TDS-teoria dei segnali parte II

8) Traslazione nel dominio della frequenza

TC \[ \hat{X}(f) = \int_R x(t) e^{j 2 \pi f t} e^{-j 2 \pi f_0 t} dt = \int_R x(t) e^{-j 2 \pi (f + f_0) t} dt = \hat{X} (f - f_0) \]

TD \[ x(m) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \hat{X}(u) \Rightarrow x(m) e^{-j 2 \pi f_0 m} \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \hat{X} (v - v_0) \]

Esempio

TC \[ e^{-j 2 \pi f_0 t} \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \delta(f - f_0) \]

TD \[ e^{-j 2 \pi v_0 n} \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \tilde{\delta_1}(v - v_0) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta (v - v_0 - k) \]

Esempio

\[ \cos(2 \pi f_0 t) = \frac{1}{2} e^{j 2 \pi f_0 t} + \frac{1}{2} e^{-j 2 \pi f_0 t} \Rightarrow \frac{1}{2} \delta (f - f_0) + \frac{1}{2} \delta (f + f_0) \]

9) Modulazione

TC \[ y(t) = x(t) \cos(2 \pi f_0 t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2} \hat{X}(f - f_0) + \frac{1}{2} \hat{X}(f + f_0) \]

Convoluzione

TC \[ x(t) \star y(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \hat{X}(f) \hat{Y}(f) \]

\[ y(t) = h(t) \]

\[ x(t) \]

\[ h(t) \]

\[ z(t) \]

\[ Z(f) = H(f) \hat{X}(f) \]

Modulazione generalizzata

x(t) y(t) ↔ F ↔ \hat{X}(f) * \hat{Y}(f) = \frac{1}{2\pi} \hat{X}(\omega) \hat{Y}(\omega)

della convoluzione

x(m) * y(m) ↔ \hat{X}(\nu) \hat{Y}(\nu)

x(m) y(m) ↔ F ↔ \hat{X}(\nu) * \hat{Y}(\nu) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{X}(\nu-u) \hat{Y}(u) du

= \frac{1}{2\pi} \sum_{-\pi}^{\pi} \hat{X}(\theta-u) \hat{Y}(u) d\omega

Derivazione

\frac{d^k}{dt^k} x(t) ↔ F ↔ (j 2\pi f)^k \hat{X}(f)

Dim

\frac{d^k}{dt^k} x(t) = \frac{d^k}{dt^k} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{X}(f) e^{j 2\pi f t} df = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{X}(f) e^{j 2\pi f t} (j 2\pi f)^k df

⇒ \mathcal{F}^{-1} \left[\hat{X}(f) (j 2\pi f)^k \right](t) = \frac{d^k}{dt^k} x(t)

Integrazione

\int_{-\infty}^{t} x(\zeta) d\zeta → \frac{1}{2} \hat{X}(0) \delta(f) + \frac{\hat{X}(f)}{j 2\pi f}

Dim

\int_{-\infty}^{t} x(\zeta) d\zeta = \int_{-\infty}^{t} x(t-\zeta) x(\zeta) d\zeta = x(t) * u(t) → F → \hat{X}(f) \left[ \frac{1}{2} \delta(f) + \frac{1}{j 2\pi f} \right]

= \frac{1}{2} \hat{X}(0) \delta(f) + \frac{\hat{X}(f)}{j 2\pi f}

Campionamento ideale

Si consideri x_a(t). Ci proponiamo di capire se ed in quali ipotesi la sequenza "ricostruisce" x_a(t).

x(n) ≡ x_a(nT) ∀ n ∈ Z

T è il "passo di campionamento" (o periodo di campionamento)

f_c ≡ 1/T è la frequenza di campionamento

Teorema del campionamento uniforme

x_b(t) = x_u(t) ξ(t) = x_c(t) Σ̅_n δ(t-nT) = Σ_n x_a(nT) δ(t-nT)

che ha trasformata di Fourier:

X_b(F) * 1/T Ξ_t(F) = X_a(F) * 1/T Σ̅_n δ(F-nf_c) = 1/T Σ_n X_a(F-nf_c) = 1/T Σ_n X_a(F) = f_c Σ_n X_a(F)

