Teoria completa, Metodi Matematici per l'Ingegneria

INDICE

IL CAMPO COMPLESSO

• Proprietà algebriche 5
• Limite di successione 11
• Serie numeriche 12
• Limite di funzione 13
• Continuità e olomorfia di una funzione 14
• Successione di funzioni 17
• Teorema di Cauchy-Halamad 20
• Teorema di derivazione delle serie di potenze 22
• Analiticità di una funzione 26
• Teorema integrale di Cauchy 27
• Formula integrale di Cauchy 29
• Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor (olomorfia implica analiticità) 30
• Zeri di una funzione analitica 33
• Teorema di caratterizzazione per gli zeri 36
• Teorema di Liouville 37
• Teorema fondamentale dell'algebra 38
• Singolarità di una funzione analitica 40
• Serie di Laurent 43
• Funzione analitica in una corona circolare 44
• Caratterizzazione delle singolarità 46
• Definizione di residuo in un punto 48
• Teorema dei residui 51
• Formula per il residuo in un polo 52

INTEGRABILITA' IN CAMPO COMPLESSO

• Misura esterna 58
• Integrale di Lebesgue 60
• Teorema della convergenza dominata 61
• Teorema della convergenza monotona 62
• Integrale al valor principale secondo Cauchy 64
• Lemmi di Jordan 66
• Integrale di funzione razionale (conseguenze lemmi) 69
• Decomposizione in fratti semplici 72
• Teorema di De l'Hopital 76

TRASFORMATA ZETA

• Convoluzione 79
• Proprietà della trasformata zeta 81
• Equazioni per ricorrenza (applicazioni) 82
• Numeri di Fibonacci 84
• Teorema Master 86

TRASFORMATA DI LAPLACE

• Dominio della trasformata 89
• Definizione di segnale 90

Olomorfia della trasformata 91

Proprietà della trasformata di Laplace 93

Antitrasformata di Laplace 98

Formula di Cauchy 99

Trasformata di Laplace unilatera 100

Teoremi del valore finale e iniziale 101

Applicazioni 102

Formula di Hermit 103

ANALISI FUNZIONALE

Norme notevoli 105

Spazi di Banach 106

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 108

Spazi di Lebesgue 109

SERIE E TRASFORMATA DI FOURIER

Energia di un segnale e polinomio trigonometrico 111

Teorema di sviluppabilità 113

Trasformata di Fourier 117

Proprietà della trasformata 120

Equazione del calore 121

DISTRIBUZIONI

Funzionali integrali 124

Delta di Dirac 125

Cenni generali su distribuzioni 127

Derivata distribuzione, definizione e teoremi 128

Funzionamento della Delta 131

Convoluzione di distribuzioni 132

Distribuzioni limitate 135

Spazio di Schwartz (funzioni a decrescita rapida) 136

Distribuzioni temperate 137

Trasformata di Fourier per una distribuzione 138

Antitrasformazione 140

Trasformate notevoli (Gradino, porta e treno di impulsi) 140

Trasformata di Fourier per un segnale periodico 147

Trasformata di Laplace per una distribuzione 150

Proprietà della trasformata di Fourier per distribuzioni 152

Serie di Fourier per una funzione periodica 153

Problemi di Cauchy con la trasformata di Laplace 154

PROBLEMI AL CONTORNO

Calcolo delle variazioni 157

Equazione di Eulero 159

Problema generico 161

Problemi di Sturm-Liouville 164

Problema di Picard 167

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Equazione delle onde 169

Corda vibrante 169

(x₁ + 3y₁)^-1 =

x₂ - 3y₂

x₁ + 3y₁

x₁ - 3y₁

=

=

x₁ + 3y₁

x₁ + 3y₁

x₁² + y₁²

x₂

=

-3y₂

-3y₂

-3y₂

x₂ + y₂

z

z

=

-

x

Prendo un generico e=x₁-3y₁; graficamente risulta e

e si definisce modulo di z

e si definisce modulo di z

|z|=√(x₂²+y₁²)

|z|=√(x₂²+y₁²)

Risulta quindi z·z^-1=|z|²

|z|=√(z·z)

Postiamo scrivere quindi

z^-1=

1

         z

|z|

Valgono tutte le proprietà del valore assoluto, cioè

1. |z| ≥ 0, |z| = 0 <=> z = 0
2. |z| = |z|
3. |z₁z₂| = |z₁| · |z₂|
4. |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

log z = log (δ e^{i arg(z)}) = log δ + log e^{i arg(z)}

= log |z| + i arg(z) = log |z| + i (θ + 2kπ) K∈ℤ z≠0

associa quindi un numero infinito di valori

Si definisce logaritmo principale quello associato allo

argomento principale,

Log(z) = log |z| + i Arg(z)

Infine z^a = e^{a log z} = e^{a (log (|z| + i (θ + 2kπ))}

Si definisce I_r(z₀) intorno di z₀

I_r(z₀) = { z ∈ ℂ | |z - z₀| < r } z₀ ∈ ℂ r > 0

Valgono le stesse definizioni di insieme

aperto o chiuso, di punti di accumulazione

e punti isolati definiti nel campo reale

Limite nel campo complesso

{ z_m }_{m ∈ ℕ} ⊂ ℂ

• lim z_m = l ∈ ℂ se

∀ε>0 ∃ν ∈ ℕ: m>ν => |z_m - l| < ε e quindi z_m ∈ I_ε(l)

dove I_ε indica un intorno di raggio ε

• lim z_m = ∞ se ∀K>0 ∃υ ∈ ℕ: m>υ => |z_m| > K

definiamo I_r(a) = { z: |z| > r } possiamo riscrivere

∃m>K => z_m ∈ I_K(a)

Dato che soddisfa Cauchy-Riemann, risulta

^∂β/_∂x = -3 ^∂β/_∂y ⇒ ^∂β/_∂y = -3 ^∂β/_∂x e quindi sostituendo

^∂β_h₁/_∂x + ^∂β_h₂/_∂x + o( ^{h_n₁2 + h_n₂2} ) = ^∂β/_∂x (h_₁+-3h_₂) + o( ^{h_n₁2 + h_n₂2 )}

= ^∂β/_∂x h + o(h₁) e passando al limite

lim_h→0 (^∂β/_∂x h + o(h₁)) / h = ^∂β/_∂x C.V.D.

Esempio:

f(z) = e^-z̅ = e^xcosy + e^xg sen y

^∂u/_∂x = e^xcos y

^∂v/_∂y = e^xcos y

^∂u/_∂y = -e^xsen y

^∂v/_∂x = e^x sen y

^∂u/_∂x = ^∂v/_∂y ✔

^∂u/_∂y = -^∂v/_∂x ✔

Soddisfa Cauchy-Riemann ⇒ è olomorfa (infatti)

g'(z) = ^∂β/_∂x = e^x(cosy + 3seny)e^z2

^∂β/_∂y(-3) = e^x(-seny + 3cosy)(-3) = e^x(cosy + 3seny)e^z2

- g(z) = -z̅ = x - 3y

^∂u/_∂y = 0 = -^∂v/_∂x

^∂u/_∂x = +1

^∂v/_∂y = -1

^∂u/_∂x ≠ ^∂v/_∂y

Non soddisfa Cauchy-Riemann ⇒ non olomorfa