond sul

mercato avrà sempre un prezzo almeno uguale alla sua conversion value

perché se fosse inferiore qualcuno lo comprerebbe e farebbe un profitto

immediato convertendolo subito in azioni.

La straight bond value, o bond floor è il valore che il bond avrebbe se non

fosse convertibile in azioni (il prezzo di un convertible bond sarà sempre più

elevato di quello di uno straight bond (perché comprende dentro di se uno

straight bond e una call option)

Le figure a lato illustrano le proprietà di un convertible bond e l’esempio

può magari aiutare a capire qualcosina in più.

20.5.3 Warrants aziende. Vi sono ciò nondimeno delle differenze:

I Warrants sono come delle call options emesse dalle

• Quando esercitiamo un warrant l’azienda non ci dà un’azione già esistente ma ne emette di nuove

• A differenza delle call options i warrants aumentano il cash flow verso l’azienda quando chi lo

detiene paga l’exercise price

Le executive and employee stock options che sono diventate così popolari negli ultimi anni sono dei

warrants.

20.5.4 Collateralized Loans

Molti contratti di mutui richiedono che il borrower (colui che richiede il mutuo) metta un collateral per

garantire che il mutuo sarà ripagato. In caso di fallimento il lender (colui che presta) prende possesso del

collateral. Un nonrecourse loan limita i diritti di reclamo di chi presta al valore del collateral (se io fallisco la

banca si può riprendere solo il collateral). Questo tipo di loan dà quindi implicitamente al borrower una call

option:

Ammettiamo che:

• Il valore del mutuo da ripagare alla scadenza è L

• ed il suo valore odierno è

Il valore del collateral alla scadenza è

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Colui che prende il mutuo ripagherà L se e solo se L< . Se

il borrower preferirà fare default e liberarsi

invece L>

dall’obbligo di ripagare il mutuo ripagando solo il collateral .

In effetti questa è una sorta di call option con exercise price L.

Gli stessi ragionamenti si possono fare assumendo che vi sia

una put option (per via della parità fra i due che abbiamo visto)

20.5.5 Levered Equity and risky Debt

Investors holding stock in incorporated firms are protected by limited liability, which means that if the firm cannot pay

its debts, the firm’s creditors may attach only the firm’s assets and may not sue the corporation’s equityholders for

further payment. In effect, any time the corporation borrows money, the maximum possible collateral for the loan is

the total of the firm’s assets. If the firm declares bankruptcy, we can interpret this as an admission that the assets of

the firm are insufficient to satisfy the claims against it. The corporation may discharge its obligations by transferring

ownership of the firm’s assets to the creditors.

Just as is true for nonrecourse collateralized loans, the required payment to the creditors represents the exercise price

of the implicit option, while the value of the firm is the underlying asset. The equityholders have a put option to

transfer their ownership claims on the firm to the creditors in return for the face value of the firm’s debt.

Alternatively, we may view the equityholders as retaining a call option. They have, in effect, already transferred

their ownership claim to the firm to the creditors but have retained the right to reacquire the ownership claim by

paying off the loan. Hence, the equityholders have the option to “buy back” the firm for a specified price, or they have

a call option.

20.6 Financial Engineering

Una delle cose più attraenti delle opzioni è la loro abilità di creare posizioni di investimento con payoffs che

dipendono in una moltitudine di modi dai valori di altre securities. Le opzioni possono essere usate per

sviluppare nuove securities personalizzate o portafogli con predefiniti patterns di esposizione al prezzo

della underlying security. In questo senso, le opzioni e i futures (che vedremo) danno l’abilità di immergersi

in quello che chiamiamo financial engineering, ovvero la creazione di portafogli con specifici patterns di

payoff.

Un semplice esempio di prodotto ingegnierizzato con opzioni sono gli index‐linked certificate of deposit

(vedi pagina 720)

20.7 Exotic Options (pagina 721)

20.7.1 Asian Options

20.7.2 Barrier Options

20.7.3 Lookback Options

20.7.4 Currency­Translated Options

20.7.5 Digital Options

21 Option Valuation (option­pricing theory)

21.1 Option valuation: introduction

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21.1.1 Intrinsic and Time Values (capito nu cazzo)

Abbiamo visto che il valore di un’opzione è definito come , ovvero:

In un qualsiasi momento dopo l’emissione invece abbiamo:

L’intrinsic value corrisponde al payoff che potremmo ottenere esercitando immediatamente l’opzione. L’intrisic value

