Teoria delle strutture - Stabilità dell'equilibrio elastico

Problema dell'equilibrio elastico

Ip di piccoli spostamenti che consente di riportare l'equilibrio del sistema con riferimento alla configurazione iniziale (oppure indeformata).

Obiettivo: Stabilire se esistono configurazioni di equilibrio diverse da quella iniziale e in quale ora l'esistenza occorre determinare la natura.

Valutare in particolare nella configurazione iniziale se l'equilibrio risulta essere stabile oppure indifferente/instabile.

Configurazione di equilibrio diverse = deformate!

Definizioni e teoremi sulla stabilità

• Coordinate del punto P _x = ^{xt = [x₁, x₂, ..., x_n]}
• Velocità del punto ^x = ^{ẋt = [ẋ₁, ẋ₂, ..., ẋ_n]}
• Funzione che lega la velocità ẋ con la posizione x
  • Si supponga che un punto dello spazio n-dimensionale x = x_e sia un punto di riposo e mai valga la relazionale x_e(x_e) = 0
  • Mediante un cambiamento di coordinate è sempre possibile far coincidere le punto di riposo con l'origine in maniera tale che x₍₀₎ = 0

ẋ = X(x)

In funzione del tempo "scarno" ẋ = X(x, t)

INSTABILE

STABILE

ASINTOTICAMENTE STABILE

Indico con S(R) la regione sferica aperta dalla relazione ||x|| < R e con H(R) la superficie sferica media unica ||x|| = R.

Si supponga che in una certa regione sferica Ω: ||x|| < D la D > R siano soddisfatte le condizioni richieste dai teoremi di Jordan e di Brouwer date l'esistenza del supporto differenziale.

Si dice che l'origine è la posizione di equilibrio X₀ rappresenta una configurazione di equilibrio.

• STABILE se per ogni R < D esiste un r < R tale che se una traiettoria ha origine in un punto X₀ della regione sferica S(r) non riavvicina neppure regione sferica S(R) anche all'interno di t. S(H) non raggiunge mai la frontiera H(R).
• ASINTOTICAMENTE STABILE se è stabile e mostra ogni traiettoria che ha origine in S(H) tende all'origine oppure alla posizione di equilibrio per t→∞.
• INSTABILE se rimane un R < D e per qualunque r è comunque piccolo esiste sempre un punto X₀ in S(H) tale che una traiettoria avendo origine in X₀ raggiunge la frontiera H(R).

CRITERIO DI STABILITÀ

Si considera un generico sistema deformabile che, in un istante di tempo t = t₀, si trovi in una configurazione di equilibrio T₀ detta stato fondamentale.

Per valutare il tipo di equilibrio in T₀ si suppone, di attribuire ai punti materiali X - X(x₁, y₁, z₁) dello spostamenti ammissibili in campo definito come:

μ^*(X, t) = μ^*(X, t) = [μ(X, y, z, t) ν(X, y, z, t) ŵ(X, y, z, t)]

in modo tale che in un istante successivo i punti stessi occupino le nuove posizioni di una configurazione variata T^*.

Il passaggio tra T₀ a T^* avviene nell'intervallo temporale Δt = t^* - t₀ con velocità:

ṁ^* = ∂u / ∂t ė^* = ∂ε / ∂t

dove μ^*(X, t) è il vettore dello spostamento possibile e ė^*(X, t) il vettore delle componenti di deformazione:

Ė^*(X, t) = ∑T^*(X, t) = [ε_X(x, y, z, t) ε_Y(x, y, z, t) ε_Z(x, y, z, t) γ_YZ(x, y, z, t) γ_XZ(x, y, z, t) γ_XY(x, y, z, t)]

Nel passaggio del sistema da T₀ a T^* si definisce lavoro esterno, oppure lavoro dei carichi esterni,

il lavoro compiuto dal vettore f^*(x, t) delle forze di massa e dal vettore ρ^*(x, t) delle forze di superficie:

L_e = _Δt^∫[_ν^∫f^*μ^* dν + _∫ρ^* μ^* dn] dt

ν volume occupato dal corpo materiale ∩ superficie

Analogamente si definisce lavoro relativo oppure lavoro interno, oppure lavoro compiuto dal vettore delle componenti al tensore di tensione interna:

