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Y X X
= 2S (f )(1 − cos(2πt f )).
X 0
Se X(t) é Gaussiano, anche Y (t) ha densitá di probabilitá Gaussiana, poiché
la trasformazione é lineare.
Il processo é stazionario ed il valor medio é
η (t) = E{Y (t)}
Y = E{X(t)} − E{X(t − t )} = 0.
0
La varianza é 2 2
σ = E{(Y (t) − η ) }
Y
Y 2 2
= E{Y } − η Y
Z 2
= 2(1 − cos(2π0.25f ))df = 8.
−2 2
1 Y
− 2
2σ .
e
f (Y ) = Y
q 2
2πσ Y
99
2.3.8 Esercizio 62
Una tensione costante v viene disturbata da rumore bianco additivo D(t)
0
avente densitá spettrale di potenza S (f ) = ζ. Per reiettare tale disturbo si
N
usano i due sistemi in cascata mostrati in figura in cui B = 1/2T .
Determinare i valori dei coefficienti a, b e c che minimizzano l’errore quadrati-
co medio 2
ε = E{[Y (t) − v ] }
0
tra l’uscita Y (t) e il valore costante v .
0
H(f)
v 1 Z(t)
0 T T
−Β Β f a c
D(t) b
Σ
Y(t)
Soluzione
Sia Z(t) = v + N (t) l’uscita del filtro H(f ), con
0 Ã !
f 2 2
E{N (t)} = 0, S (f ) = rect ζ, σ = E{N (t) } = 2Bζ.
N N
2B
L’uscita del sistema é
Y (t) = az(t) + bz(t − T ) + cz(t − 2T )
= (a + b + c)v + aN (t) + bN (t − T ) + cN (t − 2T );
0
L’autocorrelazione R (τ ) si ottiene antitrasformando S (f )
N N
R (τ ) = 2Bζsinc(τ 2B), R (τ ) = E{N (t)N (t − τ )}.
N N
Considerando che
• E{N (t)N (t − T )} = R (T ) = 0,
N
• E{N (t)N (t − 2T )} = R (2T ) = 0,
N 100
• E{n(t)} = 0,
l’errore quadratico medio ε risulta 2
ε = E{[Y (t) − v ] }
0
2 2
= E{Y (t)} + E{v } − 2E{Y (t)v }
0
0
2 2 2 2 2 2
= (a + b + c) v + (a + b + c )σ +
0 N
2 2
v − 2(a + b + c)v
0 0
2 2 2 2 2 2
= (a + b + c − 1) v + (a + b + c )σ .
0 N
L’errore quadratico medio é una forma convessa e quindi il suo minimo si
trova imponendo ∂ε ∂ε ∂ε
= 0, = 0, = 0.
∂a ∂b ∂c
Dalle tre equazioni precedenti otteniamo il seguente sistema lineare di 3
equazioni in 3 incognite:
2 2
2(a + b + c − 1)v + 2aσ = 0
0 N
2 2
2(a + b + c − 1)v + 2bσ =0
0 N
2 2
2(a + b + c − 1)v + 2cσ =0
0 N
2
σ
(1 + )a + b + c =1
N
2
v
0
2
σ
a + (1 + )b + c =1
N
2
v 0
2
σ
a + b + (1 + )c =1
N
2
v 0
I valori di a, b e c che minimizzano l’errore quadratico medio sono
2 1
v 0 = .
a = b = c = 2
2 2 σ
3v + σ 3 + N
0 N 2
v 0
Ricaviamo il valore dell’errore quadratico medio minimo:
2 2
σ
3 N
2
v + 3
− 1
ε =
min 0
2 2
σ σ 2
3+ (3 + )
N N
2 2
v v
0 0
2
σ 2 2
)v + 3σ
( N 0 N
2
v
= 0 2
σ 2
)
(3 + N
2
v 0
2
σ
2 (
σ + 3)
N
N 2
v
= 0 2
σ 2
)
(3 + N
2
v 0
2
σ N .
= 2
σ
3+ N
2
v 0 101
Se non avessimo usato il filtro 2 2 2
a = b = c =0 ⇒ ε = E{[z(t) − v ]} = E{N (t) } = σ .
0 N
102
2.3.9 Esercizio 63
Nello schema in figura il processo aleatorio N (t) é Gaussiano con densitá
spettrale di potenza S (f ) = N /2.
N 0
Campionando agli istanti t = 2kT (k = 1, 2, ..., n) il processo X(t) in usci-
k
ta al filtro H(f ) (di banda B = 1/T ) si ottiene un sistema di n variabili
aleatorie X ≡ X(2kT ). Determinare la densitá di probabilitá congiunta
k
f (x , x , ..., x ) di tale sistema.
X 1 2 n t
H(f) K
1
N(t) + W(t) X(t) X K
T - f
-B B
Soluzione W (t) = N (t − T ) − N (t);
R (τ ) = E{W (t)W (t − τ )}
W = E{[N (t − T ) − N (t)][N (t − T − τ ) − N (t − τ )]}
= E{N (t − T )N (t − T − τ )} + E{N (t)N (t − τ )} −
−E{N (t)N (t − T − τ )} − E{N (t − T )N (t − τ )}
= 2R (τ ) − R (τ − T ) − R (τ + T )
N N N
N 0 (δ(τ − T ) − δ(τ + T )).
= N δ(τ ) −
0 2
R (τ ) = R (τ ) ⊗ R (τ ).
X W h ¶
µ
2 2τ
−1 2 .
R (τ ) = F [|H(f )| ] = sinc
h T T
! !
à Ã
¶
µ N 2(τ − T ) N 2(τ + T )
2 2τ 0 0
R (τ ) = N − − .
sinc sinc sinc
X 0 T T T T T T
X(t = 2kT ) = X ,
k k 2
X
µ ¶
2N 1 k
−
0 2
2 2σ .
f = gauss 0, σ = R (0) = = e X
X X q
X
k T 2
2πσ X
103
Sia [X , ...X ] il vettore delle variabili congiuntamente Gaussiane. Poiché
1 n
R (2kT ) = 0 le variabili X sono tra loro incorrelate ed essendo Gaussiane
X k 2
sono anche indipendenti, ognuna con valor medio nullo e varianza σ =
X
R (0) = N 2/T , da cui
X 0 P 2
X
1 i
− 2
2σ
f (X ...X ) = f (X )f (xX )...f (X ) = e X
1 n 1 2 n q 2n
n
(2π) σ X
104
2.3.10 Esercizio 64
Nello schema in figura il processo N (t) é Gaussiano con densitá spettrale di
potenza S (f ) = ζ. Dire se il processo in uscita X(t) é Gaussiano e determi-
N
narne la funzione valor medio η (t) e la funzione di autocorrelazione R (t, τ ).
X X
H(f)
N(t) W(t) W X(t)
1 Interpolatore
k cardinale
kT
f
-1/2T 1/2T
Soluzione
La densitá spettrale di potenza di W (t) é data da !
à f
2 .
S (f ) = S (f )|H(f )| = ζrect
W N T
La funzione di autocorrelazione del processo W (t) vale dunque
¶
µ
ζ τ
R (τ ) = .
sinc
W T T
Il processo W (t) é a valor medio nullo, allora
C (τ ) = R (τ ),
W W
e all’uscita del campionatore ζ
C = C (iT, jT ) = R ((i − j)T ) = δ(i − j),
i,j W W T
cioé le variabili W , congiuntamente gaussiane, sono incorrelate e quindi
k 2
anche indipendenti con η = 0 e σ = R (0) = ζ/T .
W
Il processo X(t), per un generico impulso interpolatore p(t),
X
X(t) = W p(t − kT ), η = 0,
k X
k
é una combinazione lineare di variabili Gaussiane a valor medio nullo,
dunque é a sua volta Gaussiano a valor medio nullo.
105
La funzione di autocorrelazione si calcola nel modo seguente )
( X
X W p(t − τ − sT )
W p(t − kT )
R (t, τ ) = E s
k
X s
k X
(1) 2 p(t − kT )p(t − τ − kT ).
= E{W }
k k
Se poniamo y(t, τ ) = p(t)p(t − τ ),
possiamo riscrivere la funzione di autocorrelazione come
ζ X
R (t, τ ) = y(t − kT, τ ),
X T k
da cui risulta che, per un generico impulso interpolatore p(t), la funzione di
autocorrelazione R (t, τ ) e’ periodica nella variabile t, con periodo T .
X
Nel caso particolare dell’interpolatore cardinale, con
µ ¶
t
p(t) = sinc ,
T
verifichiamo che il processo X(t) e’ stazionario nell’autocorrelazione (es-
sendo gaussiano e stazionario nell’autocorrelazione, il processo risulterá sta-
zionario in senso stretto).
Infatti, detta Y (f ) = Y (f, τ ) la trasformata di Fourier di
µ ¶ µ ¶
t t − τ
y(t) = sinc sinc ,
T T
2 −j2πf τ
Y (f ) = T rect(f T ) ⊗ (rect(f T )e ).
La trasformata Y (f ) risulta nulla, nella variabile f, per valori della frequenza
esterni all’intervallo −1/T < f < −1/T , e, applicando la formula di Poisson,
otteniamo 1 1
X
X j2πst/T
y(t − kT ) = Y (s/T )e = Y (0).
T T
s
k
La funzione di autocorrelazione in questo caso, dunque, non dipende da
t, ma solo da τ , e il processo X(t) risulta stazionario.
In particolare, calcolando il valore di Y (0),
Z τ
j2πφτ
2 rect(φT ) rect(−φT ) e dφ = T sinc(
Y (0) = T ),
T
1 Le variabili sono incorrelate, E{W W } 6 = 0 se e solo se k = s.
k s
106
si ricava l’espressione dell’autocorrelazione µ ¶
τ
R (t, τ ) = ζ sinc .
X T
107
2.3.11 Esercizio 65
Si consideri il sistema in figura nel quale il processo Gaussiano di ingresso
X(t) é caratterizzato dalla funzione di autocorrelazione (B=1/T)
R (τ ) = N Bsinc(Bτ ).
X 0
Ricavare la densitá di probabilitá del primo ordine f (y; t) del processo
Y
aleatorio d’uscita Y (t) nei due casi seguenti :
a) H(f ) = 1;
b) H(f )=rect(f /B).
X(t) Y(t)
+
H(f)
T
Soluzione f
F
R (τ ) = N Bsinc(Bτ ) ⇐⇒ S (f ) = N rect( ).
X 0 X 0 B
a) H(f ) = 1.
La funzione di trasferimento dell’intero sistema é data da
−j2πf T
H (f ) = 1 − e
t T T T
−j2πf j2πf −j2πf
= e (e − e )
2 2 2
µ ¶
T
T
−j2πf 2jsen 2πf .
= e 2 2
La densitá spettrale di potenza del processo Y (t) é data da
2
S (f ) = S (f )|H (f )|
Y X t
à ! µ ¶
f T
2
= N 4rect sen 2πf .
0 B 2
108
1
Z T
2T
2 2 )df = 2N B.
σ = N 4sen (2πf 0
0
y 2
1
− 2T 2
X(t) Gaussiana, E{x} = 0 ⇐⇒ Y (t) Gaussiana, E{y} = 0, σ = 2N B.
0
Y
La densitá di probabilitá cercata é dunque data da
2
1 Y
− 2
√ 2σ
f = .
e Y
Y 2πσ Y
b) H(f ) = rect(f /B). H(f)
X(t) X (t)
1 OUT
S (f)
S (f) -B/2 B/2 X
X OUT
La densitá spettrale di potenza del processo X in uscita dal filtro é la
out
stessa del processo X(t) in ingresso, cioé
S (f ) = S (f ),
X X
out
dunque, come nel punto precedente, 2
S (f ) = S |H(f )|
Y X
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