Teorema del campionamento uniforme [Shannon]

Posso ricostruire x_a(t) da x(m) se:

1. x_a(t) ha banda rigorosamente limitata B, cioè quindi X_c(F) = 0 ∀ |F| ≥ B

Caratterizzazione Energetica dei Segnali

X(t) segnale d'energia → vale relazione di Parseval

E_x = ∫_ℝ |x(t)|² dt = ∫_ℝ |X(f)|² df

E_x = Σ_n=-∞^+∞ |x(n)|² = ∫_-1/2^{1/2 |X(ν)|² dν}

Si consideri un filtro BPF (passa-banda)

H_f0(f) = Π( (f-f₀) / Δf )

E_y = ∫_ℝ |X(f)|² df = ∫_ℝ |H_f0(f)|² |X(f)|² df = ∫_{f0 - Δf/2}^{f₀ + Δf/2} |X(f)|² df

se Δf → 0 allora ξ_y = |X(f₀)|² Δf = Δξ_x(f₀)

Usando il legame tra dominio del tempo e dominio della freq.

questa si ha:

r_xy(_τ) = x(t) * y(-t) ⟷ X(f)Y^*(f) = S_xy(f)

L'ESD mutua è la F-trasformata della funzione di mutua

correlazione.

Se y(t) = x(-t) ⟷ r_x(_τ) ⟷ S_x(f)

Tale risultato è estendibile anche ai segnali di potenza.

Infatti, se x(t) e y(t) sono proprio segnali di potenza, il

Teorema di Wiener-Khintchine assicura che lo spettro di potenza

mutua è ancora una volta la trasformata dell'autocorrelazione:

S_xy(f) = ∫_R r_xy(_τ)e^-i2πf_τd_τ

Il concetto di incoerenza si può trasportare nel dominio

della frequenza: due segnali d'energia (o di potenza) incoerenti

hanno mutua correlazione nulla e quindi anche ESD (o PSD) mutua

nulla. Ciò significa che per essi vale anche l'additività delle

ESD (o PSD).

Spettri di potenza dei segnali periodici

Per valutare la PSD di un segnale periodico

x(i) = x(t)

Si può partire dall'autocorrelazione Se si considera la serie

di Poisson:

x(t) = Σ_k=-∞^+∞ C_x(k)e^i2πk/ζ_t

e ricordando che fasi a frequenza diversa sono incoerenti,

mentre l'autocorrelazione è ancora in fase con la stessa . . .

È possibile ottenere una stima di t₀ calcolando la mutua correlazione fra il segnale ricevuto y(t) e quello trasmesso x(t). Poiché y(t) = x(t + t₀) si ottiene da x(t) per mezzo di un sistema LTI di risposta impulsiva h(t) = δ(t - t₀), si può scrivere che: r_yx(τ) = r_yx(τ) + r_mχ(τ) = r_χx(τ) αδ(t_-0) + r_mχ(τ) = α δ_χx(τ - t₀) + r_mχ(τ) ≅ α r_xx(τ - t₀) l'approssimazione è tanto più precisa quanto meglio è verificata l'ipotesi di incoerenza fra m(t) e x(t)

Poiché r_xx(τ) ha un massimo nell'origine, è possibile trovare t₀ come il punto in cui r_xx(τ) assume il suo massimo valore.

Campionamento reale

Campionamento a prodotto

ẑ(t) = rep_T [p(t)] = Σ^∞_n=-∞ p(t-nT) → treno d'impulsi

x_c(t) = (x_a(t)) Σ^∞_n=-∞ p(t-nT) → campionamento segnale da campionare

In frequenza:

X_c(f) = X_a(f) * Σ^∞_n=-∞ 1/T P(

La DTFT

X(ν) = Σ x(m) e^-i2πνm = Σ x(m) e^-i2πνm

X(k) = X(ν) |_{ν = k/N} k = 0, ..., N-1

x(m) ⇄_FT X(ν) ⇄_{campiono con passo 1/N} X̃(k) ⇄_{interpolazione} X(k) ⇄_{troncamento replicazione} X_rep[·](k)