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T
sua energia mediata nel tempo T:
Da cui si può estendere il concetto al segnale x(t) definendo la sua potenza media come:
Un segnale si di a potenza finita o di potenza se P < ∞ altrimen non è di potenza. Intuitivamente si
x
osserva che se:
E < ∞ → P = 0;
x x
P < ∞ → E → ∞;
x x
Esempio: Calcolare la potenza del segnale v(t)=v , per ogni t ϵ R.
0
Talvolta si usa l’espressione del valore efficace o RMS di un segnale di potenza dato da:
Corrisponde al segnale costante che nel tempo ha lo stesso contenuto in potenza. Si dice invece valor
medio temporale di un segnale il suo integrale medio in T:
Corrisponde alla componente continua del segnale o valore attorno al quale il segnale evolve.
Esempio: trovare l’energia del segnale canonico indicato.
Esempio: trovare la x , E , P del segnale dato.
m x x
Esempio: trovare la potenza dell’armonica elementare indicata.
Convoluzione tra segnali
Dati due segnali analogici x (t), x (t) si definisce la loro convoluzione come:
1 2
Quest’operazione consente di avere un terzo segnale x(t).
Esempio: si consideri il segnale canonico impulso rettangolare così definito
È un rettangolo di altezza A e base T centrato in t=0. Considero due impulsi rettangolari x (t), x (t) dati da:
1 2
Considero la convoluzione x(t) in t=0.
t=0;
per la parità dell’impulso rettangolare x (t). Per t=0 l’impulso x comprende tutto l’impulso x per cui
2 2 1
l’integrale tra –(T /2) e (T /2) risulta: x(0) = A A T . In tutti i punti esterni l’integrale è evidentemente nullo.
1 1 1 2 1
Per altri valori di t l’impulso x non solo è ribaltato simmetricamente rispetto all’asse y ma viene anche
2
traslato di un certo valore da cui dipende anche l’area del trapezoide del segnale risultante.
t=T /4;
1
Si ha sempre x sotteso interamente da x per cui ancora x(T /4) = A A T . Intuitivamente x(t) ha valore
1 2 1 1 2 1
costante finchè x non è traslato fino al margine sinistro di x traslato di una quantità pari a (T -T )/2.
2 1 2 1
Superato tale punto l’area sottesa da x su x diminuisce linearmente fino a zero quando la situazione
2 1
grafica è:
I risultati possono estendersi anche a traslazioni nel senso opposto ottenendo gli stessi risultati per la
simmetria dei segnali convoluti. La convoluzione x(t) completa è qui rappresentata:
Segnali periodici: serie di Fourier
Per gran parte dei sistemi che lavorano in frequenza la loro linearità consente di consente di esprimere la
risposta del sistema a ingressi in frequenza come sovrapposizione di un certo numero di armoniche
elementari. Un esempio lo si ha nelle reti elettriche a regime alternato in cui a più ingressi vanno correlate
più uscite in dipendenza univoca per mezzo della sovrapposizione degli effetti ottenendo una combinazione
lineare di diverse armoniche a diverse ampiezze e frequenze. Un segnale periodico è un segnale per cui:
x(t)=x(t+nT), n ϵ N ; T è il periodo legato alla frequenza di ripetizione f=1/T . Sappiamo che è un segnaòe di
potenza per cui ha energia infinita. La periodicità consente di porre la potenza nella forma:
2
In quanto l’integrale medio di |x(t)| resta invariato, compiuto ogni periodo. Lo stesso vale per il valor
medio:
Per tutti i segnali periodici, ma non esprimibili con una sola armonica elementare, esiste la possibilità di
esprimere il segnale come somma di armoniche di ampiezza, frequenza e fase assegnate. Lo studio di questi
segnali si effettua con l’analisi di Fourier. Sapendo tramite Eulero che un’esponenziale complesso equivale
a:
dato un segnale periodico x(t) posso esprimerlo come somma di infiniti esponenziali complessi con
coefficienti complessi come:
detto sviluppo in serie di Fourier in forma complessa. Dalla relazione f =nf =n/T si capisce che tutte le
n 0 0
armoniche sono a frequenza multiple intere di una frequenza fondamentale f =1/T . Si può dimostrare che
0 0
il coefficiente complesso X è determinabile da x(t) come:
n
DIMOSTRAZIONE:
Dato che:
solo nel caso m-n=0 o m=n ci si riconduce al limite notevole:
Quindi:
Ricaviamo ora una forma alternativa di serie di Fourier:
Sappiamo che il prodotto tra una funzione pari e un’altra funzione pari è sempre una funzione pari e
l’integrale simmetrico di una funzione pari è evidentemente diverso da 0. Se moltiplichiamo una funzione
dispari per un’altra dispari il risultato è ancora una funzione pari e l’integrale simmetrico è non nullo.
Mentre il prodotto tra una funzione pari e un’altra dispari da una funzione dispari che annulla qualunque
integrale simmetrico. In definitiva:
Le condizioni sotto le quali un segnale periodico è suscettibile di sviluppo in serie di Fourier costituiscono il
criterio di Dirichlet: un segnale periodico x(t) è sviluppabile in serie di Fourier se
x(t) è assolutamente integrabile in T (periodo);
x(t) è continua o ha un numero finito di discontinuità di prima specie in T;
x(t) è derivabile nel tempo escluso al più in un numero finito di punti in cui esistono e sono definite
le derivate destre e sinistre.
L’espressione assolutamente integrabile in T equivale a dire che:
Ricaviamo la forma trigonometrica di Fourier:
Calcolati separatamente notiamo che:
Ed essendo:
per la parità del coseno, ne deriva che:
Mentre per il termine:
Il generico Im[X ] risulta:
n
Per la disparità del seno. In conclusione:
Per i due termini immaginari:
Per le stesse proprietà di parità e disparità di cos e sin rispettivamente:
Ci si riduce alla forma trigonometrica della serie di Fourier di x(t):
Fourier dunque esprime la possibilità di ricondurre un segnale periodico come sovrapposizione di
infinite armoniche elementari con ampiezza e frequenza differente. Le frequenza sono tutte multipli
interi della f fondamentale. Mentre per le ampiezze, condizione necessaria affinché la serie converga
0
al segnale x(t), è che |X |→0 per n→∞, ovvero è necessario che le ampiezze si assottiglino sempre più
n
nell’intorno della componente continua R del segnale. È chiaro che nota la sequenza dei coefficienti X
0 n
di Fourier è nota anche la serie del segnale x(t). spesse volte è utile anche rappresentare tali
coefficienti, tendenzialmente complessi, per mezzo di due rappresentazioni grafiche ovvero lo spettro
di ampiezza e lo spettro delle fasi di X per ogni n in funzione della frequenza f =n/T.
n n
Esempio
Si consideri il segnale treno di impulsi rettangolari: