Teoria delle reti e delle decisioni

MINIMUM SPANNING TREE

∑ →MIN W(T) = W(e) W*Te∈Et

Algoritmo ghiotto: consente di trovare un MST, è una procedura che adogni passo fa la migliore scelta locale, porta all'individuazione dell'ottimoglobale ma non è detto che si individui. In questa classe di problemi laprocedura ghiotta trova sempre la soluzione ottima.

Passo 0 = Et = si assume vuoto l'insieme degli spigoli dell'albero∅ricoprente G;

Passo 1 = si individua il meno costoso tra gli spigoli e Et, tale che, insieme∉agli spigoli già esclusi in precedenza in Et, lo spigolo e forma una foresta inun sottoinsieme di nodi G. Et = Et {e};∪

Passo 2 = se |Et| = |V| - 1 allora bisogna fermarsi, altrimenti si ritorna alpasso 1.

Algoritmo Single Linkage

Di tipo agglomerativo, si parte da un numero di clusters formati di singolielementi di V, l'algoritmo aggrega i due clusters correnti che hanno unaminima separazione e ad ogni passo il numero di clusters diminuisce di

Uno. Dato il grafo completo e pesato di G = (V,E) che rappresenta le dissimilarità tra tutte le coppie di unità statistiche si individua l'albero ricoprente di un peso minimo sia per il grafo G sia per T* = (Vt,Et). Si eliminano da T* k-1 spigoli più pesanti ottenendo k componenti connesse.

MINIMIZZAZIONE DEL COSTO ∑Min Cj Xjj∈J

MASSIMIZZAZIONE DEL COSTO ∑Max Pj Xjj∈J

Programmazione matematica: modelli e metodi che hanno lo scopo di fornire basi razionali al processo decisionale cercando di comprendere e strutturare sistemi complessi per prevedere il comportamento dei sistemi e migliorare le prestazioni.

Programmazione lineare dei grafi: modelli più vantaggiosi di quelli di programmazione lineare generale e forniscono un'interpretazione grafica al problema, il quale può essere risolto con algoritmi specifici più efficienti di quelli per la programmazione lineare.

Flusso booleano: tutti gli archi i,j della rete delle variabili

Le decisionali possono essere interpretate come la quantità di flusso che si intende invariare dal vertice i al vertice j. Nei problemi economici e finanziari i nodi possono rappresentare periodi temporali e siti, in cui le variabili Xij possono essere interpretate come rappresentazioni di flusso tra un nodo e l'altro.

Si suppone che nei nodi ci siano forniture o cessioni di flusso indicate con:

• bi < 0: fornitura o aumento di flusso
• bi > 0: cessione o diminuzione di flusso
• bi = 0: se il nodo i è il nodo di trasferimento

Se si considera un grafo orientato è pesato, i pesi rappresentano le quantità dei beni che entrano o escono da quei nodi.

• i→b: bi > 0 quantità del bene che esce dalla rete al nodo i, b = domanda del nodo i
• i→b: bi < 0 quantità del bene che entra dalla rete al nodo i, b = offerta del nodo i
• i→b: bi = 0 il nodo i è detto nodo di trasferimento

Cij ≥ 0: costo unitario di attraversamento

dell'arco i,j; C_ij ≤ 0 capacità superiore dell'arco i,j; C_ij = 0 capacità inferiore dell'arco i,j. Nei problemi di flusso la domanda globale è uguale all'offerta globale, quindi D e O sono l'insieme dei nodi di domanda e di offerta D = { i ∈ V | b_i > 0 }; O = { i ∈ V | b_i < 0 } ∈ ∈ ∑ ∑ b_i = - b_ii ∈ D i ∈ O Flusso: quantità di beni che transitano attraverso un arco. No di che consentono di arrivare ad i con un solo arco: P(i) = { j ∈ V | ( j , i ) ∈ A } nodi predecessori di i ∈ ∈ S(i) = { j ∈ V | ( i , j ) ∈ A } nodi successori di i ∈ ∈ Nei problemi di flusso l'obiettivo è quello di instradare il flusso X_ij su tutti gli archi i,j per soddisfare tutte le domande dei nodi puzzo al minor costo possibile rispettando i vincoli di conservazione e capacità ∑ min C_ij X_ij (I,j)∈A ASSET LIABILITY MANAGEMENT → Le variabili logiche assumono solo i valori di vero o falso: X_j = 1 vero; X_jessere svolta in modo sequenziale, cioè una dopo l'altra, senza sovrapposizioni o interruzioni. Inoltre, ogni attività ha una durata specifica e può dipendere da altre attività precedenti. Il metodo del Critical Path permette di identificare il percorso critico del progetto, cioè la sequenza di attività che determina la durata complessiva del progetto. Questo percorso critico rappresenta il limite superiore della durata del progetto e qualsiasi ritardo in una delle attività del percorso critico comporterà un ritardo complessivo del progetto. Le attività non appartenenti al percorso critico sono definite attività non critiche e possono subire ritardi senza influenzare la durata complessiva del progetto. Questo permette di avere una certa flessibilità nella pianificazione e gestione del progetto. Il metodo del Critical Path è particolarmente utile per identificare le attività che richiedono particolare attenzione e risorse, in modo da poter concentrare gli sforzi su di esse per evitare ritardi o ridurre il ritardo complessivo del progetto. Inoltre, il metodo del Critical Path permette di ottimizzare la pianificazione del progetto, cercando di minimizzare il costo totale del progetto e ottenere una durata ottimale. In conclusione, il metodo del Critical Path è uno strumento fondamentale per la pianificazione e gestione di progetti complessi, permettendo di identificare le attività critiche, individuare possibili ritardi e ottimizzare la pianificazione per ottenere il miglior risultato possibile.

essere sempre terminata prima che la successiva inizi el'evento finale dell'attività precedente coincide con l'evento iniziale di quella successiva.

Regole:

• Ogni nodo deve avere una numerazione;
• Tutti i nodi sono numerati in modo tale che se esiste un arco (i,i) allora i<j
• Ci devono essere solo un nodo di inizio e fine progetto;
• Due nodi non possono essere connessi da più di un arco.

Casi particolari: a volte è necessario introdurre attività fittizie per determinare la relazione di precedenza tra due attività A, B rispetto a un'attività C, senza che questa implichi la precedenza tra A e B.

CALCOLO DEI TEMPI DELLE ATTIVITÀ

Tempo al più presto:

Tm(k1) + tk1i{Tm(i) = MAX Tm(k2) + tk2i Tm(1) = 0Tm(kn) + tkni

Tempo massimo ammissibile: tempo entro il quale si può iniziare o finire un'attività. Un ritardo oltre questo tempo può provocare un analogo ritardo alla fine del progetto.

Ta(j1) +

tij1{Ta(i) = MIN Ta(j2) + tij2 Ta(n) = Tm(n)Ta(jn) + tijn

Cammino critico: durata più lunga dell'attività sul progetto, le quali nonammettono scorrimento o fluttuazioni di tempo; per calcolare la fluttuazione(se un'attività può essere prolungata) la formula è:→TF(i,j) = Ta(j) - Tm(i) - tij un’attività A=(i,j) è detta critica se TF(i,j)=0

Metodo Pert: per determinare la data esatta di fine di un progetto stabilendoil tempo più probabile, si calcolano tre durate: più probabile (m), pessimistica(b), ottimistica (a).

Durata media DE= (a+4m+b)/6 o con il calcolo della varianza V=(b-a)2/36

Durata totale: metodo Pert:se si utilizza il si sommano tutte le duratestimate delle attività critiche; varianza:se si utilizza la somma delle varianze delle attivitàcritiche.

Il cammino critico può essere formulato anche come problema diPianificazione Lineare:Xj: tempo al quale si incontra il nodo j

durante il progetto;

F: noto che rappresenta la fine del progetto.

min Xf - X1Xj - Xi ≥ t (i,j) ∇(i,j)∈AXj qualsiasi

Svolgimento dei problemi utilizzando il programma LINDO

PROBLEMA 1:

Una fabbrica produce due tipologie di prodotto, quello di tipo standard e quello di tipo speciale, utilizzando tre diverse macchine le cui produzioni orarie sono:

MACCHINA 1 3 prodotti standard e 1 speciale

MACCHINA 2 2 prodotti standard e 2 speciali

MACCHINA 3 2 prodotti standard e 1 speciale

Il mercato richiede almeno 60 prodotti standard e 40 di tipo speciale al giorno. I costi orari delle tre macchine sono: 90€ per la macchina 1, 80€ per la macchina 2 e 60€ per la macchina 3.

