Teoria dei campi

Elettrotecnica

v(t) = V₀ + ^∑_n V_n sen (nωt + α_n)

i(t) = I₀ + ^∑_n I_n sen (nωt + β_n)

V = √(V₀² + ^∑_n V_n²) con V_n = ^V_n⁄_√2

ϕ_n = α_n - β_n

I = √(I₀² + ^∑_n I_n²) con I_n = ^I_n⁄_√2

Potenza Attiva: P = V₀I₀ + ^∑_n V_nI_ncos ϕ_n

Potenza Apparente: A = V·I

Fattore di Potenza = ^P⁄_A = cos(ϕ) (≈1)

Teoria dei Campi

Campo: Stato fisico dello spazio

Linee di Campo: Inviluppo dei singoli vettori appartenenti al campo (unione di tutti i punti di applicazione dei vettori appartenenti al campo)

Campo Costante: tempo –> campo che non varia la sua ampiezza/valore in funzione del tempo

Uniforme: spazio –> campo che non varia la sua ampiezza/valore in funzione dello spazio ↪︎ circolazione (integrale circuitazionale) = 0

Irrrotazionale: Se il rotore del campo è nullo (rot v̅ = 0)

∮ v̅ · t̅ dℓ = 0

Insolubile: linea che crea un percorso chiuso in cui il centro è al dominio.

Conservativo: Se la circolazione è nulla per qualsiasi linea del campo considerata

∮ v̅ · t̅ dℓ = 0 ∀ℓ

Solenoidale: Se la divergenza del campo è nulla div v̅ = 0

∯ v̅ · n̅ dS = 0

Sindacabile: bordo di un volume

Conservativi del Flusso: Se hanno il flusso nullo in una superficie chiusa qualsiasi (div v̅ = 0)

∯ v̅ · n̅ dS = 0 ∀S_chiusa

Tubo di Flusso:

∮ v̅ · t̅ dS

∮ v̅ · n̅ dS

Φ₁ = ∫ v̅ · n̅ dS

Φ₂ = ∫ v̅ · n̅ dS

Φ₁ + Φ₂ + Φ₃ = 0

Non c'è flusso sulle superfici laterali

Maggiore è la superficie S₁, minore è la velocità V

v(t) = V_o + ^∑_n V_n sen (nωt + α_n)com V_n = ^V_nm/_√2

i(t) = I_o + ^∑_n I_n sen (nωt + β_n)com I_n = ^I_nm/_√2

V = √ V_o² + ^∑_n V_n²

I = √ I_o² + ^∑_n I_n²

POTENZA ATTIVA: P = V_oI_o + ^∑_n V_nI_n cos φ_n

POTENZA APPARENTE: A = V . I

FATTORE DI POTENZA = ^P/_A = cos φ (≈1)

TEORIA DEI CAMPI

CAMPO: Stato fisico dello spazio

LINEE DI CAMPO: Inviluppo dei singoli vettori appartenenti al campo (unione di tutti i punti di applicazione dei vettori appartenenti al campo)

CAMPO COSTANTE: tempo → campo che non varia la sua ampiezza/valore in funzione del tempo

UNIFORME: spazio → campo che non varia la sua ampiezza/valore in funzione dello spaziocircolazione (integrale circuitazionale) = 0

IRROTAZIONALE: Se il rotore del campo è nullo (rot v̅ = 0)∮ v̅ ⋅ t̅ dℓ = 0

linea chiusa: linea che crea un percorso chiuso in cui il centro ∈ al dominio.

CONSERVATIVO: Se la circolazione è nulla per qualsiasi linea del campo considerata∮ v̅ ⋅ t̅ dℓ = 0 ∀ ℓ

SOLENOIDALE: Se la divergenza del campo è nulla div v̅ = 0Superficie ℑ bordo di un volume∮ v̅ ⋅ n̅ ds = 0 ∀ S chiusa

CONSERVATIVI DEL FLUSSO: Se hanno il flusso nullo in una superficie chiusa qualsiasi (div v̅ = 0)∮ v̅ ⋅ n̅ ds = 0 ∀ S chiusa

∮ v̅ ⋅ n̅ ds = 0 ∀ S chiusa

TUBO DI FLUSSO:

