Teoria delle strutture - Analisi di un braccio meccanico

3.5.1 VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO

I grafici delle azioni interne sono riportati nelle seguenti figure.

Figura 3.18 – Azione assiale

Figura 3.19 – Taglio

Figura 3.20 – Momento flettente

26 RISULTATI DELLE ANALISI

La seguente tabella riporta le azioni interne, gli sforzi ed i relativi valori di UC delle aste

Tabella 3.9 – Azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 23,9 -0,1 0,0 1 0 1 0,03

1 2 23,6 0,1 0,0 1 0 1 0,03

5 -51,6 -2,2 0,0 -2 0 2 0,06

7 8 -51,7 -2,3 -338,8 -8 0 8 0,26

7 10,8 0,1 0,0 0 0 0 0,01

9 11 10,6 -0,1 0,0 0 0 0 0,01

8 -6,1 2,6 -338,8 -6 0 6 0,20

12 9 -6,2 2,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -73,7 -2,7 502,4 -6 0 6 0,19

2 1 -74,0 -2,6 0,0 -1 0 1 0,04

5 -28,8 2,9 0,0 -1 0 1 0,02

4 4 -29,0 3,0 502,4 -5 0 5 0,16

Sez_3

6 -46,5 -56,5 2259,6 -42 -2 42 1,40

5 5 -46,5 -56,5 0,0 -2 -2 4 0,14

6 -5,0 56,5 -2259,6 -40 2 40 1,35

6 7 -5,0 56,5 0,0 0 2 4 0,13

9 -2,6 -6,2 0,0 0 0 0 0,01

10 10 -2,6 -6,3 -249,6 -5 0 5 0,15

11 9,2 5,3 0,0 0 0 0 0,02

11 10 9,2 5,2 209,6 4 0 4 0,14

Sez_4

4 45,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

3 3 45,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

7 46,0 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 45,9 0,0 0,0 1 0 1 0,08

Come evidenziato, la verifica delle aste 5 e 6 nel nodo 6 non è soddisfatta. Si rimanda al successivo

paragrafo 4 per le modifiche al telaio e relative ri-verifiche.

3.5.2 VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI ESERCIZIO

Si riportano di seguito i valori degli spostamenti dei nodi 6 e 10.

Tabella 3.10 – Spostamenti

Nodo Ux [mm] Uy [mm] Rz [rad] w [mm] UC

6 0,4 -0,2 -0,0012 0,5 0,31

10 -0,7 -1,0 -0,0026 1,2 0,77

La verifica risulta essere soddisfatta. 27 MODIFICHE DEL TELAIO

4 MODIFICHE DEL TELAIO

Come evidenziato nel capitolo precedente, nelle configurazioni 1, 3 e 5 le verifiche allo stato limite

ultimo in alcune sezioni non sono soddisfatte.

Per risolvere questo problema si sono considerate due alternative:

• si è ipotizzato l’utilizzo di un tipo di alluminio con valore dello sforzo limite più elevato

• si sono modificate le proprietà geometriche delle aste. σ

Le seguenti tabelle riportano i nuovi valori di UC calcolati considerando il valore di pari a 50 MPa.

lim

Naturalmente la modifica proposta non comporta variazioni degli spostamenti.

Tabella 4.1 – Configurazione 1: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 37,4 -0,1 0,0 1 0 1 0,03

