Teoria dei segnali - Caratterizzazione energetica dei segnali

3.11 CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

3.11.1 Spettri di energia

Sia z(t) un segnale di energia, tempo continuo; dalla relazione di Parseval si ha:

E_z = ∫_-∞^+∞ |X(f)|²df

Analogamente per un segnale z(n) tempo discreto si ha

E_z = ∑_n=-∞^+∞ |X(ν)|²dν

L'importanza di tali relazioni non sta tanto nella possibilità di calcolare l'energia totale (anzi il calcolo nel dominio del tempo risulta quasi sempre più semplice) quanto nel riconoscere che la funzione |X(f)|² dà conto della distribuzione in frequenza dell'energia. Con ciò si intende dire che l'energia del segnale z(t) nella banda elementare (f, f + df) è pari a |X(f)|²df; analoga è l'interpretazione nel caso di sequenza.

La funzione:

S_z(ξ) = |X(·)|²

viene pertanto denominata Densità Spettrale di Energia (abbreviazione ESD) o spettro di energia e la si denota col simbolo S_z(·), o più semplicemente, S(·) quando non c’è motivo di confusione.

A conferma della definizione data, l’energia ΔE_z in uscita da un filtro passa banda ideale, centrato alla frequenza f₀, di guadagno unitario e banda Δf, vale:

ΔE_z = ∫_f0-Δf/4^f₀+Δf/4 S_z(f)df

Per ottenere l’energia complessivamente contenuta in un segnale appartenenti ad un certo intervallo di frequenze, si ottiene integrando su tale intervallo il suo spettro di energia. Conseguentemente l’ESD del segnale z(t) può anche essere definita come:

S_z(ξ) = lim_Δf→0 ΔE_z/Δf

All’interpretazione data si aggiunge un metodo sperimentale per la determinazione dell’ESD in un segnale mediante filtri a banda stretta. Precisamente, l’energia ΔE_z, in uscita da un filtro centrato alla frequenza f₀ e di banda Δf è proporzionale al valore dell’ESD del segnale in ingresso z(t) alla frequenza f₀ entro banda. Si ha infatti:

ΔE_z = ∫_-∞^+∞ |X(f)|²|H(f)|²df

∫_-∞^+∞ |H(f)|²df ∝ S_z(f₀)

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

Si osservi che la relazione precedente è valida quale che sia la forma della risposta armonica del filtro, purché la sua banda sia sufficientemente stretta si da ritenere costante in tale banda lo spettro d'energia del segnale d’ingresso. È quindi possibile misurare lo spettro di energia di un segnale se si ha a disposizione uno strumento che misura l’energia ed un filtro passa banda, a banda stretta, con frequenza centrale accordabile in modo da analizzare la banda d’interesse. Ovviamente lo stesso risultato può essere ottenuto operando in parallelo con un banco di filtri a banda stretta le cui risposte armoniche siano centrate alle frequenze a cui si vuole misurare l’_ESD del segnale nella banda di interesse.

Dalla definizione data segue immediatamente che l’_ESD è una funzione reale e non negativa; notevoli ne sono i seguenti segnali. Sempre dalla definizione segue anche che l’_ESD è invariante rispetto a qualsiasi operazione sul segnale che ne lasci immutato lo spettro d’ampiezza. Pertanto la corrispondenza

segnale → _ESD

non è bivinco. Ad esempio una traslazione di un segnale nel dominio del tempo non ne altera l’ESD; analogamente, un ribaltamento seguito da una eventuale coniugazione non ha influenza sullo spettro di energia di un segnale reale.

Dalla definizione data segue immediatamente che l’_ESD dell’ingresso x(t) e dell’uscita y(t) di un sistema LTI, di risposta armonica H(f), sono legate dalla relazione:

S_y(f) = |H(f)|²S_x(f) (3.82)

Nello scrivere tale equazione si è implicitamente supposto che i segnali in ingresso ed in uscita al sistema LTI siano entrambi di energia, ipotesi che, nel seguito, supporremo sempre soddisfatta; ad esempio tali ipotesi è certamente soddisfatta se il sistema è stabile, o, più in generale, se la sua risposta in frequenza è limitata.

La funzione |H(f)|², che relaziona l’ESD dell’ingresso e dell’uscita, prende il nome di funzione di trasferimento dell’energia.

Come accennato in precedenza la banda di un segnale viene valutata in base a considerazioni energetiche: precisamente, per definire la banda di energia essa può essere definita come l’intervallo di frequenze in cui è contenuta una prefissata frazione dell’energia totale, ad esempio il 90%, il 99%, ecc.; inoltre, siccome le frequenze sono reali, comunemente si prendono in esame solo le frequenze positive (banda monolatera).

Esempio 1: Impulso rettangolare

Sia x(t) un impulso rettangolare di ampiezza A e durata T; ricordando che

AT sinc(fT)

si ottiene immediatamente la seguente espressione per l’_ESD dell’impulso rettangolare

S_x(f) = E_xT sinc²(fT)

dove E_x = A²T è l’energia di x(t).

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

ed al secondo:

lim_T→∞ E { 1/2T ∫_-T^T |X_T(f)|² df } = lim_T→∞ 1 / 2T ∫_-∞^+∞ E{|X_T(f)|²} df

Da cui, uguagliando i due membri, si ha:

P_x = ∫_-∞^+∞ lim_T→∞ E{|X_T(f)|²} / 2T df = ∫_-∞^+∞ S_x(f) df

Ad ulteriore conferma della definizione data si osservi che la funzione di trasferimento dell’energia |H(·)|² di un sistema LTI relaziona anche gli spettri di potenza; in altri termini la (3.82) vale anche con riferimento alle P_SD. Infatti detto x_T(t) il segnale finestrato in ingresso al sistema LTI e y(t) la corrispondente uscita, grazie all’ipotesi che i segnali in ingresso ed in uscita al sistema siano dello stesso tipo, l’insieme delle risposte y_T(t) costituisce una famiglia di segnali di energia idonea al calcolo della P_SD dell’uscita. Pertanto si ha:

S_y(f) = lim_T→∞ 1/2T E{|Y_T(f)|²} = lim_T→∞ 1/2T E{|H(f)X_T(f)|²} =

= |H(f)|² lim_T→∞ 1/2T E{|X_T(f)|²}

Da tale relazione segue che la potenza delle componenti spettrali di un segnale appartenenti ad una certa gamma di frequenze si ottiene integrando su tale intervallo di frequenza la P_SD. Pertanto quest’ultima può anche essere definita come

S_ε(f) = lim_Δf→0 ΔP_Σ / Δf

dove ΔP_Σ è la potenza delle componenti spettrali di x(t) nella banda (f − ½Δf, f + ½Δf).

Si noti che il significato computazionale della definizione della P_SD è relativamente modesto dal momento che il calcolo di S_ε(·) è ben più potente di quello basato sulla (3.85) o (3.86). Tali metodiche indicano il legame esistente tra lo spettro di potenza e la funzione di correlazione (teorema di Wiener Khinthine) che verrà derivato in seguito. Il seguente esempio infatti sviluppato più che altro per consentire un confronto dei calcoli ottenuti secondo la (3.85) e quello indiretto mediante l’impiego del teorema di Wiener Khintchine.

Esempio 2: PSD di una sinusoidale a fase aleatoria

Sia x(t) = A cos(2πf₀t + φ) con A e f₀ costanti e φ variabile aleatoria uniformemente distribuita in (0, 2π). Utilizziamo la trasformata dell’impulso rettangolare e la regola