è 0 per opzioni out‐of‐the‐money o at‐the‐money. Definiamo il time value dell’opzione come segue

Anche se l’opzione non dovesse avere un valore in un dato tempo verrebbe

comunque venduta ad un prezzo superiore a 0 perché c’è ancora il tempo ed il

potenziale per far si che l’actual price aumenti. All’aumentare del prezzo dello

stock, il valore dell’opzione si avvicina all’adjusted intrinsic value, ovvero lo stock

price meno il present value dell’exercise price:

21.1.2 Determinants of Option Values

Possiamo identificarne almeno 6:

1. Lo stock price ( )

più aumenta lo stock price più potrò guadagnare dall’opzione e più l’opzione varrà

2. L’exercise price

Più è basso e più facilmente potrò esercitare la call option e quindi più si alza l’exercise price più si abbassa il valore

dell’opzione

3. La volatilità dello stock price

nell’esempio qui a lato si suppone che l’exercise price sulla call option è 30$ e si

mostrano i payoffs della call option nel caso lo stock price sia molto o poco volatile

(l’expected value dello stock price è 30$ in entrambi i casi). Maggiore è la volatilità

sull’opzione.

maggiore è l’expected payoff

4. Time to expiration

Più tempo manca all’expiration e maggiore è il tempo in cui eventi imprevedibili possono influenzare il prezzo e portarlo

verso l’alto (in un secondo la volatilità dello stock è 0 ma in 10 anni vi è un’enorme volatilità)

5. Interest rate

Il valore di una call option si eleva quando aumentano gli interessi perché alti tassi di interesse riducono il present value

dell’exercise price (cioè quello che dovrò pagare per ottenere l’azione qualora dovesse essere conveniente esercitare il call)

6. Dividend rate of the stock

Una politica di alti dividendi frena dal crescita del prezzo delle azioni e quindi il potenziale delle call options

21.2 Restrictions on Option Values

Consideriamo alcune delle più importanti proprietà dei prezzi delle opzioni.

21.2.1 Restrictions on the Value of a Call Option

• Il valore di un’opzione call non può essere negativo C ≥

• Il valore di un’opzione call deve rispettare la disuguaglianza C ≥

, dove D sono i dividendi pagati dall’azione

• per avere il diritto di comprare uno stock

Nessuno pagherebbe più di

quindi C

che attualmente vale

Le condizioni di cui sopra sono rappresentate anche nel grafico.

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21.2.2 Early Exercise and Dividends

Un option holder che desidera chiudere la sua posizione può decidere di vendere l’opzione o esercitarla:

Se vogliamo esercitare l’opzione in un qualsiasi momento prima della scadenza avremo, assumendo di operare in the

.

money, un payoff di

Se vogliamo vendere abbiamo visto che l’opzione può essere venduta per almeno quindi, per

un’opzione su un non‐dividend‐paying stock, , deve valere che

L’implicazione è che il prezzo dell’opzione sul mercato deve superare il valore derivante dall’esercitare

l’opzione, ovvero, dato che ,

In altre parole le calls su non‐dividend‐paying stocks valgono di più da vive che da morte o, in altri

termini, non conviene mai esercitare una call option prima della maturity.

Ciò significa che una qualsiasi formula valutativa che si applica agli European call, for which only one

exercise date need be considered, si applica anche agli American call.

21.2.3 Early Exercise of American Puts

Il diritto di esercitare una put option prima della maturity deve avere un valore perché se supponiamo che

la ditta faccia bancarotta ed il valore delle azioni crolli a 0 prima della maturity è proprio in quel momento

che vale più la pena esercitare il put. Esiste quindi un certo valore sotto al quale deve valere la pena

esercitare il put prima della scadenza (e può anche essere superiore a 0 perché 0,001 e 0 non fa molta

del put). Ciò significa che le American put

differenza sul guadagno complessivo realizzabile con l’esercizio

devono valere di più delle European put (perché le ultime non permettono l’esercizio prima della scadenza

del put)

21.3 Binomial Option Pricing

21.3.1 Two­State Option Pricing $

Supponiamo che uno stocks sia venduto a un prezzo e che il prezzo potrebbe aumentare di un

.

fattore oppure diminuire di un fattore .

Supponiamo ora di avere una call option sullo stock con un

exercise price di $125 ed una time to maturity di 1 anno. Il tasso

di interesse è l’8%. Alla fine dell’anno abbiamo dunque le

possibilità a lato riguardo al prezzo dello stock ed al payoff della

call option.