1 2 37,2 0,1 0,0 1 0 1 0,03

5 -45,4 -3,9 0,0 -2 0 2 0,03

7 8 -45,5 -4,0 -586,7 -12 0 12 0,23

7 6,2 0,1 0,0 0 0 0 0,00

9 11 6,1 -0,1 0,0 0 0 0 0,00

8 -3,5 4,6 -586,7 -10 0 10 0,20

12 9 -3,6 4,5 0,0 0 0 1 0,01

Sez_2

4 -87,2 -2,7 501,6 -6 0 6 0,12

2 1 -87,5 -2,6 0,0 -2 0 2 0,03

5 -42,3 2,9 0,0 -1 0 1 0,02

4 4 -42,5 3,0 501,6 -5 0 5 0,10

Sez_3

6 -48,3 -46,1 1845,3 -35 -2 35 0,69

5 5 -48,3 -46,1 0,0 -2 -2 4 0,07

6 16,6 46,1 -1845,3 33 2 34 0,67

6 7 16,6 46,1 0,0 1 2 3 0,06

9 -5,7 -0,9 0,0 0 0 0 0,00

10 10 -5,6 -0,9 -34,8 -1 0 1 0,02

11 6,1 -0,1 0,0 0 0 0 0,00

11 10 6,1 -0,1 -5,2 0 0 0 0,01

Sez_4

4 45,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

3 3 45,0 0,0 0,0 1 0 1 0,08

7 42,9 0,0 0,0 1 0 1 0,07

8 8 42,8 0,0 0,0 1 0 1 0,07

28 MODIFICHE DEL TELAIO

Tabella 4.2 – Configurazione 3: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 24,7 -0,1 0,0 1 0 1 0,02

1 2 24,5 0,1 0,0 1 0 1 0,02

5 -51,7 -2,2 0,0 -2 0 2 0,04

7 8 -51,8 -2,3 -338,7 -8 0 8 0,15

7 10,8 0,1 0,0 0 0 0 0,01

9 11 10,6 -0,1 0,0 0 0 0 0,01

8 -6,2 2,6 -338,7 -6 0 6 0,12

12 9 -6,2 2,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -75,5 -3,8 710,4 -7 0 7 0,15

2 1 -75,7 -3,6 0,0 -1 0 1 0,03

5 -28,7 4,1 0,0 -1 0 1 0,01

4 4 -28,9 4,3 710,4 -7 0 7 0,13

Sez_3

6 -40,1 -56,5 2260,1 -42 -2 42 0,84

5 5 -40,1 -56,5 0,0 -2 -2 4 0,08

6 -5,0 56,5 -2260,1 -40 2 40 0,81

6 7 -5,0 56,5 0,0 0 2 4 0,08

9 -2,6 -6,2 0,0 0 0 0 0,01

10 10 -2,6 -6,3 -250,0 -5 0 5 0,09

11 9,2 5,3 0,0 0 0 0 0,01

11 10 9,2 5,2 210,0 4 0 4 0,08

Sez_4

4 47,3 0,0 0,0 1 0 1 0,08

3 3 47,2 0,0 0,0 1 0 1 0,08

7 46,0 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 45,9 0,0 0,0 1 0 1 0,08

29 MODIFICHE DEL TELAIO

Tabella 4.3 – Configurazione 5: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 23,9 -0,1 0,0 1 0 1 0,02

1 2 23,6 0,1 0,0 1 0 1 0,02

5 -51,6 -2,2 0,0 -2 0 2 0,04

7 8 -51,7 -2,3 -338,8 -8 0 8 0,15

7 10,8 0,1 0,0 0 0 0 0,01

9 11 10,6 -0,1 0,0 0 0 0 0,01

8 -6,1 2,6 -338,8 -6 0 6 0,12

12 9 -6,2 2,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -73,7 -2,7 502,4 -6 0 6 0,11

2 1 -74,0 -2,6 0,0 -1 0 1 0,03

5 -28,8 2,9 0,0 -1 0 1 0,01

4 4 -29,0 3,0 502,4 -5 0 5 0,10

Sez_3

6 -46,5 -56,5 2259,6 -42 -2 42 0,84

5 5 -46,5 -56,5 0,0 -2 -2 4 0,08

6 -5,0 56,5 -2259,6 -40 2 40 0,81

6 7 -5,0 56,5 0,0 0 2 4 0,08

9 -2,6 -6,2 0,0 0 0 0 0,01

10 10 -2,6 -6,3 -249,6 -5 0 5 0,09

11 9,2 5,3 0,0 0 0 0 0,01

11 10 9,2 5,2 209,6 4 0 4 0,08

Sez_4

4 45,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

3 3 45,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

7 46,0 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 45,9 0,0 0,0 1 0 1 0,08

Come detto, si è considerata quindi una seconda soluzione alternativa per risolvere le verifiche non

soddisfatte. Mantenendo il valore originale dello sforzo limite dell’alluminio, si sono modificate le

caratteristiche delle sezioni 1, 2 e 3 aumentando lo spessore come riportato nella seguente tabella.

