TDS-teoria dei segnali parte II

Traslazione nel dominio

Dominio TC

F_x{ x(t) e^j2πf₀t } = ∫_R x(t) e^j2πf₀t e^-j2πft dt = ∫_R x(t) e^{-j2π(f-f₀)t} dt = F_x(f-f₀)

F^-1 x(t) e^j2πf₀t TD       F       F x(m) ↔ X(u) ⟶ x(m) e^j2πf₀m ⟶ F_x(f-f₀)

Esempio 1

TC     e^j2πf₀t ↔ δ(f-f₀)TD         F     &widetilde{δ}₁(ν-ν₀) = ∑_k=-∞^+∞ δ(ν-ν₀-k)

Esempio 2

cos(2πf₀t) = 1/2 e^j2πf₀t + 1/2 e^-j2πf₀t = 1/2 δ(f-f₀) + 1/2 δ(f+f₀)

Modulazione

Dominio TC

y(t) = x(t) cos(2πf₀t) ↔ &frac{1}{2} F_x(f-f₀) + &frac{1}{2} F_x(f+f₀)

F_x(f)          A          Y(f)                Af₀           f₀

Convoluzione

Dominio TC

x(t) * y(t) ↔ F_x(f) F_y(f)

y(t) = h(t) x(t) -> h(t) -> z(t) Z(f) = H(f) F_x(f)

Traslazione nel dominio TC

∫ x(t)e^j2πf₀te^-j2πftdt = ∫ x(t)e^{-j2π(f-f₀)t}dt = ^X(f-f₀)

x(t)e^j2πf₀t ↔ ^X(f-f₀) x(m) ↔ ^X(u) → x(m)e^j2πf₀m ↔ ^X(v-v₀)

Esempio TC

e^j2πf₀t ↔ δ(f-f₀)     e^j2πv₀n ↔ ∼δ(v-v₀) = ∑_-∞^+∞ k δ(v-v₀-k)

Esempio 2

cos(2πf₀t) = ½e^j2πf₀t + ½e^-j2πf₀t ⇒ ½δ(f-f₀) + ½δ(f+f₀)

Modulazione TC

y(t) = x(t) cos(2πf₀t) ↔ ½^X(f-f₀) + ½^X(f+f₀)

Convoluzione TC

x(t) * y(t) ↔ ^X(f) ^Y(f)

y(t) = h(t) ⇒ x(t) → h(t) → z(t) → Z(f) = H(f) ^X(f)

Modulazione generalizzata

x(t)y(t) <=> F ^XX(f) * ^YX(f) = ¹⁄_2π ^XX(ω)· ^YX(ω)

della convoluzione x(m) * y(m) <=> F ^XX(ω)· ^YX(ν)

x(m) y(n) ←→ _F ^XX(ν) * ^YX(ν) = ∫_-1⁄2^{1⁄2 X}X(ν-u) ^YX(u) du = ¹⁄_επ ∫_-π^{π X}X(Θ-u) ^YX(u) du

convoluzione periodica Derivazione ^dk⁄_dt^k x(t) <=> F (j2πf)^kXX(f)

Dim ^dk⁄_dt^k x(t) = ^dk⁄_dt^k∫_-∞^{+∞ X}X(f)e^j2πftdf = ∫_-∞^{+∞ X}X(f)e^j2πft(j2πf)^kdf = F^-1{ ^XX(f)(j2πf)^k}

∫(t) = ^dk⁄_dt^kx(t) Integrazione ∫_-∞^+tx(ζ)dζ <=> F ¹⁄₂^XX(0) δ(f) + ^XX(f)⁄_j2πf

Dim ∫_-∞^+tx(ζ)dζ = μ(t-ζ)x(ζ)dζ = x(t) * u(t) <=> F ^XX(f)[ ¹⁄₂δ(f) + ¹⁄_j2πf] == ¹⁄₂^XX(0) δ(f) + ^XX(f)⁄_j2πf

Replicazione e campionamento

Replicazione di periodo T_N

x(t) ≝ rep_T[x(t)] = Σ_k x(t - kT) t continuo   generatore

x(m) ≝ rep_TN[x(m)] = Σ_k x(m - k_N) tempo discreto   generatore

È comune l'uso della delta di Dirac come generatore: δ(t) V , S_T(t) o δ_TN(m)

L'operazione di replicazione è ben definita solo se si usa un generatore ad energia finita

Segnali campionati idealmente

Versione campionata idealmente di x(t)

x_s(t) ≝ Σ_-∞^+∞ x(kT)δ(t - kT) [TC]

x_s(m) ≝ Σ_-∞^+∞ x(kN)δ(m - kN) [TD]

dove T(_ON)