Consideriamo ora il payoff di un portafoglio contenente

un’azione dello stesso stock di cui sopra ottenuta con $57.3

nostri e $46.30 di prestito al tasso di interesse dell’8% (quindi

alla fine dell’anno dovremo ridare $50 per il prestito).

Il payoff di questo portafoglio, come si può vedere, è esattamente il doppio di

quello precedente a parità di prezzo dello stock. In altri termini occorrono due call

options come quelle di prima per replicare il payoff del secondo portafoglio. Se due call options replicano il

secondo portafoglio allora esse devono avere lo stesso costo necessario per costruire il secondo

portafoglio: 2 $53.7 $ . for the call option

→ fair value

Riassumendo: dati i prezzi degli stocks, gli exercise price, il tasso di interesse e la volatilità dei prezzi degli

stocks (rappresentati dalle grandezze u e d) possiamo derivare la fair value for the call option.

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Vi è un altro modo per vedere questo approccio:

Assumiamo di vendere (write) due call options ed acquistare il secondo portafoglio (ovvero acquistare un’azione prendendo i soldi

a prestito): se il prezzo dell’azione dovesse scendere chi ci compra la call option non la eserciterebbe e noi non dovremmo quindi

sborsare niente (Obligation from 2 calls written: ‐0 e Stock value 50), se invece il prezzo dovesse salire allora le calls verrebbero

azioni a $200 e rivenderle

esercitate e noi dovremmo comprare ulteriori due

per $125 perdendo complessivamente $150 (Obligation from 2 calls written: ‐

150 e Stock value $200). In entrambi i casi “a portfolio made up of one share of

stock and two call options written is perfectly hedged and its year‐end value is

ultimate stock price”.

independent of the

L’approccio di replicazione ci consente quindi di esprimere il valore di un opzione in termini del valore

corrente dello stock senza sapere ne il beta dell’opzione, ne quello dello stock, ne l’expected rate of return

dello stock. Hedge Ratio: nel nostro esempio è un’azione per due calls ovvero, ovvero per ogni call written

dobbiamo tenere in portafoglio azioni se vogliamo replicare il portafoglio. Questo rapporto equivale al

rapporto fra la differenza dei valori dell’opzione con quello degli stocks nei due casi possibili di risultato,

ovvero: 0, 75, 200, 50

, nel nostro caso valeva che →

In generale il valore di un’opzione call si calcola così: 1 50

2

50 26,85

1 1,08

Procedimento a parole:

1. Dati i possibili end‐of‐year stock prices e e l’exercise price dell’opzione calcolare e

2. Calcolare H

3. Trovare l’end‐of‐year value certo di un portafoglio composto da H azioni e 1/H obbligazioni (payoff certo, nel nostro caso 50)

4. Trovare il present value dell’end‐of‐year value certo dell’opzione che è l’incognita) uguale al

5. Porre il valore della hedged position (payoff della strategia hedge meno il valore

present value del payoff certo. Risolvere rispetto a C

21.3.2 Generalizing the Two­State Approach

L’approccio è sempre lo stesso, supponiamo che il risk‐free rate è del 5% su un

6‐month period e vogliamo valutare una call option con un exercise price di

$110 su uno stock con prezzo iniziale $100 che, alla fine dell’anno, può

valori rappresentati a lato (ogni step sono 6 mesi con u=1.1 e

assumere i

d=0.95 equiprobabili ad ogni step).

Per calcolare il valore dell’opzione all’inizio dei due periodi usiamo lo stesso principio usato sopra

spezzettando i calcoli

dei vari C su ogni

elemento dell’albero

di payoff complessivo

disegnato qui a lato.

Torniamo a mano a

mano indietro fin che

non troviamo il valore

di C in corrispondenza

di un prezzo dello

stock di 100$.

L’immagine mostra

bene la procedura.

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Mano a mano che procediamo suddividendo in intervalli

di tempo più piccoli il range dei possibili year‐end stock

prices si espande e assume la forma della familiare

distribuzione binomiale. Con tre steps i possibili valori

finali sono quelli della tabella a lato (i valori intermedi

probabilità di presentarsi dei due agli estremi). Se aumentiamo all’infinito il numero di

hanno tre volte più

suddivisioni le frequenze di distribuzione si avvicinano ad una distribuzione lognormale (e non ad una

normale). All’aumentare della suddivisione dovremo rivedere continuamente la hedge position: by

continuously revising the hedge position, the portfolio would remain hedged and would earn a riskless rate

of return over each interval: this is called dynamic hedging, the continued updating of the hedge ratio as

time passes.