Tabella 4.4 – Proprietà delle sezioni

Sez_1 Sez_2 Sez_3 Sez_4

h [mm] 8,00 8,00 13,00 5,00

t [mm] 2,00 2,00 2,00 -

A [mm ] 47,14 94,28 52,00 39,26

2

A [mm ] 23,57 47,14 52,00 29,45

2

a

I [mm ] 307,73 615,46 732,33 61,36

4

W [mm ] 76,93 153,87 112,67 24,54

3 30 MODIFICHE DEL TELAIO

Si sono ri-eseguite le analisi ottenendo i risultati riportati nelle seguenti tabelle in termini di azioni

interne e spostamenti.

Tabella 4.5 – Configurazione 1: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 38,6 -0,1 0,0 1 0 1 0,03

1 2 38,2 0,1 0,0 1 0 1 0,03

5 -46,9 -4,0 0,0 -1 0 1 0,03

7 8 -47,0 -4,1 -604,9 -9 0 9 0,30

7 6,3 0,2 0,0 0 0 0 0,00

9 11 6,1 -0,2 0,0 0 0 0 0,00

8 -3,4 4,7 -604,9 -8 0 8 0,26

12 9 -3,5 4,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -93,9 -3,0 551,1 -5 0 5 0,15

2 1 -94,4 -2,8 0,0 -1 0 1 0,03

5 -43,8 3,1 0,0 0 0 0 0,02

4 4 -44,2 3,3 551,1 -4 0 4 0,14

Sez_3

6 -50,0 -47,7 1910,9 -18 -1 18 0,60

5 5 -50,1 -47,8 0,0 -1 -1 2 0,06

6 17,1 47,8 -1910,9 17 1 17 0,58

6 7 17,1 47,7 0,0 0 1 2 0,05

9 -5,7 -0,8 0,0 0 0 0 0,00

10 10 -5,7 -0,8 -31,8 0 0 0 0,01

11 6,1 -0,2 0,0 0 0 0 0,00

11 10 6,1 -0,2 -8,2 0 0 0 0,01

Sez_4

4 50,1 0,0 0,0 1 0 1 0,09

3 3 50,1 0,0 0,0 1 0 1 0,08

7 44,5 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 44,5 0,0 0,0 1 0 1 0,08

Tabella 4.6 – Configurazione 1: spostamenti

Nodo Ux [mm] Uy [mm] Rz [rad] w [mm] UC

6 0,4 -0,2 -0,0013 0,5 0,34

10 0,2 -0,7 -0,0006 0,8 0,51

31 MODIFICHE DEL TELAIO

Tabella 4.7 – Configurazione 3: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 25,4 -0,2 0,0 1 0 1 0,02

1 2 25,1 0,2 0,0 1 0 1 0,02

5 -53,2 -2,3 0,0 -1 0 1 0,04

7 8 -53,4 -2,4 -349,2 -6 0 6 0,19

7 10,9 0,1 0,0 0 0 0 0,01

9 11 10,6 -0,1 0,0 0 0 0 0,01

8 -6,0 2,7 -349,2 -5 0 5 0,16

12 9 -6,2 2,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -81,8 -4,3 780,4 -6 0 6 0,20

2 1 -82,1 -3,9 0,0 -1 0 1 0,03

5 -29,7 4,4 0,0 0 0 0 0,01

4 4 -30,0 4,7 780,4 -5 0 5 0,18

Sez_3

6 -41,5 -58,3 2334,3 -22 -1 22 0,72

5 5 -41,5 -58,4 0,0 -1 -1 2 0,07

6 -5,3 58,4 -2334,3 -21 1 21 0,70

6 7 -5,2 58,3 0,0 0 1 2 0,06

9 -2,6 -6,2 0,0 0 0 0 0,01

10 10 -2,6 -6,2 -248,0 -2 0 2 0,08

11 9,2 5,2 0,0 0 0 0 0,01

11 10 9,2 5,2 208,0 2 0 2 0,07

Sez_4

4 52,6 0,0 0,0 1 0 1 0,09

3 3 52,5 0,0 0,0 1 0 1 0,09

7 47,7 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 47,6 0,0 0,0 1 0 1 0,08

