1 di 2 Fisica A Colori - Fisica Meccanica - Cinematica ed Elettromagnetismo, Teoria e Dimostrazioni.

I^a Equazione Cardinale

Dato un sistema di punti materiali: La forza F_i agente sul punto i-esimo èF_i=F_i(e)+f_i^(I)

^{III legge di Newton(I) f_ir = risultante forze interne è ≠0}

Dato un sistema di punti materiali in movimento;

• d^→R_CM/dt = d/dt Σm_i ^→r_i = 1/M_TOT dΣm_i^→r_i/dt
• = 1/M_TOT Σm_i ^→v_i

Quindi la velocità del centro di massa è^→v_CM = 1/M_TOT . Σm_i^→v_i

• ^→V_CM M_TOT = Σq_i^→ = ^Q quantità di moto totale del sistema

[^{Q→=V_CMM_TOT}]

_C

= _Σ

= _o

=

^{i _C}

→

= _^ex

→ →

→ →

Forma Generale Della 1^a Equazione Cardinale:

→

→ →

→ →

→ →

Moto del centro di massa è determinato da solo forze esterne

La quantità di moto totale del sistema si conserva quando:

→ = 0

→ = 0

→ = 0

o sistema isolato

→ C.M. si muove di moto rettilineo o è fermo

I_o = [Σm_i d_i²] ω_k̂ + L₁

L_o = L₁^// + L₁

I_o = [Σm_i b_i²] ω_k̂ + L₁

I_o = momento d'inerzia, dipende dalle masse e dalla loro posizione rispetto

all'asse di rotazione, grandezza geometrica, non dipende dal t

Quando l'asse di rotazione è un asse di simmetria o quando coincide con

l'asse principale d'inerzia:

L_{o k̂} = I_oωk̂ ⇒ L_{o k̂} = I_oω

Cosa accade se derivo rispetto al tempo?

dL_{o k̂}/dt = N^ext_o k̂ = d(Iω_w)/dt = d/dt

(d/dt [L_o k̂]) k̂ = (d/dt w) I_o = I_o ω̇ = I_o α

Pertanto

I_o α = N^ext_o k̂ ⇒ Versione Semplificata della II^a Eq. Cardinale per

1 corpo che ruota attorno ad un asse fisso

Teorema di König Energia Cinetica Corpo Rigido

T = 1/2 m V_G² + T'

Ṽ_i = Ṽ_G + ω ∧ (P_i - G) => Ṽ_P= 0

Ṽ_G Velocità Comassa

Ṽ_i = Ṽ_G + Ṽ'_i

Ṽ'_i = ω ∧ (P_i - G)

ω ∧ (P_i - G) = Ṽ_i'

Quando Ṽ_G = ω ∧ (P_i - G)

Un punto è al comassapuò solo ruotare intorno al co di massa

T' = 1/2 Σ m_i Ṽ'_i² = 1/2 Σ m_i [ω ∧ (P_i - G)]² = 1/2 Σ m_i |ω|² |P_i - G|² d_i di

(P_i - G) ⊥ d_i = di

Quindi T' = 1/2 Σ (m_i d_i²) ω² => T' = 1/2 I_G ω²

Pertanto:

T = 1/2 M_G V_G² + 1/2 I_G ω²

T = T_CM + T'

Pendolo Semplice

T_F = Tensione FiloIl moto è arcuare vario perché ho anche la componente tangenziale dell'accelerazioneIl moto è regolato dam_by + T_F = m_c

Moto lungo la direzione T:

- m_by_end = m_ca_T

Moto lungo la direzione N:

- T_c - m_ycos_t = m_Na_N

Dal moto circolare:z̈ = ṣ_uT + ṡN = Rȍ_uT + Rȍ_uN = Lȍ_uT + Lȍ²N

Con S=Lȍ => scossa curvilinea

• 1) - Mȍu
• 2) T_c−m_ycos_T = M ȍu

L ȍ=> T _F−mgcosθ = Mv²\n(ȍ=L²/R)

T_F = M(v²/R + gcosθ)La tensione è max nella risultante verticale minima

Voglio trovare la legge cronia del moto (moto periodico), tramite un'equazione differenziale:-mgsenɵ=mlɵ => ɵ̈ = -g/L senɵ => d²ɵ/dt² = -g/L senɵ

Moto Nel Piano

s(t) = lunghezza della traiettoria rettificata; è una coordinata intrinseca che non dipende dalla scelta del sistema di riferimento.

Δs = arco di traiettoria su cui insiste Δn ed è

Δs = s(t+Δt) - s(t)

Δ&overrightarrow{r} = è il vettore differenza tra OP(t) e OP(t+Δt) e per la regola del parallelogramma è

Δ&overrightarrow{r} = P(t+Δt) - P(t)

Voglio calcolare la Velocità &Overrightarrow;v

&Overrightarrow;v(t) = ds / dt = lim Δs → 0 Δn / Δt = lim Δs → 0 Δs / Δt = ds / dt = s.

per Δs → 0 Δn = Δs quindi questo rapporto tende a 1

Dato che &Overrightarrow;v è tangente alla traiettoria

∇^ = s. û_t

L'accelerazione avrà 2 componenti

la 1^a Legata alla variazione del modulo di v2

la 2^a Legata alla variazione della direzione del moto

&Overrightarrow;a(t) = dv / dt = ds. û_t + d û1 / dt û_t

Devo trovare la derivata di un versore!

La derivata di un versore non è un versore!

û_t ⋅ û_t = 1 → d/dt (û_t ⋅ û_t) = d/ dt 1 → d û1 û + û ^

− 2 d û1 û = 0 → û × û = 0 il psichare è a zero, i due vettori sono tra loro ⊥

P(t)

û^._t(t)

P(t+Δt)

Gû_t(t+Δt) û_t

x_B = ∫_a^b m ¹⁄₂ d v²⁄_dt = ∫_a^b d⁄dt ( ¹⁄₂ m v²) dt = ¹⁄₂ m v² |^B_A

d⁄dt_B - d⁄dt_A = ¹⁄₂ mv_B² - ¹⁄₂ mv_A² = ΔT

→ lavoro e differenza in energia del punto qualunque sia la forza.

• ΔT > 0 se T_B > T_A
• ΔT < 0 se T_B < T_A ⇒ caso f._d l'attrito
• ΔT = 0 se T_B = T_A ⇒ en. cinetica costante, es. moto circolare uniforme

Esempio: Lavoro della F. Peso

δ_LAB = ∫_a^b -mgj dz = -mg z_B + mg z_A

δ_LAB = mg z_A - mg z_B = -mg j (z_B - z_A)

Il lavoro dipende solo dalla posizione quindi è conservativo. (Non dal percorso)

Forze Conservative

È una forza descritta da un campo vettoriale conservativo che il suo lavoro durante un certo tragitto non dipende dal cammino percorso ma solo dai punti di partenza e di arrivo.

Quindi una forza conservativa è una forza che conserva l'energia meccanica.

Una forza è conservativa se ha queste 3 caratteristiche

1. Se il lavoro è conservativo, ∃ U(x_i) t.c. δ_LAB = -ΔU è dato che non dipende dal percorso, il lavoro è un differenziale esatto! dL = -dU
2. dU dipende solo da (x_j)_AB e quindi anche il lavoro dipende solo da dij_B^A
3. dF&roh;_LAB = ∫_a→b F&roh;dx = ∫_a→b -dU