21.4 Black­Scholes option valuation

Assunzioni:

1. Tasso risk‐free costante

2. Volatilità dello stock price costanti

3. Lo stock non paga dividendi fino all’expiration dell’obbligazioe

4. I prezzi degli stocks sono continui e quindi improvvisi salti come quelli quando sono annunciate

acquisizioni non sono considerati. avvicina ad una lognormale e possiamo

Quando dividiamo in infiniti intervalli di tempo la distribuzione si

quindi derivare un’esatta formula per il prezzo di un’opzione.

21.4.1 The Black­Scholes Formula (a pagina 754 ci sono le tabelle coi valori)

= valore corrente dell’opzione

= prezzo corrente dello stock

• √ = probabilità che una normale standard sia inferior a d

• √ X = exercise price

Il valore dell’opzione non = risk‐free interest rate (the annualized continuously compounded rate on a safe asset ith

dipende dall’expected rate of the same maturity as the expiration date of the option, which is to be distinguished from ,

return sullo stock. the discrete period interest rate

Questa versione della formula T = tempo alla scadenza dell’opzione

assume che lo stock non paghi = deviazione standard dell’annualized continuously compounded rate of return of the stock.

dividendi può essere vista come la probabilità aggiustata per il rischio che la call option

scadrà in the money (ovvero che l’esercizio dell’opzione sia profittabile).

Se , che equivale a quanto prima

allora il valore della call option è

abbiamo chiamato adjusted intrinsic value (ciò ha senso: se l’exercise è certo

e un’obbligazione con valore

abbiamo un diritto su uno stock con valore corrente

)

presente PV(X) (con interesse composto

Se allora l’opzione non sarà sicuramente utilizzata e il valore dell’opzione

1

sarà nullo. Se l’equazione ci dice che il valore della call può essere visto come il present value

del potenziale di payoff del call aggiustato per la probabilità di expiration in‐the‐money.

∑

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Siccome la Black‐Scholes è un’approssimazione gli investitori si chiedono piuttosto: quale standard

deviation è necessario affinché il prezzo dell’opzione che osservo sia consistente con la Black‐Scholes

formula? This is called the implied volatility of the option, the volatility level for the stock that the option

price implies.

Se la standard deviation attuale eccede l’implied volatility allora gli investitori considerano l’opzione a

good buy; if actual volatility seems greater than the implied volatility, its fair price would exceed the

observed price.

Un altro modo è comparare due opzioni sullo stesso stock e con uguale expiration dates, ma diversi exercise price. The option with

the higher implied volatility would be considered relatively expensive, because a higher standard deviation is required to justify its

lower implied volatility and writing the option with the higher implied

price. The analyst might consider buying the option with the

volatility.

21.4.2 Dividens and Call Option Valuation

Quando i dividendi vengono pagati prima della scadenza aumenta la possibilità di early exercise

dell’opzione e dobbiamo aggiustare la Black‐Scholes che però diventa complicatissima quindi usiamo il

metodo seguente (per le European call options):

• con nella formula

rimpiazzare

• se i dividendi sono distribuiti in modo costante per un importo di si può dimostrare che il valore

presente del flow di dividendi è all’incirca uguale a →

American call options:

Supponiamo che uno stock del valore di 20$ paghi un dividendo di 1$ dopo 4 mesi e che la call option dura

0.97:

6 mesi. Supponendo un tasso di interesse del 10% il valore presente del dividendo è .

1. Applicare la Black‐Scholes formula assumendo early exercise, quindi usando il prezzo dello stock di

20$ ed un time to expiration di 4 mesi (ovvero sino a quando viene pagato il dividendo)

2. Applicare la Black‐Scholes formula assumendo nessun early exercise, quindi utilizzando il dividend‐

adjusted stock price di 20‐0.97=19.03$ ed un time to expiration di 6 mesi

Il valore più grande fra 1. e 2. sarà la stima del valore dell’opzione, riconoscendo quindi che l’early exercise

può essere ottimale. In altre parole, the so‐called pseudo‐American call option value è il massimo fra il

valore derivato assumendo che l’opzione sia tenuta fino a scadenza e il valore derivato assumendo che

l’opzione sia esercitata prima di un’ex‐dividend date.

