Teoria dei sistemi
Introduzione
Definizione sistema: condizioni di funzionamento.
Sistemi algebrici e dinamici: primi esempi
Sistema dinamico: Sistema integratore: entra una certa variabile e ne esce l’integrale.
Sistema lineare: ammette la sovrapposizione degli effetti.
Diversi tipi di sistemi dinamici e ultime considerazioni generali
Sistemi dinamici lineari a tempo continuo e stazionari
A tempo continuo: le grandezze assumono valori per un qualunque istante di tempo considerato.
Stazionario: il funzionamento del sistema non dipende dall’istante di tempo in cui si comincia a studiarlo (coefficienti costanti nell’equazione).
Sistemi a tempo discreto
Il tempo procede a quanti, a quantità finite.
Sistemi a eventi discreti e sistema causale
Sistema causale: c(t) non dipende da nulla relativo a tempi > t.
Capitolo 1: Premesse matematiche
Funzioni generalizzate
- Gradino unitario
- Impulso
- Derivata dell’impulso
- Esempio
Trasformata di Laplace
Dà la possibilità di rendere i problemi differenziali problemi algebrici.
Ascissa di convergenza:
Proprietà della TdL
- TdL funzione traslata nel tempo
- TdL di una derivata: (integrazione per parti)
- TdL di un integrale: (integrazione per parti)
- Altre TdL: TdL funzione sinusoidale seno e coseno
➔ Antitrasformata
Note
- Una traslazione in campo complesso è legata ad un termine e f(t) in campo reale.
- L’esponenziale in campo complesso è legato alla presenza di una traslazione in campo reale.
Metodo di espansione in fratti semplici
Metodo generale di antitrasformazione e antitrasformata di una generica F(s):
NOTA:
Teoremi e radici
- Teorema del valore iniziale
- Teorema del valore finale
- Radici nulle
- Radici immaginarie
- Radici complesse coniugate
In conclusione:
Segno delle radici di un polinomio
Metodo del calcolo dei residui
Risoluzione di equazioni differenziali
Risoluzione con trasformata di Laplace … (Dimostrazione) …
Capitolo 2: Sistemi lineari a tempo continuo
La funzione di trasferimento
Sistemi del primo ordine
Sistemi del secondo ordine
Risposta in frequenza
Caso 1
- Funzione di trasferimento:
- Segnale in ingresso: condizioni iniziali nulle, radici di D(s) a parte reale negativa. p appartenente ai complessi.
(… Dimostrazione …)
Caso 2
(… Dettagli …)
Caso 3
Se T(s) presentasse un solo polo in zero:
Due osservazioni
- (… Dimostrazione …)
- Sistema “oscillante” con segnale in ingresso oscillante: (… Dimostrazione …)
Prima si lavora con T(s) e U(s) dati, poi si la…
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