Teoria del corso di meccanica razionale

Corso di meccanica razionale

6 cfu

LEZIONE 1

lunedì 25 febbraio 2019

Libro di testo "Meccanica razionale per l'ingegneria" Biscarini/Luperi/Vianello editore "Monduzzi" (IV edizione)

Cercate il fra pdf della 1^a edizione e su zep ci sono i pdf delle parti e spiegate male nel libro della 1^a ediz.

Per esercizi: Gabriele Respl sin "es. di meccanica razionale" L_-> noi: interessa la parte su dinamica

Indicazione operativa: Ricaverà il caso di talone e anche decio fare riferimento solo a questo per la tesi

MODALITÀ ESAME!

• 2 esercizi in 2 ore
• 1 dom di teoria in 30 min

-> per preparazioni cercare file su zep coi dom. di teoria (zo cerca tra cui sceglierà per l'esame)

LEZIONI: _-> (tendenzialmente) LUNEDÌ: 14:15 _17:00 GIOVEDÌ: 8:30 _10:00/15

NO RIPOSI

Quantità scalare

^{a ⋅ r̅} _a² + b ^n̅a _a² da (possono fare questa dimostrazione perché a non interessa la direzione, non il valore)

r̅ = da̅ + b ^n̅a _a² con d ∈ ℝ

Cinematica del punto materiale

t ∈ [t₁, t₂] il punto si muove in un certo intervallo P(t) descrive la posizione del punto in funzione del tempo v̅ = ^dP̅ deriva temporale dei vett. posizione dt a̅ = ^d²P̅ dt² P̅ - O vettore posizione (P̅ - O) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ḱ dipendono da t v̅ = ^dP̅ = ẋ î + ẏ ĵ + ż ḱ (con moto nullo) dt x, y, z a̅ = ^d²P̅ = ẍ î + ÿ ĵ + z̈ ḱ dt² _{|dP̅| = |v̅| dt} = dS misura arco infinitesimo

Per il moto circolare la convenzione per rotazioni positive è quella di rotazioni antiorarie.

antiorario positivoorario negativo

Passaggio alle coord. polari

x = r cos θy = r sen θ

cos² θ + sen² θ = 1

x² + y² = r²

r = ^{√(x2 + y2)}

Per tan θ x = r cos θy = r sen θ

^y/_x = ^{r sen θ}/_{r cos θ} = tan θ

che vale comunque

trovare un vettore che ha la stessa direzione di P - O, e sia alle stesse

Sono due vettori che dipendonodal tempo, (Perché P - O si muovee loro con esso)

Scrivere i versori ^n̂ e ^θ̂ rispetto ai versori del serr. fisso.

^n̂ = ——— ^n̂ + ——— ^î + ——— ^ĵ

= [^n̂·^î] ^î + [^n̂·^ĵ] ^ĵ

def. geom. pr. scalare^n̂·^î = cos θ · 1 . 1^n̂·^ĵ = cos(^π/₂ - θ) = sen θ

Da ciò distinguiamo:

VINCOLI BILATERI (vincoli descritti da equazioni) [asta ideale]

VINCOLI UNILATERI (vincoli descritti da disequazioni) [palo ideale]

Allora CHE COSA È IL CORPO RIGIDO? È uno sistema di punti in cui ciascuna coppia di punti mantiene a distanza costante.

detto VINCOLO DI RIGIDITÀ INTERNO

Per il corpo rigido, il numero di aste risulta:

\( \frac{1}{2} N (N-1) \)

(ma che non è il numero di vincoli indipendenti)

es.: con 3 punti [detti "base"]

\( P_1 \), \( P_2 \), \( P_3 \)

\( \Rightarrow \quad \frac{1}{2} N (N-1) = 3 \) aste Totali

Ma tale espressione dà traccia del numero corretto di aste solo se \( N=3 \)!

Se aggiungo un 4°/5° punto

+ \( P_R \)

dovrei utilizzare anche l'asta che congiunge \( P_4 \) e \( P_v \) ma là permette euristica a dire che l'asta tra \( P_R \) e \( P_4 \) è superflua perché la loro dist è auto determinato.

Nella geom. euclidea infatti, la distanza di un punto da un'altra si trova facendo dist da tal punto da 3 punti non alinh.

Dunque, fissata la distanza da far e \( P_R \) da 3 punti base (\( P_1 \), \( P_2 \), \( P_3 \)) la dist \( P_R \) e \( P_4 \) è determinato.

