Teoria dei sistemi/FSD - teoria

Fondamenti dinamici di sistemi

Un sistema fisico è un oggetto qualunque che entra in un processo per noi. Questo fase tale del modellato studiato sistema precede essere per sia conoscenza una dominio dopodichè dell'oggetto scollegato può un si procedere.

Dire dinamico significa che studio esilio sistema tale sistema è stato nel tempo. Avendo tali premesse possiamo dare la definizione formale di sistema.

Def. Un sistema astratto orientato è un oggetto. ① l'oggetto fisica significa che qualsiasi modello castrato oggetto immateriale è noi oggetto' ztiaruoper una cosa, fisica dalla tramite andiamo asettico e caratterizza el. c o che modo natura sia in sua equazioni e, descrivibili abilitatori matematicamente.

I modelli composti in generale sono spesso equazioni differenziali, dunque per alleggerire la notazione derivarono al tempo rispetto la riportando la notazione seguente: IE37 è ii. -; . .; .

Sistemi dinamici e modelli

Spesso sistemi dinamici differenti danno loro due anche tra molto sistemi luogo alle stesse caratteristiche del sistema sedicenne equazioni, un esempio: tutt G-' È Rq < electrice sistema -1= + È e Lassù L~ __ , _ -_ bis Les Sistema f-mò meccanico -= µ "{n S-⑤ ne V/ f fle Se mettessimo corrispondenza siete 9 < varie → < e → un grandezze, le medesime equazioni Otomo.

Dunque abbiamo definendo ampio modello le descrisse situazioni che un ai significato sistemi delle classi di quali se solo cambiato così. Significa che chiarifichiamo il termine orientato e che sposta ora il nostro interesse sui modelli. Certo abbiamo un orientamento.

Difatti il sistema in equazioni con parametri e variabili annesse un, ingressi e uscite Y: un sistema orientato vale il principio di causalità, ovvero cui le uscite sono determinate dagli ingressi e questi ultimi anticipano non causa Soriano.

Come facciamo a distinguere tra variabili di uscita e variabili a ingresso? Possiamo ragionare usando la teoria fisica del sistema oppure, conoscendo modellistica, optiamo per la seconda strada.

Ingresso, uscita e stato

Per fare vedere con quali modelli avremo, quali cioè sono:

• Ingresso IU uscirà: - (' " )' "f- ( "yln ' ' Come n'n' ''m m di- ) descrivere y Oy questo sistema si può in un genere. . ., . ,. ., , . .,
• Ingresso uscita ISU stato: -- ' lo") ylt "if / ) zlt -X.lt f) ult descrive (✗)) Y questa ✗ )= t - espressione = , ,.. ., del sistema stato.

Per fare ISU stuntman bisogna passare per un sistema:

• Scrivere le equazioni del sistema.
• Scegliere le variabili di ingresso e di uscita.
• Per fare ragionare osservando possiamo dire che le variabili sono derivate, numero un di causalità ricordando ulteriore uscire rispetto le variabili scelte e scegliere numero di assegnazione e loro variabili di stato.
• Scrittura delle equazioni dinamiche del sistema.

Per fare questo ricordiamo che avremo bisogno di un sistema differenziale di grado n, Raffinando al metodo di Cauchy serve ancora problema scaricabili. Tutte le derivate di stato sono di quanto salire. Il numero poi sono sociali variabili. Regola di eccezione delle variabili di ingresso al sistema landry.

Diff di 1° grado nelle sociali star. li n g - . . ? Come classifichiamo oltre un sistema ISU dinamico alla sua natura?

Forma generale del sistema

Sia ✗ ∈ C'R delle variabili di sentore c- c.= stato [ " |' "AL del rettore a- : E ingressi - .un (/Fg "; Pr settore delle uscite y = e.

Possiamo definire ora due funzioni vettoriali. ÉTÉ.it?n.t) f(x,u,t)-ifzlx.u.t- (f. / "IRE> fu ( ) int ✗ |( " "& "" """ glxiu.tl ± : c.pt( init ) g ✗p.

Allora la campata può essere scritta in questa maniera: /[ & %)( "t ""= ← "→ " "" "✗ " "°" ""°" " "" "( )t Y g ✗ su equazioni = ← algebriche.

