Teoria di Meccanica Razionale - Appunti

Asse di Mozzi e Atto di Moto Rigido Piano

I punti appartenenti alla retta appena trovata sono quelli a velocità minima in quanto hanno solo componente parallela alla velocità angolare.

La retta appena trovata si chiama Asse di Mozzi.

Corpo rigido: atto di moto piano, centro di istantanea rotazione

Quando tutte le velocità di un corpo rigido sono contenute in un unico piano fisso (detto piano direttore), e quindi sono parallele ad esso, si dice che il corpo segue un atto di moto rigido piano. Il punto in cui si dice centro di istantanea rotazione (CIR), e corrisponde all'intersezione tra l'asse di istantanea rotazione (che nel caso piano è perpendicolare al piano) e il piano stesso. Esso si individua con la formula o mediante il teorema di Chasles.

Corpo rigido: teorema di Eulero

Il teorema di Eulero afferma che l'atto di moto rigido piano può essere solo rotatorio e solo traslatorio.

Dimostrazione:

Se non è traslatorio quindi esiste tale che , quindi rotatorio.

1. rotatorio quindi traslatorio
2. Corpo rigido: teorema di Chasles

(d)Il teorema di Chasles afferma che in un atto di moto rigido piano il centro di istantanea rotazione si trova nell'intersezione tra le rette perpendicolari alle velocità di due punti diversi

Dimostrazione:

quindi ovvero e

Essendo l'atto di moto piano si ha che

Le rette passanti per e si incontrano appunto in , quindi il teorema è dimostrato

3. Corpo rigido: base e rulletta

Base: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna mobile

Rulletta: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna fissa

4. Corpo rigido: vincolo di puro rotolamento e rotolamento con strisciamento

Puro rotolamento: vincolo tra due corpi che rotolano insieme con un punto di contatto che ha la caratteristica di avere la stessa velocità in entrambi i corpi. Se un disco rotola senza strisciare su una guida fissa la velocità del punto di contatto con la guida è nulla, e quel punto

è il CIR. Togliendo due gradi di libertà le reazioni vincolari nel punto di contatto di puro rotolamento sono due: una tangente e una normale.

Rotolamento con strisciamento: toglie solo un grado di libertà e nel punto di contatto la componente tangente della velocità è diversa mentre quella normale è uguale su entrambi i corpi.

Dinamica

• Leggi di Newton
1. Principio di inerzia: un punto isolato che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un osservatore inerziale (ovvero che si muove di moto rettilineo uniforme) permane nel suo stato.
2. Legge fondamentale della dinamica: un punto di massa che si muove con un'accelerazione è sottoposto ad una forza risultante, somma di tutte le forze che agiscono su di esso.
3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione, quindi se un punto isolato viene sottoposto ad una forza dovuta ad un altro punto isolato, questo punto sarà sottoposto ad una forza a causa.

di .

• Determinismo newtoniano

Condizione necessaria e sufficiente per determinare la legge oraria di un punto è conoscere

• Alcuni tipi di forze(attive)

Forza peso: forza dovuta all'interazione gravitazionale con versore uscente dal campo gravitazionale

Interazione tra due punti: se due corpi hanno dimensioni molto ridotte rispetto alla dimensione del moto, si possono considerare punti formi(es. pianeti del sistema solare)

Forza elastica: forza dovuta al cambiamento di lunghezza di una molla, sempre contraria all'allungamento con costante elastica(rigidità della molla) e allungamento della molla. Se la lunghezza della molla a riposo è nulla allora l'allungamento della molla corrisponde alla sua lunghezza.

Forza di attrito viscoso: forza dovuta all'interazione tra un oggetto il mezzo il cui esso si muove Mezzi molto viscosi hanno e la forza viene detta resistenza viscosa Mezzi poco viscosi hanno e la forza viene detta resistenza aerodinamica

• Reazioni

il coefficiente di attrito statico. In formule: Fattrito statico ≤ μs * Fverticale Dove Fattrito statico è la forza di attrito statico, μs è il coefficiente di attrito statico e Fverticale è la forza reattiva in direzione verticale. Attrito dinamico: si verifica quando le forze reattive agenti nella direzione tangente superano quelle reattive in direzione verticale moltiplicate per il coefficiente di attrito dinamico. In formule: Fattrito dinamico = μd * Fverticale Dove Fattrito dinamico è la forza di attrito dinamico e μd è il coefficiente di attrito dinamico. È importante notare che il coefficiente di attrito statico è solitamente maggiore del coefficiente di attrito dinamico.

1. un coefficienteAttrito dinamico: si ha quando le forze reattive tangenti sono uguali a quelle verticali moltiplicate per un coefficiente
2. Centro di massa e baricentro
• Centro di massa: punto nel quale si possono concentrare tutte le masse e tutte le forze agenti su un sistema ottenendo lo stesso moto. Preso un punto fisso e punto del sistema di punti, il centro di massa si trova
• Baricentro: è l'equivalente del centro di massa in un corpo continuo, definito come con densità puntuale del corpo. In caso di corpo omogeneo
3. Media dei baricentri:

Il baricentro si trova sempre su un'asse di simmetria, se presente. Nel caso di più assi di simmetria, il baricentro è nell'intersezione tra essi.

