Teoria dei segnali parte 1: Generalità e sviluppo in serie di Fourier

Appunti di teoria dei segnali

Parte I: Generalità e sviluppo in serie di Fourier

Pedone Fabio – Politecnico di Bari

Segnali: generalità

Un segnale è una qualunque grandezza fisica variabile cui è associata un’informazione. Generalmente è una funzione della variabile reale tempo t ∈ R; ma può anche essere funzione di più variabili. Ad esempio, l’immagine a colori su un display a canali RGB è data per sovrapposizione di tre segnali cui sono associati i tre colori fondamentali red, green, blue. Considerando il display come parte di un piano di coordinate x₁, x₂, definisco la funzione o segnale di due variabili a valori vettoriali:

Tendenzialmente i segnali si introducono come funzioni monodimensionali di una variabile del tipo X(t) : R → R; trattiamo quindi segnali temporali.

Tipi di segnali

In base alla natura del segnale sull’asse dei tempi si distinguono:

• Segnali a tempo continuo: segnali definiti in un dominio reale e continuo del tempo;
• Segnali a tempo discreto: il dominio del segnale ha cardinalità nel campo discreto dei numeri interi. Vengono anche per questo detti successioni o sequenze.

Sulla base dei valori assunti dal segnale (codominio) si distinguono:

• Segnali ad ampiezza continua: che assume con continuità tutti i valori di un intervallo in R;
• Segnali ad ampiezza discreta: aventi come codominio un insieme numerabile, anche illimitato.

Segnali a tempo continuo ad ampiezza continua sono segnali analogici. Le sequenze a valori discreti sono segnali digitali usati nei calcolatori elettronici. Anche le sequenze a valori reali sono importanti, specialmente nei DSP (Digital Signal Processing – elaborazione numerica dei segnali).

Un’importante classificazione dei segnali è la periodicità. Un segnale analogico è periodico se esiste T ∈ R tale che:

x(t+nT) = x(t), n ∈ Z;

se non esiste T che soddisfa la condizione, il segnale è aperiodico. Quando si lavora con segnali analogici univocamente determinabili, non appena nota la variabile t, per mezzo di grafici, espressioni analitiche, o apparecchi di lettura, il segnale è detto deterministico o determinato.

Quando invece non si ha la possibilità di avere chiara interpretazione a priori dei valori di un segnale ma solo la conoscenza generica di alcune proprietà di massima, si parla di segnale aleatorio o stocastico o casuale. Un esempio è nelle tensioni di disturbo (rumori) nei dispositivi elettronici attivi e passivi, quasi sempre di natura quantistica.

Proprietà dei segnali determinati

Lungo un segnale di qualunque tipo viaggia energia. L’energia associata ad un segnale x(t) è definita:

x(t) si dice che è a energia finita o segnale di energia se E < ∞. Altrimenti (E → ∞) non è un segnale di energia. Per tutti i segnali fisici l’integrale è convergente e sono quindi portatori di energia finita. Molti segnali teorici però usati efficacemente per approssimare casi reali non sono segnali di energia. Se consideri...