σ^*(x, t) = σ^*(x, t) = [σ_X(x, y, z, t) σ_Y(x, y, z, t) σ_Z(x, y, z, t) γ_YZ(x, y, z, t) τ_XZ(x, y, z, t) τ_XY(x, y, z, t)]

per effetto delle deformazioni del sistema

L_i = _Δt^∫σ^*ė dV dt

Dato che φ > 0 φ_L = 1

indipendente dalla rotazione φ coincide con unico eurotazione su cui non sono trascurate le potenze di φ rispetto al rotatore bewo

La linearizzazione permette di determinare il punto di biforcazione del carico P. Tuttavia, essa può stabilire tutte le informazioni sulla deformata ulteriore del carico critico stesso, cioè sul comportamento post-critico.

STABILE   P < Pcr   INSTABILE   P > Pcr

  INDIFFERENTE   P = Pcr

Quando il carico applicato risulta maggiore di Pcr l’equilibrio può venire realizzato solo per φ > 0 ossia in una configurazione diversa da quella originaria.

La configurazione di equilibrio variata risulta essere stabile per P > Pcr, infatti quando il carico supera questo critico la struttura ha più di una minima linea con configurazione variata equilibrata; ma tende di trasferrsi nella configurazione di equilibrio possibile corrispondente alle minime d’energia o soluzione di P = 4kψ

Per P > Pcr l’equilibrio risulta instabile per la configurazione fondamentale.

CRITERIO ENERGETICO

RICORDARE

• DIRICHLET → posizioni di equilibrio stabili in corrispondenza delle quali l’energia potenziale del sistema presenta un minimo isolato

LIUPANOV * CHETAYEV → equilibrio instabile quando l'energia potenziale presenta massimi isolati o in generale non sia minima

Il potenziale del carico nel nostro caso vale

H = - pe (1 - cosφ)

L’energia potenziale elastica della molla vale

Φ = (1/2) 4k (2ψ)²

Per decidere la natura dell'equilibrio in corrispondenza del carico critico calcolo le derivate di ordine superiore:

d³Π/dψ³ = -4kℓ²cosψsenψ + Pℓsenψ

d⁴Π/dψ⁴ = 4kℓ²(sen²ψ - cos²ψ) + Pℓ cosψ

in particolare Π^IV(0) = -3kℓ² < 0, EQUILIBRIO INSTABILE

Per P_CR = kℓ la derivata seconda dell'energia è negativa e l'equilibrio è instabile.

Nel piano (P, ψ) la retta P = P_CR corrispondente alla linearizzazione viene indicata con una linea orizzontale tratteggiata.

Anche in questo caso la linearizzazione non dà informazioni sul comportamento post critico del sistema ma permette di valutare le variazioni del carico critico.

COMPORTAMENTO POST CRITICO SIMMETRICO INSTABILE O SISTEMA RIGIDO-SOFTENING

Al contrario delle strutture e dei sistemi precedenti qui non ho un aumento di rigidezza, bensì una perdita a partire dal punto di innesco α.

Susseguira alle imperfezioni

u = l (1 - cos φ₀)

Imperfezione

Per una imperfezione iniziale (φ₀ piccolo), si osservano quattro famiglie di curve:

• due per φ₀ > 0
• e due per φ₀ < 0.

Le curve che intersecano l'asse delle ascisse prendono il nome di curve di equilibrio naturale, mentre le altre sono curve di equilibrio non naturale.

Al tendere di φ₀ a zero, le curve di equilibrio della struttura imperfetta tendono a quelle della struttura perfetta.

I punti (P,φ) di equilibrio stabile sono caratterizzati dalla condizione:

• d²T/dφ² > 0
• e sono ubicati a sinistra della retta P* calcolata tramite d²T/dφ² = 0.

Vale P* = _kE/² (1 - √3 φ₀).

φ_c0 < 0 φ_c0 > 0 φ_c0

Una piccola imperfezione causa una drastica riduzione del carico di collasso rispetto al carico di collasso della struttura perfetta.