Teoria delle strutture - Stabilità dell'equilibrio elastico

Problemi di stabilità dell'equilibrio elastico

Problema dell'equilibrio elastico

(HP) di piccoli spostamenti che consente di riportare l'equilibrio del sistema con riferimento alla configurazione iniziale (oppure indeformata).

Obiettivo: Stabilire se esistono configurazioni di equilibrio diverse da quella iniziale e quale\quali estremi occorre determinare la natura. Valuterò in particolare nella configurazione iniziale se l'equilibrio risulta essere oppure configurazione di equilibrio diverse = deformate!

Definizioni e teoremi sulla stabilità

Coordinate del punto P: x = X^T = [x₁, x₂, ..., x_n]

Velocità del punto: ẋ = Ẋ^T = [ẋ₁, ẋ₂, ..., ẋ_n]

Funzione che lega la velocità ẋ con la posizione x. dove X = X^T = [X₁, X₂, ..., X_n]. Ẋ = X(x).

In funzione del tempo scriverò ẋ = X(x,t).

Si supponga che il punto dello spazio n-dimensionale x = x_e sia un punto di riposo onde valga la relazione X(x_e) = 0. Mediante un cambiamento di coordinate è sempre possibile far coincidere il punto di riposo con l’origine su un sistema tale che X(0) = 0.

Problema dell'equilibrio elastico (continuazione)

(H) Di piccoli spostamenti che consente di riportare l'equilibrio del sistema con riferimento alla configurazione iniziale (oppure indeformata).

Obiettivo: Stabilire se esistono configurazioni di equilibrio diverse da quella iniziale e, qualora l'evento occorra, determinare la natura. Valuterò in particolare nella configurazione iniziale se l'equilibrio risulta essere stabile oppure instabile/indifferente. Configurazione di equilibrio diverse = deformate!

Definizioni e teoremi sulla stabilità (continuazione)

Coordinate del punto P: x^* = x^T = [x₁, x₂, ..., x_n]

Velocità del punto: ^.x = x^t = [^.x₁, ^.x₂, ..., ^.x_n]

Funzione che lega la velocità con la posizione: ^.x = X(x). In funzione del tempo scriverò ^.x = X(x,t).

Si supponga che il punto dello spazio n-dimensionale X = x sia un punto di riposo anzi valga la relazione X(x_e) = 0. Mediante un cambiamento di coordinate è sempre possibile far coincidere il punto di riposo con l'origine in maniera tale che X(0) = 0.

Tipi di stabilità

• Instabile
• Stabile
• Asintoticamente stabile

Indico con S(R) la regione sferica aperta dalla medesima ||X - X₀|| 0|| = R. Si supponga che un urto entri nella sfera X ∈ D | D = R. Si dice che l'insieme e la posizione di equilibrio X_e rappresenta una configurazione di equilibrio:

• Stabile se per ogni R < D esiste un K = R tale che se una traiettoria η ha origine in un punto X₀ della regione sferica S(H₀) allora rimane nella regione sferica S(R) all'interno di t: S(H) non raggiunge mai la frontiera H(R).
• Asintoticamente stabile se è stabile e inoltre ogni traiettoria che ha origine su S(H_e) tende all'origine, oppure alla posizione di equilibrio per t → ∞.
• Instabile se rimane un R&D e per qualunque R comunque piccolo esiste sempre un punto X₀ in S(K) tale che una traiettoria avente origine in X₀ raggiunge la frontiera H(R).

Definizione di stabilità di Liapunov

La configurazione di equilibrio X_e è stabile se e solo se, per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 dipendente da ε tale che, quando per lo stato iniziale X_o si ha ‖X_o - X_e‖ = ρ_o < δ ⇒ allora ‖X(t) - X_e‖ = ρ(X(t)) < ε per qualunque t > 0 e per qualunque u()t.

In particolare, la distanza tra due punti nello spazio n-dimensionale è definita da:

ρ(X(t), X_o) = √_i=1ⁿ ∑ (x_i(t) - x_ol)²

Uno stato di equilibrio X_e è asintoticamente stabile se per ogni ε > 0. Esiste un δ > 0 dipendente da ε tale che, quindi lo stato iniziale X_o è tale per cui ‖X_o - X_e‖ = ρ_o < δ & ε allora il moto corrispondente è stabile e inoltre per t → ∞ ‖X(t) - X_e‖ = 0.

Teoremi fondamentali sulla stabilità

Teorema di Dirichlet