Teoria delle strutture - Appunti

TEORIA DELLE STRUTTURE

Introduzione alla teoria della trave

^30/03/2009

Trave = semplificazione di un solido tridimensionale con opportune caratteristiche

F_i = (forze di volume)

F_j (sforzi di superfice, applicati al contorno libero)

S_u = contorno vincolato

S_p = contorno libero

Ipotesi = material elastico lineare

piccoli spostamenti (incrementi lineari) => Equazioni lineari

Σ_i=1³ (σ_ij,i + F_j) = 0

Equazioni di equilibrio indeformato:

σ_ij,i (derivazione parziale rispetto all'indice assegnato)

Tale equazione può essere scritta anche nella seguente forma:

• σ_11,1 + σ_12,2 + σ_13,3 + F₁ = 0
• σ_21,1 + σ_22,2 + σ_23,3 + F₂ = 0
• σ_31,1 + σ_32,2 + σ_33,3 + F₃ = 0

σ_ij,j = ∂ σ_ij / ∂ x_i [ σ_ij = componente tensorica dell'elemento di forza degli indici i e j ]

i = primo indice, direzione della normale alla frattura considerata

j = secondo indice, direzione della componente considerata

L'equazione di equilibrio indeformato precedentemente scritta deve essere soddisfatta per ogni punto della struttura indeformata in atto ma tale è una condizione necessaria per l'equilibrio della trave

In altre aggiunge l'equilibrio al contorno

L'equilibrio al contorno in modo e la condizional al contorno dell'equazione differenziale scritta prima:

Σ_i=1³ (σ_ij · n_i) = β_j

Tale condizione dell'equilibrio al contorno deve volere sulla porzione libera del contorno s_tome.

Utilizzando tale equazione noi potiamo andare a studiare anche le equazioni di congruenza (usando per esempio metodo sposs-stra

una soluzione analitica sfruttabile, ci alimentanti non analitic_o.

Equazioni di congruenza:

ε_ij = 1/2 (δ_{i, j} + δ_j,i)

ε_ij = vettore dello spostamento δ_i,j = δ_j,i = Dt lo oxoglio di spost e sim metrico

Anche il vettore spostamento pero dare equetrole dei vincoli D= non dol'deai vincoli applicata al contorno sulle rumplific risolidita

δ_j = ī_j su S_N

Facciamo ora un bilancio delle incógnite e delle equazioni del problema dalle travi:

1. 3 eq dell'equilibrio differenziali
2. 6 eq di congru.
3. 3 eq.della elostione elastico

noi nuovon altro 6 6

equazioni della spostamento elastico

15 15

Se eq equului della deformazione elastico posso esen unl de nel questo mode.

3D

^spoiler: solido cilindrico e pare ogni volta solo sulle due basi

principio di indifferenza di de Saint-Venant

- se si sostituisce una distribuzione di forze con un'unica risultante applicata all'equicentro della sollecitazione esterna, per un'osservatore sufficientemente lontano della sezione non c'è alcuna differenza tra orazione e un punto vicino allo stesso ove è il differente

- per questo motivo non è necessario studiare infinite condizioni di carico ma solo sei

^{spoiler: materiale elastico, lineare isotropo, piccoli spostamenti e nessuna deformazione residua, non vincolato (auto-equilibrato) l'assenza di forze di coesione}

Tale assunzione rende possibile trovare soluzioni esatte o approssimate ai problemi di de Saint-Venant

Applicare il metodo di de Saint-Venant sa bene per risolvere problemi molto semplici, per strutture più complesse si usa un altro sistema

TRAVE

solido geometrico generato da una superficie piana che trasla mantenendosi sempre parallela alla traiettora o seguito delle sua caricatrice

TRAVE PIANA

- la lunghezza della trave è molto maggiore della sua dimensione trasversale

- la curvatura è molto piccola linee esterne, descritte dalle loro linee d'oss

nella sezione una dimensione prevale sulle altre

dA

dA = m

F =

questo è il vettore delle forze generalizzata

m(x) =

p(x) =

m(x) =

m(x) può essere causato da forze non costanti nello spessore della travi:

Nota → Il lavoro virtuale delle modalità generalizzate è uguale al lavoro virtuale delle modalità primitè

Il procedimento che si segue e di determinare le genralizzate cinematiche (spostamenti e deformazioni) e da queste cicrono quelle cinateiche (forze e deformate).

Il metodo da disenevo è energetico carico il = a2 etc. .

Tale procedimento fatto prima per le forze estere si può aggiungere anche per le forze intenre.

NOTA:

con il metodo del per. le equazioni di equilibrio

le dispensioni non sono escluse!!

questo è, le considerando solo gli spostamenti virtuali di tipo flessionale (o sezione), di semplificare

la metodologia adotattata! Cioè termini con rotazioni le

traslazioni devono vincere (non: le equazioni di

genere le equazioni di sezioni. Infatti quindi lin. (considera spessimento di crea conn. la rotare con le spostare ii non rotato adottato.

Teoria della trave di Timoshenko

Teoria della trave da applicare come spostare semplificativo di

eq aeron, alle trave class materia rip. dimostra la deformazioni

timo! matrice metodo ripetto alla linear. di note

φ e nullae die questi ripoters che non svol. incluse le equazioni

di equilibrio scritte precedentemente.

Si pio afferemere una deformazione angolare proposito parla in

questa teoria che notiura è libera di ridotti ripetto alla

trave. media.

ε = υ' - φ

se le deformazioni a taglio è nulla. la sezione retta T

alla linea di esse.

Per alcune trave le dispensioni a taglio è rilevante, fin anni,

_T

trave tocia (effetti di stainrate

mutati)

la sezione retta è modo fin

stre ripetto alla linea d'esse.

dsp. del. taglio = dsp. a flexione

_T

per una trave nella invece

dsp. a flessione >> dsp. taglio

quindi per una trave nella le dispensioni a taglio sono

trascurabile → ε = υ' - φ ≈ 0

Il problema del grande K: alla ipotesi di piccoli spostamenti si hanno assuntendo:

le ipotesi detto

Se rilassiamo la seconda ipotesi le cose si complicano in: velemenza

_θ

V₀= Kθ legnosi della nella-elacibilità normale deforrotto indeforrotto FL = Kθ, FL= θ / K relazione della configurazione indefornato

relazione della configurazione deformato

si nota che anche per θfffffffffff molto fori applicazione al fondo nell’andate la soluzione è calcolata nella configurazione indetomata

• θ= 0,01, 0,2rad

se θ è piccolo: Fθ= θ / K cosθ ~ θ

aggiungiamo ora un’altra forz:

F 5F define l’equilibrio per la configurazione ilformata in questo config

1m

= 1/2 pL⁴/ EI

1T

= pL²/ EI

1T

= 1/24 pL³/ EI

dati del testo (presi come valori import. nel progett. e nelle illustrazioni teoriche)

Problema il sistema (lo è una volta iperstatico)

iperstatica)

H_A + X = 0

V_A + V_C - pL = 0 ; V_C = pL - V_A

V_C x L - p/2 x L² - X L = 0

pL - V_A - pL²/2 - X = 0

V_A = pL/2 - X ; V_C = pL/2 + X

ci sono quindi 6 oltra reazioni vincolari in favore della iperstatico

colonna AB: