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T

sua energia mediata nel tempo T:

Da cui si può estendere il concetto al segnale x(t) definendo la sua potenza media come:

Un segnale si di a potenza finita o di potenza se P < ∞ altrimen non è di potenza. Intuitivamente si

x

osserva che se:

E < ∞ → P = 0;

 x x

P < ∞ → E → ∞;

 x x

Esempio: Calcolare la potenza del segnale v(t)=v , per ogni t ϵ R.

0

Talvolta si usa l’espressione del valore efficace o RMS di un segnale di potenza dato da:

Corrisponde al segnale costante che nel tempo ha lo stesso contenuto in potenza. Si dice invece valor

medio temporale di un segnale il suo integrale medio in T:

Corrisponde alla componente continua del segnale o valore attorno al quale il segnale evolve.

Esempio: trovare l’energia del segnale canonico indicato.

Esempio: trovare la x , E , P del segnale dato.

m x x

Esempio: trovare la potenza dell’armonica elementare indicata.

Convoluzione tra segnali

Dati due segnali analogici x (t), x (t) si definisce la loro convoluzione come:

1 2

Quest’operazione consente di avere un terzo segnale x(t).

Esempio: si consideri il segnale canonico impulso rettangolare così definito

È un rettangolo di altezza A e base T centrato in t=0. Considero due impulsi rettangolari x (t), x (t) dati da:

1 2

Considero la convoluzione x(t) in t=0.

t=0;

per la parità dell’impulso rettangolare x (t). Per t=0 l’impulso x comprende tutto l’impulso x per cui

2 2 1

l’integrale tra –(T /2) e (T /2) risulta: x(0) = A A T . In tutti i punti esterni l’integrale è evidentemente nullo.

1 1 1 2 1

Per altri valori di t l’impulso x non solo è ribaltato simmetricamente rispetto all’asse y ma viene anche

2

traslato di un certo valore da cui dipende anche l’area del trapezoide del segnale risultante.

t=T /4;

 1

Si ha sempre x sotteso interamente da x per cui ancora x(T /4) = A A T . Intuitivamente x(t) ha valore

1 2 1 1 2 1

costante finchè x non è traslato fino al margine sinistro di x traslato di una quantità pari a (T -T )/2.

2 1 2 1

Superato tale punto l’area sottesa da x su x diminuisce linearmente fino a zero quando la situazione

2 1

grafica è:

I risultati possono estendersi anche a traslazioni nel senso opposto ottenendo gli stessi risultati per la

simmetria dei segnali convoluti. La convoluzione x(t) completa è qui rappresentata:

Segnali periodici: serie di Fourier

Per gran parte dei sistemi che lavorano in frequenza la loro linearità consente di consente di esprimere la

risposta del sistema a ingressi in frequenza come sovrapposizione di un certo numero di armoniche

elementari. Un esempio lo si ha nelle reti elettriche a regime alternato in cui a più ingressi vanno correlate

più uscite in dipendenza univoca per mezzo della sovrapposizione degli effetti ottenendo una combinazione

lineare di diverse armoniche a diverse ampiezze e frequenze. Un segnale periodico è un segnale per cui:

x(t)=x(t+nT), n ϵ N ; T è il periodo legato alla frequenza di ripetizione f=1/T . Sappiamo che è un segnaòe di

potenza per cui ha energia infinita. La periodicità consente di porre la potenza nella forma:

2

In quanto l’integrale medio di |x(t)| resta invariato, compiuto ogni periodo. Lo stesso vale per il valor

medio:

Per tutti i segnali periodici, ma non esprimibili con una sola armonica elementare, esiste la possibilità di

esprimere il segnale come somma di armoniche di ampiezza, frequenza e fase assegnate. Lo studio di questi

segnali si effettua con l’analisi di Fourier. Sapendo tramite Eulero che un’esponenziale complesso equivale

a:

dato un segnale periodico x(t) posso esprimerlo come somma di infiniti esponenziali complessi con

coefficienti complessi come:

detto sviluppo in serie di Fourier in forma complessa. Dalla relazione f =nf =n/T si capisce che tutte le

n 0 0

armoniche sono a frequenza multiple intere di una frequenza fondamentale f =1/T . Si può dimostrare che

0 0

il coefficiente complesso X è determinabile da x(t) come:

n

DIMOSTRAZIONE:

Dato che:

solo nel caso m-n=0 o m=n ci si riconduce al limite notevole:

Quindi:

Ricaviamo ora una forma alternativa di serie di Fourier:

Sappiamo che il prodotto tra una funzione pari e un’altra funzione pari è sempre una funzione pari e

l’integrale simmetrico di una funzione pari è evidentemente diverso da 0. Se moltiplichiamo una funzione

dispari per un’altra dispari il risultato è ancora una funzione pari e l’integrale simmetrico è non nullo.

Mentre il prodotto tra una funzione pari e un’altra dispari da una funzione dispari che annulla qualunque

integrale simmetrico. In definitiva:

Le condizioni sotto le quali un segnale periodico è suscettibile di sviluppo in serie di Fourier costituiscono il

criterio di Dirichlet: un segnale periodico x(t) è sviluppabile in serie di Fourier se

x(t) è assolutamente integrabile in T (periodo);

 x(t) è continua o ha un numero finito di discontinuità di prima specie in T;

 x(t) è derivabile nel tempo escluso al più in un numero finito di punti in cui esistono e sono definite

 le derivate destre e sinistre.

L’espressione assolutamente integrabile in T equivale a dire che:

Ricaviamo la forma trigonometrica di Fourier:

Calcolati separatamente notiamo che:

Ed essendo:

per la parità del coseno, ne deriva che:

Mentre per il termine:

Il generico Im[X ] risulta:

n

Per la disparità del seno. In conclusione:

Per i due termini immaginari:

Per le stesse proprietà di parità e disparità di cos e sin rispettivamente:

Ci si riduce alla forma trigonometrica della serie di Fourier di x(t):

Fourier dunque esprime la possibilità di ricondurre un segnale periodico come sovrapposizione di

infinite armoniche elementari con ampiezza e frequenza differente. Le frequenza sono tutte multipli

interi della f fondamentale. Mentre per le ampiezze, condizione necessaria affinché la serie converga

0

al segnale x(t), è che |X |→0 per n→∞, ovvero è necessario che le ampiezze si assottiglino sempre più

n

nell’intorno della componente continua R del segnale. È chiaro che nota la sequenza dei coefficienti X

0 n

di Fourier è nota anche la serie del segnale x(t). spesse volte è utile anche rappresentare tali

coefficienti, tendenzialmente complessi, per mezzo di due rappresentazioni grafiche ovvero lo spettro

di ampiezza e lo spettro delle fasi di X per ogni n in funzione della frequenza f =n/T.

n n

Esempio

Si consideri il segnale treno di impulsi rettangolari:

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Publisher
A.A. 2017-2018
18 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-INF/03 Telecomunicazioni

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher samurai1991 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Comunicazioni elettriche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Bari o del prof Camarda Pietro.