21.4.3 Put Option Valuation

Grazie al put‐call parity theorem possiamo valutare il valore di un’opzione put semplicemente calcolando il

valore di una corrispondente call option con la Black‐Scholes (trovando quindi C usando uno dei due

approcci di cui sopra a dipendenza che si tratti di una opzione europea o americana) e risolvere:

21.5 Using The Black­Scholes Formula

In un capitolo precedente avevamo visto che una call option position era molto più sensibile ai movimenti

di prezzo dell’azione di quanto non lo fosse una all‐stock position. Per analizzare meglio l’esposizione di una

call ai movimenti di prezzo dello stock è tuttavia necessario misurare questa diversa sensibilità alle

di prezzo.

variazioni

Per farlo usiamo lo hedge ratio (chiamato il delta di un’opzione e già visto qualche capitolo fa), ovvero la

modifica del prezzo di un’opzione ad un aumento di 1$ del prezzo dell’azione sottostante. Una call option

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ha un hedge ratio positivo, una put ce l’ha negativo. L’hedge ratio corrisponde alla pendenza della curva

che esprime il valore del call in funzione del prezzo dell’azione.

È importante notare che se ci troviamo in una posizione hedged

(coperta) l’incremento del valore sul call è compensato da una perdita

equivalente sul valore delle azioni e viceversa. Calcolo veloce dell’hedge

ratio:

• → sempre positivo ma < 1

Hedge ratio di un call è

• Hedge ratio di un put 1‐ → sempre negativo ma >‐1

Il fatto che la pendenza sia minore di uno non contraddice quanto avevamo detto qualche pagina fa, ovvero

che le opzioni offrono un effetto leva rispetto ai movimenti dei prezzi degli stocks: anche se i movimenti in

dollari nei prezzi delle opzioni sono meno dei movimenti in dollari nei prezzi degli stocks, il rate of return

vengono vendute ad

volatility of options rimane più grande dello stock return volatility perché le opzioni

un prezzo più basso.

Esempio: aumento di 1$ su un’azione di 100$ → rendimento 1%. Aumento di 0.6 dollari su un’opzione di 5$

→ rendimento 12%.

Se invece delle variazioni in dollari usiamo la variazione delle percentuali allora stiamo misurando l’option

elasticity.

21.5.1 Portfolio Insurance

Anche se il protective put è un semplice e conveniente modo di

raggiungere la portfolio insurance ci sono difficoltà pratiche di

attuazione:

• indice di

A meno che il portafoglio corrisponda ad un

mercato per il quale troviamo dei puts, non troveremo mai

delle puts per il portafoglio che vogliamo noi

• L’orizzonte di tempo in cui si vuole garantire l’assicurazione deve matchare con la maturity del put che

vogliamo usare nella nostra strategìa di protezione

strategie che replichino il payoffs delle posizioni garantite dai

Bisogna quindi seguire e trovare delle

protective put. L’idea è che un modello teorico di option‐pricing come il Black‐Scholes può essere usato

per determinare quanto il prezzo di questa ipotetica opzione put dovrebbe rispondere alle variazioni di

valore del portafoglio se questa opzione esistesse.

model possiamo definire:

Nell’option

Net exposure of the hypothetical protective portfolio to stock prices = esposizione del protective put + esposizione delle azioni

= equity exposure – put option exposure

Possiamo creare synthetic protective put positions tenendo una quantità di stocks con la stessa exposure

to market swings dell’ipotetico protective put: nella realtà:

• Una synthetic protective put position si crea vendendo una proporzione di azioni uguali all’hedge

ratio (delta) dell’ipotetico put e investendo il ricavato in risk‐free T‐Bills

La difficoltà con questa procedura è che i deltas cambiano continuamente e quindi dobbiamo

continuamente aggiustare la conversione di equity in cash (dynamic hedging).

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Dynamic hedging is one reason portfolio insurance has been said to contribute to market volatility. Market

declines trigger additional sales of stock as portfolio insurers strive to increase their hedging. These

additional sales are seen as reinforcing or exaggerating market downturns.

In practice, portfolio insurers do not actually buy or sell stocks directly when they update their hedge

positions. Instead, they minimize trading costs by buying or selling stock index futures as a substitute for

sale of the stocks themselves.

21.5.2 Hedging Bets on Mispriced Options

Supponiamo di credere che la deviazione standard sui rendimenti delle azioni IBM sia 35% ma che le put

options su IBM stiano vendendo ad un prezzo consistente con una volatilità del 33%: siccome la put’s

implied volatility è minore di quanto prevediamo per la volatilità delle azioni noi crediamo che le opzioni

siano underpriced.