_ω ∧ _ê₁ = * (^d_ê₃/_dt ^ê₃) ^ê₃ + (^d_ê₁/_dt . ^ê₂) ^ê₂

Sfrutto il fatto che ||^ê|| = 1 perché vettore

^ê∙^ê = 1

derivo rispetto al tempo

(^d_ê/^dt) ^ê₁ = 0

_ω ∧ _ê₁ = (^d_ê₁/_dt) ^ê₁ + (^d_ê₁/_dt_^ê₁) ^ê₁ +

Il talo è vero

0, ma sparigio

o troppo nulla

* Lo riscrivo sfruttando il fatto che

(^ê₁ e ^ê₃ sono 1)

^ê₁ ∙ ^ê₃ = 0

(^d_ê₁ . ^ê₃ + ^ê₁ ^d_ê₃)/_dt = 0 = - ^d_ê₁ . ^ê₃ - ^ê₁ ^d_ê₃/_dt

_ω ∧ _ê₁ = (^d_ê₁/_dt) ^ê₁ + (^d_ê₁/-^ê₂) ^ê₂ + (^d_ê₁ . ^ê₃) ^ê₃

Tale scrittura è equivalente a scrivere la

derivata rispetto al tempo di _ê?

[^d_ê₁/_dt = _ω∧_ê₁

...ritornando un attimo alla definizione di

\[\vec{\omega} = \left( \frac{d\vec{e}_2}{dt} \cdot \vec{e}_3 \right) \vec{e}_1 + \left( \frac{d\vec{e}_3}{dt} \cdot \vec{e}_1 \right) \vec{e}_2 + \left( \frac{d\vec{e}_1}{dt} \cdot \vec{e}_2 \right) \vec{e}_3\]

\[\vec{V}_P = \vec{V}_Q + \vec{\omega} \wedge \overrightarrow{PQ}\]

Riduciamo il discorso al

CASO PIANO

θ angolo di rotazione del corpo rigidol'angolo formato tra una direzione fissa (\(\vec{j}\)) e il vettore marcato solidale al corpo (\(\vec{e}_j\))

Data tale definizione, la scelta di θ non è univoca - stili θ soddisfano tale definizione, come:

\[\hat{e}_1 = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}\]

\[\hat{e}_2 = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}\]

1. Sostituiamo e mettiamo nella definizione di (\(\hat{e}_3\))

\[\hat{K} \equiv \hat{e}_3 \] - vettore uscente dal piano, non varia perché la rotazione avviene nel piano.

\[\vec{\omega} := ?\]

\[\frac{d\hat{e}_1}{dt} = - \dot{\theta} \sin \theta \hat{i} + \cos \theta \dot{\theta} \hat{j} \]

\[\frac{d\hat{e}_2}{dt} = -\cos \theta \dot{\theta} \hat{i} + (-\sin \theta) \dot{\theta} \hat{j}\]

2. \[\vec{\omega}\text{ NEL PIANO} = \left( \frac{d\vec{e}_2}{dt} \cdot \vec{e}_3 \right) \vec{e}_1 + \left( \frac{d\vec{e}_3}{dt} \cdot \vec{e}_1 \right) \vec{e}_2 + \left( \frac{d\vec{e}_1}{dt} \cdot \vec{e}_2 \right) \vec{e}_3\]

\(\vec{e}_3\) costante nel tempo

\[\vec{\omega} \text{ NEL PIANO} := \left[ \frac{d\hat{e}_1}{dt} + \hat{e}_2 \right] \hat{K}\]

\(\omega\) SEMPRE ORTOG. AL PIANO

Possiamo ora formulare il seguente TEOREMA

Un A.d.M ruototraslatorio si riduce ad A.d.M rotatorio se e solo se I=O (Invariante cinematico nullo)

In questo caso, la posizione dei punti C (v(C)=0) che costituiscono l'asse di ist. rotazione è data da (C-Q) con

(C-Q)= w∧v(Q) / w² + 2 w^⨁

* con Q-v(Q)=0 se euro a velocità non nulla

(C-Q) = - 2 w⁎

Ora ci mettiamo nel caso più generale

v(C) = v(Q) + w∧(C-Q) con I≠0

Sono che c e Q appartengono ad una retta così,

(C-Q) = – w∧v(Q) / w² + 2 w^⨁

1ª parte: E richiedo che proprio questi punti abbiano

v(C) = v(Q) + w∧( w∧v(Q) / w² + 2 w^⨁)

Proprietà di linearità col prod. vettore

w∧ αw=0