Potrebbe anche capitare che in generale facciano forma lineare, siano meno arenain ✗ e g forma questa: =L (I{ .lt/x,--..-cl,m(t)xntb..Uit-i--b.mltlUmf)× U = a,, , ,;=p gang gang yn.muanna ,in .my , ,, ,✗, un, ,+, ,= n. . .. .. ,,.lt/xitCinltIXntd, (t)ui-. .-d,nLt)um:(yp=gp,,u, .,=gp,.,t)x.tl(Y Cg.-_ = ,,, agnaay ,,ygnam ,, un,, ,, , . . .. .. ,, ,

Dunque un sistema sarà lineare dunque e posso raggruppare i coefficienti in matrici delle -=p( << (|°° "° "" " "" """" "" " " "" " """ .ca (±A .:: Pon" #! e:an ann.. . .. CpmCp -_.,[ b. )m- .-" " "" "B #= €: [ olim |_ . -D= " -bumpm -. #. . m✗i.. edp dpm-..._,

Avendo raggruppato tali coefficienti in matrici posso scrivere il sistema nel modo seguente: B-A.i{ U✗ += DaC. +g- ✗. Un sistema lineare in questa forma lineare nelle inserio: b 2 sistema è un b. dipendente un e ×e.

La matrice A si dice matrice della dinamica. La matrice B si dice matrice degli ingressi. La matrice C si dice matrice delle uscite. La matrice D si dice matrice diretta di relazione uscita ingresso.

Può capitare anche un'altra evenienza f- ( ) directa si ×= u ovvero non è una dipendenza dal tempo gain. D= In tal caso il sistema è tempo invariante o stazionario. L'eventualità due dei sistemi lineare tempo invariante genera LTEi sistemi unione.

In tal caso la scrittura seguente: '{ i Ax Bu+--µ @ u✗= Nel caso in cui y non dipende direttamente dagli ingressi D. la dipende allora daglicaso in non cui y ingressi. ?⃝ Se # la TI quest' ultimo influenza dipendenza allora dall'ornano vai' d ingresso nee a, direttamente uscita istantaneità; quindi Soriano nella uscire è una.

Nel primo caso il sistema dicesi strettamente proprio. Nel secondo caso si dice sistema proprio. ① In natura fisica esistono sistemi lineari non a causa di questa saturazione SS. Nella realtà non esistono nemmeno sistemi tempo unitariani. Nella realtà tutti i sistemi sono strettamente propri. Dunque i sistemi a livello della realtà si approssimano ad un certo.

Circuiti elettrici

Vediamo come modellare nei domini seri.

Circuiti elettrici: T ((elementi ) e tali sistemi elementi generatori di resistori passivi M corrente tensione e attivi presenti saranno -, condensatori mediatori., usando dell' bipoli la contengono i utilizzatore passivi per.

}" ieriof R{ i[ (È )}÷• < Li supponendo Tg [✓li costante <= L < =→ =- = .{vi 3¥ (2¥ CÈ21 i i )e( costante • supponendo =(f- =( =psq → .✓ =e =ai&

Esempio rete RLC

Esempio rete RLC: Scriviamo le equazioni, 1) questo caso usiamo Kirchhoff. i-son-pf.ir in Kirchoff )} È caso usiamo È .:). ii. ietirAB I tee +=se ore --Lei _|f. = Relazioni caratteristiche. Rirva = -

Guardando il sistema potrei aspettarmi di ridurre avendo grandezza differenziate 2, il numero di equazioni a 2. Proviamo a semplificare il sistema. CIl'{ è r= +< NeLei abbiamo eliminate se 3+ già e = .<RiriIsee § Abbiamo È e variabili se 3:({ e+ < ,,, , appaiono differenziate il See mentre Li appare differenziate e non + se=, dunque è candidata ad essere un ingresso.

L'idea ora è riuscire a capire in modo del ZSU la entità del sistema di interesse e scrivere il sistema. È Lex[ f-[i. ii. E== = ×- - ,,i E-I È =L f- U=,> _[=- Abbiamo costruito la funzione sartoriale.

Ci manca scrivere l'uscita nel nostro caso e analizzare. Uscito Spd, siano ud è icJpg. e={ Lef-È "×- -_ . Questa è una ISU solida: Ìa U = -[ .| SeI. JR= = ×= ,( Y ii. ✗= =, =

Classifichiamola: il sistema è lineare riportando la linearità nell'equazione man. Il sistema è anche tempo invariante poiché i coefficienti parametrici sono costanti. Il sistema è strettamente proprio, non c'è ingresso dipendente dall'uscita pzo.

Scriviamola anche in forma matriciale: [ }% la:[ ] È matrice degli y✗ serve ingressi = mi non, poiché ho solo 1 ne. [ § /§ [ ]?}A- ) C( (di_ = ho 2 ho uscire lv. Stato [ / ( ) È il B. ) 0 sistema D= sta' proprio = ho solo un ingresso.

Allora: Bu A-*{ +✗= C-Y ×=

In generale, qualsiasi rete elettrica presenta blocchi canonici se contiene resistenza e capacità, darà luogo ad un sistema lineare mollettone. Se gli elementi costitutivi componenti dei R sono costanti, poi avrà come sempre un sistema tempo. Oss.: quando entriamo nella fase 4 ovvero scriviamo le equazioni dinamiche del sistema, tutte le dipendenze detonai f)( t forza v2 × UXz cosa presenti per non essere = , , . ,.. > / .. ,., ,. da empiono altro che non vi sia dipendenza.

Modellizzazione dei sistemi elettronici

Modellizzazione dei sistemi elettronici: è presente l'amplificatore operazionale. Introduciamo prima di tutto cos'è un amplificatore operazionale: "" Ilt morsetto negativo è detto morsetto -• -[ A. Il morsetto non entrino è detto e1- Masettof. morsetto non +a _ µ ,'

È dunque un elemento attivo alimentato. Come dice la parola effettua un'amplificazione amplificando il segnale d'ingresso di un fattore A.

Le caratteristiche di un amplificatore operazionale sono: 1061A 2-' ~po i~ pedante di un ingresso. Insomma nell'ingresso non passa corrente, possiamo considerarlo come ingresso aperto. Ovviamente il segnale dell'amplificatore operazionale deve essere in ragione dell'alimentazione.

Nel caso in cui l'ingresso lavorerò nella forma Vec della d'A opttneponda allora taglio > poiché uno irò e. Altrimenti lavora l'amplificatore come elemento lineare in regime di saturazione.

Inoltre il fattore di amplificazione dato che lavorano di norme 106 è sole in-, la lineare 10-5) deve restare nell'ingresso questa dila ordine e regime di tensione. Concludere osservazione porta che l'OPASMP ideale non ha ingresso, sì mi comporta come circuito di corto ingresso e contemporaneamente come nello stadio di ingresso, circuito aperto virtuale e circuito allo stesso tempo corto.

Esempio con amplificatore operazionale

Eseguiamo un esempio RaPENG, troviamo legame tra oR ed e: IRaerei, ef . 9s.+1-I = 1E uscita generatore. Questo nodo usato all'ideale poiché si comportano i* mai come la tensione cui è corrente indefinita.

Agir ir ! != -1, !!,emir R.ire =. ,Ja -15 o= .., thè Rzipza- e=- - ÉTÉ )i-r-el.ir}R ,È più _gp • rete È q E- -,µ± = !

Quella differenziale del I° ordine è scritta per integrarla, coeff. costanti, un'equazione a la forma nota usiamo (/"" [" ""/ ) elY coefficiente f) e- Altgite Edt) do dose 'c. / di 0)+ == e. -Alti dunque ora abbiamo 0= ,) [) laylt te chiamando dt ( to tensione 4=5C ) ho iniziale istante ad + e= - ue, t/te eltldt) sito v. -- .toil

Quindi il circuito di sopra è un integratore.

La teoria del sistema Jolanda ISU dei sistemi posso usare e scrivere l'equazione. Le variabili sono dunque derivata ed è derivata solto T è zero e o una sono ee, ,di J è variabile una d e variabile uscire e una ingresso, I✗ o: O evi.= , ,{ " feu÷ --Y X( -- :*'iefi è a È ← @ E è = -=- • 9s¥ = ! In