4. Quantità di moto

La quantità di moto di un punto è pari al prodotto scalare della massa per la velocità del corpo

Dimostrazione per corpo rigido omogeneo

Tuttavia

Quindi

5. Momento della quantità di moto

di moto di punto rispetto ad un punto O appartenente ad una retta perpendicolare al piano di e è pari al prodotto vettoriale tra la quantità di moto di e il vettore congiungente e

Per corpo rigido:

Dimostrazione per corpo rigido omogeneo:

I tre integrali si riscrivono come:

Nel caso in cui è perpendicolare al piano di moto:

Se il punto H fosse il CIR allora la formula sarebbe, in quanto la velocità di H è nulla.

Tensore di inerzia:

Dati punti materiali si definisce tensore o momento di inerzia rispetto ad un asse la quantità:

dove è l' -esima massa e è la distanza del -esimo punti dall'asse. Per corpo rigido invece:

Teorema di Huygens:

Dove è il momento d'inerzia riferito ad un asse passante per il baricentro mentre è la distanza tra l'asse e l'asse.

Sistemi di punti: forze esterne e forze interne:

In un sistema di punti agiscono forze dovute all'interazione tra i punti interni e forze dovute a cause esterne.

La forza interna agente su un singolo punto è la sommatoria di tutte le forze interagenti tra quel punto e gli altri punti.

1. Sistemi di punti: Risultante e momento risultante

Dato un sistema di punti per il primo principio della dinamica, si definisce risultante delle forze interne. La risultante interna è nulla poiché per il terzo principio della dinamica. Perciò per un sistema di punti la risultante è 0. L'equazione del momento risultante per un sistema di punti è 0 poiché agiscono lungo la stessa direzione e quindi 0. Questo significa (per il terzo principio della dinamica) che 0. E perciò la risultante dei momenti risulta essere 0.

2. Sistemi di punti: Sistema cardinale della dinamica

Dimostrazione

3. Sistemi di punti: Sistema cardinale per la statica

Condizione necessaria all'equilibrio è che 0.

4. Corpo rigido: equazioni cardinali della dinamica

Questo sistema, insieme alle condizioni iniziali, fornisce una condizione necessaria erigido invece, la potenza delle reazioni vincolari è nulla in quanto non vi è scorrimento tra le superfici di contatto. In conclusione, le equazioni della dinamica per un corpo rigido sono: - Primo principio della dinamica: ΣF = 0, dove ΣF rappresenta la somma delle forze esterne applicate al corpo rigido. - Secondo principio della dinamica: Στ = Iα, dove Στ rappresenta la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a un punto fisso nel corpo rigido, I rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto a tale punto e α rappresenta l'accelerazione angolare del corpo rigido. - Equazioni della statica per un corpo rigido in equilibrio: ΣF = 0, dove ΣF rappresenta la somma delle forze esterne applicate al corpo rigido e Στ = 0, dove Στ rappresenta la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a un punto fisso nel corpo rigido. - Teorema di Koenig: L'energia cinetica di un corpo rigido può essere calcolata come la somma dell'energia cinetica di traslazione del centro di massa del corpo rigido e dell'energia cinetica di rotazione del corpo rigido rispetto al centro di massa. - Lavoro e potenza: Il lavoro eseguito su un corpo rigido è dato dal prodotto scalare tra la forza applicata al corpo rigido e lo spostamento del punto di applicazione della forza. La potenza delle forze interne ad un sistema di punti è nulla, mentre la potenza delle reazioni vincolari è nulla per un corpo rigido in equilibrio.

rigido

Potenza delle reazioni vincolari per vincoli ideali per vincoli ideali, fissi e ideali, lisci fissi e bilateri, interni e lisci.

Teorema dell'energia cinetica per corpo rigido

Dimostrazione

Sollecitazione conservativa e potenziale

Se una forza è legata ad potenziale tale che allora questa forza viene detta sollecitazione conservativa. Il potenziale è e condizione necessaria e sufficiente alla conservatività di una forza è che . Il lavoro di una sollecitazione conservativa è quindi e quindi il lavoro non dipende dal percorso.

Alcune forze conservative

1. Forza peso:
2. Forza elastica: con s = allungamento molla
3. Forza elastica spirale:

Conservazione dell'energia totale meccanica

Per un sistema soggetto a vincoli ideali e fissi e a forze conservative(attrattive) si ha che l'energia meccanica si conserva.

Dimostrazione per la conservatività delle forze agenti.

Per il teorema dell'energia cinetica

Forze applicate

al corpo rigido: trasformazioni invarianti

1. Comparazione: trasformazione invariantiva che consiste nel cambiare una forza con un sistema di forze la quale risultante sia proprio la forza di partenza e viceversa.
2. Traslazione: trasformazione invariantiva che consiste nel traslare una forza lungo la direzione in cui agisce. Questa operazione non cambia l'equilibrio del corpo.

Forze applicate al corpo rigido: sollecitazioni equipollenti

Due sistemi si dicono equipollenti se differiscono solo per operazioni invarianti.

Dati due sistemi e si ha equipollenza se e

Forze applicate al corpo rigido: invariante scalare dinamico

Prendiamo due punti e

Si dice invariante scalare dinamico la grandezza

1. Sistema a sollecitazioni nulle:
2. Sistema soggetto ad una coppia:
3. Sistema sogg...