Teoria dei segnali - Caratterizzazione energetica dei segnali

3.11 CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

3.11.1 Spettri di energia

Sia x(t) un segnale di energia, tempo continuo; dalla relazione di Parseval si ha:

E_x = ∫_-∞^+∞ |x(t)|² dt = ∫_-∞^+∞ |X(f)|² df

Analogamente per un segnale x(n) tempo discreto si ha

E_x = ∑_n=-∞^+∞ |x(n)|² = ∫_-1/2^1/2 |X(ν)|² dν

L'importanza di tali relazioni non sta tanto nella possibilità di calcolare l'energia totale (anzi il calcolo nel dominio del tempo risulta quasi sempre più semplice) quanto nel riconoscere che la funzione |X(f)|² dà conto della distribuzione in frequenza dell'energia. Con ciò si intende dire che l'energia del segnale x(t) nella banda elementare (f, f + df) è pari a |X(f)|² df; analoga è l'interpretazione nel caso di sequenze.

La funzione:

S_x(·) = |X(·)|²

viene pertanto denominata Densità Spettrale di Energia (abbreviazione ESD) o spettro di energia e la si denota col simbolo S_x(·) o, più semplicemente, S(·) quando non c'è motivo di confusione.

A conferma della definizione data, l'energia ΔE_x in uscita ad un filtro passa banda ideale, centrato alla frequenza f₀, di guadagno unitario e banda Δf, vale:

ΔE_x = ∫_-∞^+∞ |Y(f)|² df = ∫_{f0 - 1/2 Δf}^{f₀ + 1/2 Δf} S_x(f) df

Pertanto l'energia delle componenti spettrali di un segnale appartenenti ad un certo intervallo di frequenze, si ottiene integrando su tale intervallo il suo spettro di energia. Conseguentemente l'ESD del segnale x(t) può anche essere definita come:

S_x(f) = lim_Δf→0 [ΔE_x / Δf]

All'interpretazione data corrisponde un metodo sperimentale per la determinazione dell'ESD di un segnale mediante un filtro a banda stretta. Precisamente, l'energia ΔE_x in uscita ad un filtro centrato alla frequenza f₀ e di banda Δf è proporzionale al valore dell'ESD del segnale in ingresso x(t) valutata alla frequenza di centro banda. Si ha infatti:

ΔE_x = ∫_-∞^+∞ |Y(f)|² df = ∫_-∞^+∞ |X(f)|² |H(f)|² df ≈ |X(f₀)|² ∫_-∞^+∞ |H(f)|² df ∝ S_x(f₀)

3.11 CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

3.11.1 Spettri di energia

Sia x(t) un segnale di energia, tempo continuo; dalla relazione di Parseval si ha:

E_x = ∫_-∞^+∞|x(t)|²dt = ∫_-∞^+∞|X(f)|²df

Analogamente per un segnale x(n) tempo discreto si ha

E_x = ∑_n=-∞^+∞|x(n)|² = ∫_-1/2^{+1/2|X(ν)|²dν}

L'importanza di tali relazioni non sta tanto nella possibilità di calcolare l'energia totale (anzi il calcolo nel dominio del tempo risulta quasi sempre più semplice) quanto nel riconoscere che la funzione |X(f)|² dà conto della distribuzione in frequenza dell’energia. Con ciò si intende dire che l’energia del segnale x(t) nella banda elementare (f , f + df) è pari a |X(f)|²df; analoga è l’interpretazione nel caso di sequenze.

La funzione:

S_x(·) = |X(·)|²

viene pertanto denominata Densità Spettrale di Energia (abbreviazione ESD) o spettro di energia e la si denota col simbolo S_x(·) o, più semplicemente, S(·) quando non c'è motivo di confusione.

A conferma della definizione data, l’energia ΔE_x in uscita ad un filtro passa banda ideale, centrato alla frequenza f_o, di guadagno unitario e banda Δf, vale:

ΔE_x = ∫_-∞^+∞|Y(f)|²df = ∫_fo-1/2Δf^f_o+1/2ΔfS_x(f)df

Pertanto l’energia delle componenti spettrali di un segnale appartenenti ad un certo intervallo di frequenze, si ottiene integrando su tale intervallo il suo spettro di energia. Conseguentemente l’ESD del segnale x(t) può anche essere definita come:

s_x(f) = lim_Δf→0ΔE_x/Δf

All’interpretazione data corrisponde un metodo sperimentale per la determinazione dell’ESD di un segnale mediante un filtro a banda stretta. Precisamente, l’energia ΔE_x in uscita ad un filtro centrato alla frequenza f_o e di banda Δf è proporzionale al valore dell’ESD del segnale in ingresso x(t) valutata alla frequenza di centro banda. Si ha infatti:

ΔE_x = ∫_-∞^+∞|Y(f)|²df = ∫_-∞^+∞|X(f)|²|H(f)|²df

≅ |X(f_o)|²∫_-∞