Teoria di Meccanica Razionale - Appunti

Meccanica razionale

Invarianza rispetto al sistema di riferimento

Tutte le leggi fondamentali della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, lo spazio condivide un tempo comune e la distanza tra due punti è la stessa per qualsiasi sistema di riferimento si consideri. Un vettore può essere espresso con infinite basi dello spazio a cui appartiene ma è invariante in quanto tensore. Un vettore espresso con la base si chiama mentre con la base si chiama. Perciò, definita la matrice di trasformazione tra le due basi si può dire che e. Definiamo l'oggetto composto da tre vettori (vettori componenti degli assi) e tre vettori (vettori componenti degli assi). Ha la particolarità di non variare con il cambiamento di base. Perciò risulta che: sia che sono tensori doppi.

Tensore

Ente invariante rispetto al sistema di riferimento in quanto è definito solo dallo spazio vettoriale al quale appartiene. Si dice di ordine 1 se si tratta di un vettore, di ordine 2 (o doppio) se si tratta di una matrice quadrata.

Tensore di rotazione di una terna

Data una terna fissa, e una terna mobile, si definisce il tensore di rotazione della terna mobile rispetto alla terna fissa come la matrice dei coseni direttori degli angoli tra i versori mobili e quelli fissi. La matrice è ortogonale e unitaria in quanto, ma non è necessariamente simmetrica.

Convenzione di Einstein

Cinematica

Richiami di cinematica del punto

Posizione, traiettoria, velocità, accelerazione. Dato un sistema di riferimento fisso in O (), si definisce la posizione del punto dove è la componente del vettore nella direzione. La traiettoria del punto è definita come ovvero di e quindi indica la posizione del punto (delle sue componenti lungo gli assi del sistema di riferimento) in funzione del tempo. Se c'è correlazione tra le tre componenti allora la traiettoria può essere descritta come. La velocità del punto è la variazione della posizione nell'unità di tempo, ovvero. L'accelerazione del punto è la variazione della velocità nell'unità di tempo, ovvero.

Cinematica relativa: velocità angolare terna mobile

Un punto solidale con la terna mobile non varia la sua posizione rispetto ad essa nel tempo, dunque è la matrice velocità angolare ed è definita come. È una matrice antisimmetrica () e ad essa si può associare un vettore detto velocità angolare della terna mobile rispetto alla terna fissa tale per cui e quindi.

Cinematica relativa: formule di Poisson

Data una terna mobile e i suoi versori con velocità angolare.

Cinematica relativa: velocità relativa e di trascinamento

La velocità di un punto si può esprimere, secondo il Teorema della composizione delle velocità, come ovvero la somma della velocità relativa e la velocità di trascinamento. Velocità relativa: , ovvero la velocità del punto rispetto alla terna mobile; Velocità di trascinamento: , ovvero la velocità che avrebbe il punto se fosse solidale alla terna mobile (quindi la velocità della terna mobile rispetto alla terna fissa).

Cinematica relativa: accelerazione relativa, accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis

Accelerazione relativa: indica la variazione di velocità del punto rispetto la terna mobile (il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis). Accelerazione di trascinamento: indica la variazione di velocità della terna mobile rispetto a quella fissa poiché (il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis, mentre il termine indica l'accelerazione centripeta: infatti è rivolta verso il punto). L'accelerazione di Coriolis: i due termini trovati nel derivare le due tipologie di velocità rappresentano l'accelerazione. L'accelerazione di Coriolis dipende sia dal movimento della terna mobile rispetto alla terna fissa sia al movimento del punto.

Cinematica relativa: legge di composizione delle accelerazioni

Il teorema di Coriolis afferma che un punto ha un'accelerazione pari a.

Vincoli

Caratterizzazione dei vincoli

Vincolo olonomo: vincolo di natura non differenziale ma solo intera, esprimibile come una funzione ad esempio un carrello che scorre lungo una direzione fissa. Vincolo anolonomo: vincolo di natura differenziale, quindi esprimibile come ad esempio la lama dei pattini di un pattinatore sul ghiaccio. Vincolo bilatero: vincolo che agisce da entrambe le parti della superficie di vincolo, quindi espresso mediante uguaglianza. Vincolo unilatero: vincolo che agisce solo da una parte della superficie di vincolo, quindi esprimibile mediante disuguaglianza. Vincolo fisso: vincolo tra coordinate spaziali indipendente dal tempo. Vincolo mobile: vincolo tra coordinate spaziali dipendente dal tempo.

