Teoria delle strutture - Appunti

Teoria delle strutture

Introduzione alla teoria della trave

Trave = semplificazione di un solido tridimensionale con opportune caratteristiche.

1. j = 1, 2, 3
2. F_j (forze di volume)
3. P_f (forze di superficie, applicate al contorno libero)

Su = contorno vincolato
Sp = contorno libero

Ipotesi = materiale elastico lineare → piccoli spostamenti (cinematica lineare) → equazioni lineari

∑_{i = 1}³ (_ij + F_j) = 0

Equazioni di equilibrio indefinito

_ij,_i = derivazione parziale rispetto all'indice assegnato

Tale equazione può essere scritta anche nella seguente forma:

• ₁₁,₁ + ₂₁,₂ + ₃₁,₃ + F₁ = 0
• ₁₂,₁ + ₂₂,₂ + ₃₂,₃ + F₂ = 0
• ₁₃,₁ + ₂₃,₂ + ₃₃,₃ + F₃ = 0

_ij,_i = _iⁱ [_ij = componente generica dell'elemento di carico degli indici i e j]

1. i = primo indice: direzione della normale alla frattura considerata
2. j = secondo indice: direzione della componente considerata

Le equazioni di equilibrio indeterminate precedentemente scritte devono essere soddisfatte per ogni punto della struttura; invalidità in generale delle tre condizioni necessarie per l'equilibrio della trave:

Teoria delle strutture

Introduzione alla teoria della trave

Trave = semplificazione di un solido tridimensionale con opportune caratteristiche.

1. f = 1, 2, 3
2. F_j (forze di volume)
3. p_j (forze di superficie, applicate al contorno libero)

Su: contorno vincolato
Sp: contorno libero

Ipotesi: materiale elastico lineare sollecitazioni, piccoli spostamenti (cinematica lineare)

Equazioni lineari: ∑_i=1³ (∂_i + F_j) = 0

Equazioni di equilibrio indefinito

Derivazione parziale rispetto all'indice assegnato:

Tale equazione può essere scritta anche nella seguente forma:

• ∂₁₁ + ∂₂₁ + ∂₃₁ + F₁ = 0
• ∂₁₂ + ∂₂₂ + ∂₃₂ + F₂ = 0
• ∂₁₃ + ∂₂₃ + ∂₃₃ + F₃ = 0

∂_fj = ∂_j [∂_ij]

Componenti parziali dell'insieme di forze degli indici i e j:

1. i = primo indice: direzione della normale alla frattura considerata
2. j = secondo indice: direzione della componente considerata

Le equazioni di equilibrio indiretto precedentemente scritte devono essere soddisfatte per ogni punto della struttura, infatti una di esse è anche una condizione necessaria per l'equilibrio della trave.

L'equilibrio al contorno in nodo è la condizione al contorno dell'equazione differenziale scritta prima.

∑³ (_σij ∙ _nj) = _ρj

Tale condizione dell'equilibrio al contorno deve valere sulla porzione _s libera del contorno stesso.

Utilizzando tali equazioni non basta, si devono introdurre anche le equazioni di congruenza (infatti per esempio molte cose nascono mediante strutture iperstatiche, cioè elementi non analitici e non dimensione nulla).

Equazioni di congruenza

_εij = ¹/₂ [∂_iuj + ∂_jui]

Teorema del moto: _ui = vettore dello spostamento

_Δij = δ_ij = tensore degli spostamenti metrici

Anche il vettore spostamento però deve rispettare dei vincoli. I vincoli dei vincoli applicati al contorno sulla superficie vincolata.

_uj = _ûj su _Su

Bilancio delle incognite e delle equazioni del problema della trave

Inc.: 5_g6 _uj
3 eq dell'equilibrio differenziali
6 _εij
6 eq di congruenza
3 _uj
Ne servono altre 6 ➜ equazioni dell'operazione elastica
15 15

Le sei equazioni della deformazione elastica possono essere evitate nel seguente modo:

σ_ij = Σ_k,l=1³ D_ijkl ΔK • E_kl

D_ijkl → tensore elastico

81 componenti