_{Non c'è flusso sulle superfici laterali}

Φ₂ = ∫_S v̅ ⋅ n̅ ds

Φ = ∫_S v̅ ⋅ n̅ ds

Φ₁ = ∫_S v̅ ⋅ n̅ ds

Φ₁ + Φ₂ = 0

FENOMENI DI CONDUZIONE

RESISTORI:

1^a LEGGE DI OHM (legge sperimentale, ossia ricavata tramite esperimenti)

V/I = R — caratteristica non del generatore

2^a LEGGE DI OHM

R = ρ l/s

RESISTIVITÀ [Ω∙m] = ρ : costante caratteristica dei resistori che dipende da:

• TEMPERATURA:

ρ(T) = ρ_o (1 + α ΔT) con ΔT = T - T_o

ρ_o = 0°, 20°

per i metalli : α > 0

• MATERIALE :

isolanti → ρ ≈ 10¹²

metalli: ρ ≈ 10^-8

superconduttori ρ → 0 per T → 0°K

È comodo raffreddare il materiale, poiché in questo modo posso far scorrere qualsiasi corrente e non ho dissipazione di calore (in joule) e di conseguenza non spreco "energia".

LAVORO DISSIPATO:

lim Δt → 0 Δel/Δt

P_d = RI² — LEGGE DI JOULE

In un resistore tutta la potenza che entra viene dissipata:

P_d = RI² = VI = P_e Potenza entrante

P_d = ρJ² [w/m³] → Potenza dissipata per unità di volume

E = ρJ

R = V/I = ρ f (forma conduttore) = ∮_S E ∙ dℓ/∮_s J ∙ n dS ∙ dS^' con f = forma qualsiasi

RELATORE COSTITUTIVA

E = campo elettrico

J = campo di corrente

RESISTORE:

CILINDRICO PIENO

R=ρ l/s

v=ρ s f i

CILINDRICO CAVO

r_a < r < r_b

R = ρ/2πℓ ln r_b/r_aR = ρ ln r_b/r_a/2πℓ

SEMI-SFERA

R = ρ/2π (1/r_a - 1/r_b)

SUPERFICE SFERICA

R = ρ (1/r_a - 1/r_b)/4π

DISPERSE DI TERRA

R = 1/2πρ 1/r₁

FENOMENI DIELETTRICI

CONDENSATORI:

E̅ = campo elettrico = E̅c + E̅i

E̅c = campo coulombiano + campo indotto

E̅c = ⁹/_4πr² u̅r = -grad φ

superficie: Σ → σ [C/m²]

volume: Ζ → ρ [C/m³]

Ipotesi di mezzo uniforme:

• omogeneo: stesse proprietà ∀ punto P.E.D
• lineare: risposta lineare al campo
• isotropo: stesse proprietà ∀ direzione

mezzo anisotropo: le proprietà cambiano a seconda della direzione considerata (campo magnetico)

RELAZIONE: COSTITUTIVA

D̅ = εE̅ con D̅ = vettore spostamento elettrico

ε = permittività dielettrica (in mezzi uniformi) costante

ε = εrε₀

εr = costante relativa (dipende dal materiale) → 1 ÷ 10

ε₀ = costante dielettrica nel vuoto = 8,85 × 10^-12 F/m

LEGGE DI GAUSS:

Data una superficie chiusa, il flusso all'interno è pari alla carica complessiva contenuta in quella superficie:

superficie: ∮_sc D̅ · n̅ ds̅ = ☢

In forma locale: Le linee del campo D̅ nascono e muoiono dove è presente densità di carica:

ρ = div D̅

volume: ∭_v ρ dv = ☢

linee di campo uscenti → ρ > 0 → div D̅ > 0

linee di campo entranti → ρ < 0 → div D̅ < 0

div D̅ = 0

campo solenoidale

tubo di flusso

φ = potenziale scalare elettrico

D̅ = σ · n̅ con σ = densità di carica superficiale

--[Diagramma]--

C = ^q/_V = ^9A/_VAB

V_AB = ^-∫_B^AE̅ · d̅s̅

9A = ∮_sc D̅ · n̅ ds̅

le linee di campo son ortogonali: rispetto alla superficie

CONDENSATORE PIANO

C = ε _S/_LV = EεLRC = βε

CONDENSATORE CILINDRICO (CAVO)