Gradi di libertà e coordinate libere

I gradi di libertà (gdl) di un corpo indicano in quanti modi può un corpo cambiare posizione. Un punto vincolato da equazioni di vincolo ha coordinate libere, ovvero necessita solamente di parametri per descrivere univocamente la sua posizione. Coordinate libere = gradi di libertà. Un punto nel piano ha 2 gdl, mentre nello spazio ha 3 gdl. Un corpo rigido nel piano ha 3 gdl (posizione x e y, rotazione) mentre nello spazio ha 6 gdl (posizione e rotazione rispetto i 3 assi). Un sistema di punti ha gdl.

Atto di moto e movimento

Atto di moto: è il campo vettoriale delle velocità di ogni punto del sistema. Determinare l'atto di moto di un sistema significa determinare la velocità di un punto in funzione della sua posizione (Approccio Euleriano) e sono coordinate libere. Movimento: è la funzione temporale delle coordinate libere. Determinare il movimento (moto) significa trovare la posizione di un punto in funzione del tempo (Approccio Lagrangiano).

Alcuni tipi di vincoli

• Incastro: toglie 3 gdl e crea due reazioni vincolari e un momento vincolare (es. asta incastrata a terra).
• Cerniera: toglie 2 gdl e crea due reazioni vincolari (es. asta che può solo ruotare attorno alla cerniera).
• Carrello: toglie 1 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento (es. asta il cui estremo scorre orizzontalmente mediante carrello).
• Manicotto: toglie 2 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento e un momento vincolare che non permette all'asta di ruotare attorno l'estremo vincolato.
• Bipendolo: toglie 4 gdl a un sistema di due aste, una vincolata a cerniera fissa e l'altra vincolata alla prima con cerniera mobile.
• Cerniera mobile: vincola due punti di due corpi diversi togliendo gdl a un sistema di corpi.

Corpo rigido

Sistema rigido

Un sistema rigido è composto da punti tutti sempre equidistanti e con gli angoli tra i punti invarianti. Se il sistema ha punti infinitamente vicini si chiama corpo rigido.

Atto di moto rigido

Ogni istante il sistema deve avere l'invarianza delle distanze e degli angoli. Condizione necessaria e sufficiente per descrivere un sistema con un atto di moto rigido è che per ogni coppia di punti valga la seguente relazione. Dimostrazione togliendo il 2 si ha poi.

Velocità angolare, formula fondamentale

Dati due punti esiste un'unica velocità angolare (vettore) tale per cui. Dimostrazione Essendo un corpo rigido e derivando (dividendo poi per 2) ciò vuol dire che i due fattori sono perpendicolari, quindi esiste almeno un vettore tale per cui. Prendiamo un altro punto appartenente al corpo rigido, quindi e con lo stesso procedimento di prima si trova un vettore tale per cui deve valere anche per la coppia (scegliendo) perciò sottraendo e quindi necessariamente per ogni coppia di punti, e perciò il vettore velocità angolare è unico. Prendiamo infine un punto del corpo rigido, dunque. Dunque la velocità angolare è indipendente dalla terna di riferimento scelta. La formula fondamentale di moto rigido è.

Atto di moto traslatorio, rotatorio, rototraslatorio

Atto di moto traslatorio: e quindi tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità in modulo, direzione e verso. Atto di moto rotatorio: con. Se esiste un punto a velocità nulla si dice che questo punto è il centro di istantanea rotazione e l'atto di moto è rotatorio. Atto di moto rototraslatorio: e per qualsiasi punto.

Invariante scalare cinematico, asse di istantanea rotazione e asse di Mozzi

Dalla formula fondamentale se premoltiplichiamo scalarmente per otteniamo essendo per l'ortogonalità tra e si ha che detto invariante scalare cinematico dell'atto di moto rigido in quanto vale per qualsiasi punto. Atto di moto traslatorio: poiché. Atto di moto rotatorio: poiché