Teoria e definizioni Analisi I

Funzioni matematiche

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un dato dominio un solo elemento del codominio. È detta iniettiva se, per ogni elemento, diversi elementi del dominio non si associano allo stesso elemento del codominio. Una funzione è suriettiva se per ogni elemento del codominio esiste almeno un elemento del dominio che si associa ad esso. Una funzione biunivoca, o invertibile, è sia iniettiva che suriettiva, il che implica che esiste una funzione inversa.

Proprietà di iniettività e suriettività

Quando si considera una funzione iniettiva, ogni elemento del dominio si associa a un elemento unico del codominio. In una funzione suriettiva, ogni elemento del codominio ha almeno un elemento del dominio che si associa a esso. Una funzione biunivoca è sia iniettiva che suriettiva, quindi ha una funzione inversa.

Cardinalità degli insiemi

Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, esiste una funzione biunivoca tra di essi. La cardinalità di un insieme indica il numero di elementi contenuti in esso. Se si hanno due insiemi A e B con la stessa cardinalità, si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B.

Spazio metrico

Uno spazio metrico è un insieme in cui è definita una funzione distanza che soddisfa alcune condizioni. La distanza tra coppie di elementi di un insieme è una funzione che assegna un valore reale non negativo e soddisfa le seguenti proprietà:

• Distanza nulla: \( d(x, y) \geq 0 \) e \( d(x, x) = 0 \) per ogni elemento.
• Simmetria: \( d(x, y) = d(y, x) \) per ogni coppia di elementi.
• Disuguaglianza triangolare: \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \).

Una successione in uno spazio metrico è una funzione che associa ogni numero naturale a un elemento dello spazio. Le successioni sono utilizzate per studiare la convergenza e altre proprietà analitiche.