Questo significa che ci conviene comprare le opzioni? Forse, ma facendolo rischiamo di aumentare le

perdite se le azioni IBM si apprezzano anche se non ci sbagliamo sulla volatilità. Per questo motivo

vorremmo separare la nostra scommessa sulla volatilità dall’annessa scommessa inerente l’acquisto di un

put nel caso in cui l’azione IBM non vada bene:

you would like speculate on the option mispricing by purchasing the put option, but hedge the resulting exposure to the

performance of IBM stock. The option delta can be interpreted as a hedge ratio that can be used for this purpose. The delta was

defined as . Delta is the slope of the option‐pricing curve. This ratio tells us precisely how many

shares of stock we must hold to offset our exposure to IBM. For example, if the delta is ‐0,6 then the put will fall by $0.6 in value for

IBM stock, and we need to hold 0.6 share of stock to hedge each put. If we purchase 10 option contracts,

every one‐point increase in

each for 100 shares, we would need to buy 600 shares of stock. If the stock price rises by 1$, each put option will decrease in value

resulting in a loss of $600. However, the loss on the puts will be offset by a gain on the stock holdings of 1$ per share X 600

by $0.6, shares

21.6 Riassunto di tutto il capitolo nei punti essenziali

22 Future Markets

Mostreremo come i futures contracts sono utili veicoli d’investimento per gli

hedgers e gli speculatori e come i prezzi dei futures si relazionano con gli spot

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prices di un asset. Vediamo anche come i futures possono essere usati in applicazioni di risk‐management. I

futures ed i forward contracts sono simili alle opzioni ma non si può decidere di non esercitarli: non sono

un’opzione ma un obbligo.

I mercati dei futures formalizzano e standardizzano le pratiche di forward contracting. I futures sono più

liquidi dei contratti forward e vengono scambiati in mercati appositi (i forward sugli OTC e i futures negli

Exchanges appositi). Inoltre, i futures richiedono di sistemare le eventuali perdite/guadagni sui contratti

immediatamente e non esclusivamente al momento della consegna. Siccome l’exchange garantisce che

l’impegno sia onorato (tramite una clearinghouse) è richiesto un margine in deposito per garantire la

performance del contratto. Profit to long = Spot price at maturity – Original futures price

Profit to short = Original futures price – Spot price at maturity

→ the futures contract is a zero‐sum game and therefore the

establishment of a futures market in a commodity should not have

a major impact on prices in the spot market for that commodity L'investitore in futures è esposto a considerabili

perdite se il prezzo dell’asset cade mentre

l’investitore del call non può perdere più del

costo dell’opzione.

L’open interest on a contract è il numero di

contracts outstanding (

Long e Short positions non

sono contati separatamente quindi dire che c’è un open

interest 10 significa dire o che ci sono 10 long positions o

).

10 short positions e le due definizioni sono equivalenti

I future contracts rarely result in actually

delivery of the underlying asset, instead

participants enter reversing trades to cancel

their original poitions, thereby realizing the profits or losses on the contract.

Siccome il margine iniziale può essere soddisfatto postando interest‐earning securities,

il requisito del margine non impone significanti costi opportunità al trader. Ad ogni

modo il margine consiste prevalentemente di cash or near‐cash securities e va da un 5%

al 15% del valore del contratto future. Siccome le posizioni vengono solitamente chiuse

prima della scadenza del future il profitto o la perdita di un trader si misurano facendo

la differenza fra il prezzo d’acquisto e di vendita del contratto future.

On any day that futures contracts trade, futures prices may rise or fall. Instead of waiting until the maturity

date for traders to realize all gains and losses, the clearinghouse requires all positions to recognize profits

as they accrue daily:

If the futures price of corn rises from 212 ⁄ to 214 ⁄ cents per bushel, for example, the clearinghouse credits the margin account of

3 4 3 4

the long position for 5,000 bushels times 2 cents per bushel, or $100 per contract. Conversely, for the short position, the

clearinghouse takes this amount from the margin account for each contract held. Therefore, as futures prices change, proceeds

accrue to the trader’s account immediately.

Il marking to market è un punto cruciale di differenza fra i futures ed i forward. Futures price on the

delivery date will equal the spot price of the commodity on that date (convergence property)

per un investitore

A causa della proprietà di convergenza i profitti sui futures tenuti fino a maturazione, per

che tiene la long position, perfectly track changes in the value of the underlying asset:

. Per un investitore nella short position i profitti

uno che invece non li tiene fino a scadenza

sono esattamente speculari a quelli che ottiene l’investitore nella long position (+1; ‐1).

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