Scrivere un modello di Programmazione Lineare per determinare la produzione giornaliera di costo minimo.

Prodotto all'ora: P. STANDARD P. SPECIALE

MACCHINA 1 3 1

MACCHINA 2 2 2

MACCHINA 3 2 1

Decidere le variabili per ciascuna macchina: X1; X2; X3

Costo Totale: 90x1 + 80x2 + 60x3 funzione

lineareVincoli per i prodotti creati in giornata

P. STANDARD= 3x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 60

P. SPECIALE= x1 + 2x2 + x3 ≥ 40

Funzione Obiettivo min 90x1 + 80x2 + 60x3

3x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 60

x1 + 2x2 + x3 ≥ 40

Vincoli di non-negatività x1 + x2 + x3 ≥ 0

Da LINDO: x1= 0; x2 = 10; x3 = 20.

PROBLEMA 2:

Bisogna organizzare un sevizio di colazione all’interno di una struttura alberghiera, vengono individuate le attività e i tempi in minuti di esecuzione di attività, e queste informazioni sono suddivise in:

K ATTIVITA’ TEMPI PRECEDENZE

1 Apparecchiare 10 /

2 Bollire l’acqua 5 /

3 Preparate il thè 3 2

4 Mettere i cereali sui tavoli 4 1

5 Mettere la frutta sui tavoli 2 1

6 Mettere il latte per i cereali 4 4

7 Preparare i toast 5 /

8 Mettere il burro per i toast 2 7

9 Aprire la sala 5 3,5,6,8

4,1 4 6,4

1,10 2 9,5

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6,4 1 2,5

7,6 1 3

(1.2) 02) (1.3) 73) (1.5) 84) (2.4) 05) (2.6) 36) (3.6) 77) (4.6) 08) (5.6) 89) (6.7) 01) 0 = 10 - 0 - 102) 7 = 12 - 0 - 53) 8 = 13 - 0 - 54) 0 = 11 - 10 - 15) 3 = 15 - 10 - 26) 7 = 15 - 5 - 37) 0 = 15 - 11 - 48) 8 = 15 - 5 - 2 { }9) 0 = 20 - 15 - 5 Cammino= (1,2) (2,4) (4,6) ( 6,7)Modello matematico generale: min xF - x1xj - xi ≥ t (i,j) ∇ (i,j) A∈xj qualsiasiFunzione obiettivo: Min x7 - x1Vincoli: x2 - x1 ≥ 10; x6 - x2 ≥ 2; x7 - x6 ≥ 5; x3 - x1 ≥5; x6 - x3 ≥ 3;x5 - x1 ≥ 5; x6 - x4 ≥ 4; x4 - x2 ≥ 1;x6 - x5 ≥ 2Dove i = 1,2,3,4,5,6,7Vincolo di non-negatività: xi ≥ 0Da LINDO: x1 = 0; x2 = 10; x3 = 12; x4 = 11; x5 = 5; x6 = 15; x7 = 20.

PROBLEMA 3:Un’azienda produce macchine industriali e dispone di 4 magazzini centrali e6 punti vendita. Questi ultimi devono essere riforniti con 22 macchinaridisponibili nei magazzini secondo le seguenti quantità:

MAGAZZINO DISPONIBILITA’

1 5

2 6

3 2

4 9

Nei singoli punti di vendita le

Le richieste sono: PUNTO DI VENDITA RICHIESTA1 42 43 64 25 46 2.

Il rifornimento deve tenere conto dei costi unitari di spedizione: PUNTI DI VENDITA 1 2 3 4 5 6.

MAGAZZINI 1 4 6 4 3 4 5 2 3 2 3 3 2 4 3 3 2 4 5 1 5.