Teoria e esercizi di Algebra e Geometria

TEORIA DI GEOMETRIA e ALGEBRA

CAPITOLO 1

INSIEMI

insieme vuoto: non contiene nessun elemento ϕ = { }

A⊂B A è un sottoinsieme di B -> tutti gli elementi di A sono in B

• ogni insieme è sottoinsieme di sè stesso
• l’insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi

OPERAZIONI TRA INSIEMI:

A∩B={ x| x∈A e x∈B }

A∪B={ x| x∈A oppure x∈B }

A-B={ x| x∈A e x∉B }

A×B={(a,b)| a∈A, b∈B }

• prodotto cartesiano (0, b) coppie ordinate ≠ (b, 0)

FUNZIONI

f: A -> B funzione da A a B: regola che associa a ognielemento dell’insieme A uno e uno soloelemento dell’insieme B.

f: A->B g: B->C composizione diget: g◦f: A->C (g◦f)(x) = g(f(x))

t è suriettiva ∀x ∈ b ∈ B, Ǝa ∈ A | f(a)=b

• Ogni elemento di B proviene da A

f è iniettiva se ∀a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ -> f(a₁) ≠ f(a₂)

f è biunivoca se è iniettiva e suriettiva (accoppiamento perfetto tra A e B)

f(A) = B -immagine

STRUTTURE ALGEBRICHE

portano a definire:-operazioni definite in un insieme

Si diano operazioni su di un insieme A una qualsiasi funzione “*” definita A×A -> A, e la coppia 〈A, * 〉si chiama strutturaalgebrica -> tutti gli insiemi dotati di operazioni

Esempi: (N, +) (Z, +) (Q, +) (R, +) (Z, -) (N, ×) (Q, ×) (R, ×)

no struttura: (N, -) (Z, ÷) (Q, ÷)

Teoria di Geometria e Algebra

Capitolo 1

Insiemi

insieme vuoto = non contiene nessun elemento Ø = {}

A⊆B A è un sottoinsieme di B - tutti gli elementi di A sono in B

• ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso
• l'insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi

Operazioni tra insiemi:

A∩B={x|x∈A e x∈B}

A∪B={x|x∈A oppure x∈B}

A−B={x|x∈A e x∉B}

A×B={(a,b)|a∈A, b∈B}

• prodotto cartesiano
• (a,b) coppie ordinate ≠ (b,a)

Funzioni

f: A→B

funzione da A a B: regola che associa a ogni elemento dell'insieme A uno e uno solo elemento dell'insieme B.

f: A→B g: B→C

composizione di g e f: g◦f: A→C

(g◦f)(x)=g(f(x))

Esempio: f(x)=x³g(x)=2x+1

(g◦f)(x)=2x³+1

f è suriettiva se ∀ x ∈ B, ∃ a ∈ A | f(a)=b

• immagine

f è iniettiva se ∀a₁, a₂∈A, a₁≠a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

f è biunivoca se è iniettiva e suriettiva (accoppiamento perfetto tra A e B)

Strutture Algebriche

port. le funzioni; → ∃ operazioni definite in un insieme

Si dice operazione su di un insieme A una qualsiasi funzione * definita A×A→A, e la coppia (A,*) si chiama struttura

algebrica → tutti gli insiemi dotati di operazioni

Esempi: (ℕ, +) (ℤ, +) (ℚ, +) (ℝ, +) (ℤ, −)(ℕ, ×) (ℚ, ×) (ℝ, ×)

No struttura: (ℕ, −) (ℤ, ÷) (ℚ, ÷)

Una struttura algebrica (A, *) si dice Gruppo Commutativo se verifica le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ A (a * b) * c = a * (b * c)
2. Esiste l'elemento neutro ∃e ∈ A/∀a ∈ A a * e = e * a = a
3. Esiste l'inverso ∃a' ∈ A/∀a ∈ A a' * a = a * a' = e
4. Proprietà commutativa ∀a, b ∈ A a * b = b * a

Esempi di gruppi: (ℤ, +) (ℚ, +) (ℝ, +)ℤ⁺ (ℕ, +) perché non c'è l'inverso(ℝ, x) → ℝ⁺ → ℝ⁺→ x² → ha l'inverso → (ℝ, x) è un gruppo

Una struttura (A, ⊕, ⊗) si dice Anello se:

1. (A, ⊕) è un gruppo commutativo
2. In A esiste un elemento neutro rispetto a ⊗
3. L'operazione ⊗ è associativa ∀a, b, c ∈ A (a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) ⊗ c
4. L'operazione ⊗ è distributiva rispetto a ⊕

se valgono anche

5. ⊗ è commutativa ∀a, b ∈ A a ⊗ b = b ⊗ a

{(A, ⊕, ⊗) si dice Anello Commutativo

se vale anche:

6. Esiste l'inverso rispetto a ⊗ allora (A ⊕, ⊗) è un Campo

Esempi:(ℤ, +, x) è un anello commutativo, no campo(ℚ, +, x) (ℝ, +, x) anelli commutativi e campi

R[x] = polinomio con la variabile x e con coefficienti reali

Capitolo 2

Spazi Vettoriali - tipo di struttura algebrica

Vettore: segmento orientato

• V₀ - insieme dei vettori presi su una retta
• V₁ - insieme dei vettori presi su un piano
• V₂ - insieme dei vettori presi su uno spazio

Ognuno degli insiemi V_i, i=1,2,3 possiamo ottenere un'operazione di somma tra vettori.

Si osserva che (V₀,+) risulta un gruppo commutativo

Operazioni esterne tra i vettori: moltiplicazione per gli scalari

Struttura algebrica che ha proprietà simili a quelle viste per il V₀

Consideriamo gli insiemi del tipo:

R^m =