Tabella 4.8 – Configurazione 3: spostamenti

Nodo Ux [mm] Uy [mm] Rz [rad] w [mm] UC

6 0,4 -0,4 -0,0013 0,5 0,33

10 -0,4 -0,9 -0,0014 0,9 0,63

32 MODIFICHE DEL TELAIO

Tabella 4.9 – Configurazione 5: azioni interne, sforzi e valori di UC

Asta Nodo N [N] T [N] M [Nmm] σ [MPa] τ [MPa] σ [MPa] UC

eq

Sez_1

6 24,6 -0,1 0,0 1 0 1 0,02

1 2 24,2 0,1 0,0 1 0 1 0,02

5 -53,2 -2,3 0,0 -1 0 1 0,04

7 8 -53,3 -2,4 -349,3 -6 0 6 0,19

7 10,9 0,1 0,0 0 0 0 0,01

9 11 10,6 -0,1 0,0 0 0 0 0,01

8 -6,0 2,7 -349,3 -5 0 5 0,16

12 9 -6,2 2,6 0,0 0 0 0 0,01

Sez_2

4 -80,0 -3,0 551,9 -4 0 4 0,15

2 1 -80,4 -2,8 0,0 -1 0 1 0,03

5 -29,8 3,1 0,0 0 0 0 0,01

4 4 -30,2 3,4 551,9 -4 0 4 0,13

Sez_3

6 -48,0 -58,3 2333,8 -22 -1 22 0,72

5 5 -48,1 -58,4 0,0 -1 -1 2 0,07

6 -5,3 58,4 -2333,8 -21 1 21 0,70

6 7 -5,2 58,3 0,0 0 1 2 0,06

9 -2,6 -6,2 0,0 0 0 0 0,01

10 10 -2,6 -6,2 -247,5 -2 0 2 0,08

11 9,2 5,2 0,0 0 0 0 0,01

11 10 9,2 5,2 207,5 2 0 2 0,07

Sez_4

4 50,2 0,0 0,0 1 0 1 0,09

3 3 50,1 0,0 0,0 1 0 1 0,09

7 47,7 0,0 0,0 1 0 1 0,08

8 8 47,6 0,0 0,0 1 0 1 0,08

Tabella 4.10 – Configurazione : spostamenti

Nodo Ux [mm] Uy [mm] Rz [rad] w [mm] UC

6 0,4 -0,2 -0,0013 0,5 0,33

10 -0,3 -0,8 -0,0014 0,8 0,54

33 CONFIGURAZIONE CRITICA

5 CONFIGURAZIONE CRITICA

Si è innanzitutto definita una configurazione labile, quindi, al fine di eliminare la labilità e poter

analizzare la struttura in termini di sforzi e spostamenti, si è apportata una modifica alla struttura.

La configurazione labile considerata è quella riportata nella seguente figura in cui gli angoli di

α β

riferimento e valgono rispettivamente 90 e 45 gradi. In questa configurazione infatti, la molla

individuata dall’asta 3 risulta anch’essa verticale e quindi il CIR della struttura risulta all’infinito.

Figura 5.1 – Configurazione labile

Per eliminare la labilità e rendere la struttura staticamente determinata, si è cambiato il punto di

attacco della molla a terra come riportato nella seguente figura.

Figura 5.2 – Schema della configurazione modificata

Definita quindi la nuova struttura per la configurazione in esame, si sono eseguite le analisi

considerando le sezioni, i materiali e i carichi definiti nel capitolo 2. I risultati delle analisi sono

presentati di seguito. 34 CONFIGURAZIONE CRITICA

5.1 VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO

I grafici delle azioni interne sono riportati nelle seguenti figure.

Figura 5.3 – Azione assiale

Figura 5.4 &nda