Teoria e esercizi di Algebra e Geometria

Teoria di Geometria e Algebra

Capitolo 1

Insiemi

insieme vuoto = non contiene nessun elemento ∅ = { }

A ⊂ B ⇔ A è un sottoinsieme di B - tutti gli elementi di A sono in B

A = ogni insieme è sottoinsieme di se stesso

∅ = l'insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi

Operazioni tra insiemi:

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }

A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }

A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B }

A × B = { (a,b) e a ∈ A, b ∈ B }

(0,8) coppie ordinate ≠ (8,0)

Funzioni

f : A → B

funzione da A a B = regge che associa a ogni elemento dell'insieme A uno e uno solo elemento dell'insieme B

f : A → B g : B → C

Composizione g∘f = g∘f : A → C

(g∘f) (x) = g (f (x))

Esempio: f(x) = x³ g(x) = 2x⁴ + 1

(g∘f) (x) = 2x³ + 1

t è suriettiva s⇔x b ∈ B, ∃ ! a ∈ A | (a,b) = ∀x b ∈ B, ∃ almeno un a ∈ A preimmagine

f è iniettiva se ∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

t è bijettiva se è iniettiva e suriettiva (accoppiamento perfetto tra A e B)

Strutture algebriche

particolari funzioni; operazioni definite in un insieme

Si dice operazione su di un insieme A una qualsiasi funzione

" ⋆ " definita A × A → A

e la coppia (A, ⋆) si dice: struttura algebrica

tutti gli insiemi dotati di operazioni

Esempi: (ℕ, +) (ℤ, ⋅ ) (ℚ, +) (ℝ, +) (ℤ, −) (ℕ, ×) (ℚ, ×) (ℝ, ×)

no struttura: (ℕ, −) (ℤ, ÷) (ℚ, ÷)

Una struttura algebrica (A, *) si dice gruppo commutativo se verifica le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ A (a * b) * c = a * (b * c)
2. Esiste l'elemento neutro ∃e ∈ A ∀a ∈ A a * e = a
3. Esiste l'inverso ∃a^-1 ∈ A ∀a ∈ A a * a^-1 = e
4. Proprietà commutativa ∀a, b ∈ A a * b = b * a

Esempi di gruppi: ℤ, (+) (, +) (ℝ, +)

• (ℕ, +) perché non c'è l'inverso
• (ℝ, ×) perché non c'è l'inverso ⇒ (ℝ^×, ×) è un gruppo

Una struttura (A, ⊕, ⊗) si dice anello se:

1. (A, ⊕) è un gruppo commutativo
2. In A esiste un elemento neutro rispetto a ⊗
3. L'operazione ⊗ è associativa ∀a, b, c ∈ A (a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) ⊗ c
4. L'operazione ⊗ è distributiva rispetto a ⊕

Se valgono anche

5. ⊗ è commutativo ∀a, b ∈ A a ⊗ b = b ⊗ a

(A, ⊕, ⊗) si dice anello commutativo

Se esiste

6. esiste l'inverso rispetto a ⊗ allora (A, ⊕, ⊗) è un campo

Esempi:

• (ℤ, +, ×) è un anello commutativo, ma non campo
• (ℚ, +, ×) (ℝ, +, ×) anelli commutativi e campi

ℝ[X] = polinomio con la variabile X e con coefficienti reali

DEFINIZIONE:

Sia V uno spazio vettoriale, dati v₁, ..., v_s ∈ V si definisce sottospazio vettoriale generato da v₁, ..., v_s lo spazio:

{v ∈ V | ∃ a₁, ..., a_s ∈ R tali che v = a₁v₁ + ... + a_sv_s}

Esercizio:

Siamo v₁ = (0,1,2,3) v₂ = (1,1,1) v₃ = (1,2,3,0) in R⁴ quale dimensione ha <v₁,v₂,v₃>?

a(0,1,2,3) + b(1,1,1) + c(1,2,3,0) = 0

(b+c, a+b+2c, 2a+bc+3c, 3a+b) = (0,0,0,0)

• b+c = 0
• a+b+2c = 0
• 2a+3c = 0
• 3a+b = 0

→ si ottiene a = b = c = 0

⇒ i 3 vettori sono linearmente indipendenti

e {v₁, v₂, v₃} è una base di <v₁,v₂,v₃>

e dim <v₁,v₂,v₃> = 3

• {0} dim{0} = 0 sottospazio: sé stesso
• R dimR = 1 sottospazi: sé stesso e {0}
• TR² dimR² = 2 sottospazi: w = R² w = {0,0} → sottospazi banali

V² tutti i sottospazi creati da tutti i multipli che si trovano sulla retta del vettore v

OPERAZIONI TRA SOTTOSPAZI

1. Se V₁ e V₂ sono sottospazi di V, anche V₁ ∩ V₂ lo è (V₁ ∪ V₂ non è (un sottospazio))
2. Se V₁, ..., V_s sono sottospazi si dice somma il sottospazio:

V₁ + V₂ + ... + V_s = {V | ∃ v_i ∈ V_i, i = 1, ..., s, v = v₁ + v₂ + ... + v_s}

3. V₁ e sottospazi di V → dim (V₁ + V₂) = dimV₁ + dimV₂ - dimV₁ ∩ V₂

se V₁ ∩ V₂ = {0} ho la somma diretta dimV₁ ⊕ V₂ = dimV₁ + dimV₂

Esercizio:

R⁴ W = {x,y,z,t | x - 2y + 3z = 0, y+t = 0} è (R⁴ è un sottospazio?)

• x - 2y + 3z = 0   (x = 2y - 3z)
• y + t = 0   (y = -t)

W = {2y-3z, y, z, -y}

trovare una base:

• y = 0 y = -t → (3,0,1,0)
• y = 1 → (2, 1, 0, -1)
• t = 0

B = {(3,0,1,0), (2,1,0,-1)}

dimW = 2

Esempio:

x + y + z = 6

x + 2y - z = 1

3x + 3y - 7 = g

si può scrivere come:

( 1 1 1 | g )

( 1 2 -1 | 1 )

( 3 3 -7 | g )

L'eliminazione di Gauss si esegue sulla matrice A|b = ( 1 1 1 | g )

( 1 2 -1 | 1 )

( 3 3 -7 | g )

( 1 1 1 g ) = A¹|B¹

( 0 -1 -2 B )

( 0 0 -4 -g )

x = 1

y = 1

z = 2

Unica soluzione!

Esempio: A = ( 0 1 3 5 )

( 1 0 -1 -4 )

( 2 2 2 3 )

( 3 3 3 5 )

( 1 0 3 5 )

( 0 1 -4 -7 )

( 0 0 2 -4 )

L'eliminazione di Gauss darà una matrice triangolare superiore che

avrà anche la proprietà che sotto al 1^o elemento ≠ 0 di ogni riga complesso non sarà 0

(→una matrice a gradini)

PIVOT = primi elementi diversi da zero in ogni riga di una matrice a gradini

RANGO = sia A'^t la matrice ottenuta dalla riduzione di Gauss di A, il

numero di pivot che abbiamo nella matrice A'^t si dice rango della matrice A, e si indica con r = r(A)

r(A) = 0 → A'^t è la matrice nulla

IL SISTEMA NON HA SOLUZIONI:

D^t e se solo se nella riduzione di Gauss (A|B)^t c'è un pivot sull'ultima colonna

D^t e se solo se r(A) ≠ r(A|B)

A = (_{1 0 0 0})(_{0 1 0 0})(_{0 0 1 0})= M_s = E_4,1(f)

A: _(ℝ⁴) = {t(1,x,y,z)}

non è suriettiva (3≤c