C = 2πεεH / ln r_B/_rAV = q/CD(r) = q / 2πεεr

E_r = RIGIDITÀ DIELETTRICA

1= campo elettrico limite oltre il quale avviene una scossa (scarico di corrente tra i due conduttori)

E_cmax

E_c = q / 2πεεr = V / (ln r_B/_rA)r

FENOMENI MAGNETICI

• B = induzione magnetica
• H = campo magnetico
• μ = permeabilità magnetica
• μ_r = permeabilità relativa del mezzo
• μ₀ = costante magnetica (nell'aria)

4π · 10^-7 H/m = 1,26 · 10^-6 H/m

LEGGE DI BIOT-SAVART

B = μI / 2πr

campo magnetico generato da una corrente I che attraversa un conduttore (cavo) misurato a una distanza r dallo stesso cavo, con direzione "regola della mano destra".

LEGGE DI GAUSS

∮_fc B · dS = 0

B campo conservativo

div B = 0

B campo solenoidale

le linee di campo non hanno un punto di partenza/arrivo

Φ_S = ∫_S B · dS = flusso di induzione = Data una generica linea, è il flusso che attraversa la superficie che si appoggia sulla linea con la direzione π.

B = rot A con A = potenziale vettore magnetico

flusso di superficie: ∫_S(rot A) · dS

flusso di linea: ∮_A A · t dl = ∮_S B · dS

ELETTROTECNICA

pag. 31

flusso concatenato:

ϕ_c = n ϕ_s

con ϕ_c: flusso concatenatoϕ_s: flusso spiran: numero di spire

LEGGE DI FARADAY-NEUTANN

e(t) = - _dϕc/_dt = - _∂ϕc/_∂t |_corrd. - _∂ϕ/_∂t |_osc.

e_t(t) + e_m(t)

trasformatorico (tipico dei trasformatori)B varia nel tempo, l è fissa.

motazionale (motori magnetici)B fisso, l varia nel tempo.

rot E_i = - _∂B/_dt

E_i = - _∂A/_∂t

rot H = J + _∂D/_dt

div J = - _∂ϱt/_∂t

PERMEABILITÀ MAGNETICA:

μ = μ₀μ_r

(ipotesi: di materiale uniforme)

• μ_r <= 1000 → materiale lineare
• μ_r > 1000 → materiale ferromagnetico (non lineare)

durоdolce - ciclo di isteresi esteso (grande)ridotto (stretto)

B_g induzione al ginocchio della curvafino a B_g possiamo considerarlo lineare

curva di prima magnetizzazione = trаgetto iniziale

Dopo la curva di prima magnetizzazione, il materiale entra nel ciclo di isteresi e ne può uscire solo diminuendo i valori di B e di H poco alla volta.

H_c = campo magnetico coercitivo

= campo magnetico necessario per azzerare la magnetizzazione residua (Br)

Br = magnetizzazione residua (non torna a zero) → trasforma un materiale ferromagnetico in un magnete permanente (calamita).

ELETTROTECNICA

INDUTTORE L:

L = _φL(t)/^i_L(t) INDUZIONE

φ_L(t) = ∫_S B(t) · n dS

H(r) = ^NI/_2πr

B(r) = ^μNI(t)/_2πr

φ_L (t) = ^μNi(t)/_{2 rm}

L = μ ^N²S/_2πrm

N = numero di spire

MUTUI INDUTTORI:

φ_C1 (t) = L₁ i_L (t) + M₁₂ i_L2 (t)

φ_C2 (t) = L₂ i_L2 (t) + M₁₂ i_L1 (t)

M₁₂ = _φC12(t)/^i_L2(t), i_L1 (t) = 0

M₁₁ = _φC21(t)/^i_L1(t), i_L2(t) = 0

M = M₁₂ = M₁₁ : coefficiente di mutuo induttante

M² ≤ L₁ L₂ K = ^M/_√L1L2 : coefficiente di accoppiamento

W_m = ½ B²/ _{2 μ [J/m³]} densità di energia magnetica

1/2 L₁ x² + Mx + 1/2 L₂ con x = _i1/^i₂

Con il ciclo di isteresi dissipo lavoro:

P_{emte specifica} = L ^f [Y_m ½ W_K]

TRASFORMATORE IDEALE

n = ^L₂/_M = ^M/_L2 rapporto di trasformazione

_V1/^V₂ = n ^I₂/_I2 = -¹/_n