Teoria completa, Metodi Matematici per l'Ingegneria

Indice

Il campo complesso

• Proprietà algebriche 5
• Limite di successione 11
• Serie numeriche 12
• Limite di funzione 13
• Continuità e olomorfia di una funzione 14
• Successione di funzioni 17
• Teorema di Cauchy-Hadamard 20
• Teorema di derivazione delle serie di potenze 22
• Analiticità di una funzione 26
• Teorema integrale di Cauchy 27
• Formula integrale di Cauchy 29
• Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor (olomorfia implica analiticità) 30
• Zeri di una funzione analitica 33
• Teorema di caratterizzazione per gli zeri 36
• Teorema di Liouville 37
• Teorema fondamentale dell'algebra 38
• Singolarità di una funzione analitica 40
• Serie di Laurent 43
• Funzione analitica in una corona circolare 44
• Caratterizzazione delle singolarità 46
• Definizione di residuo in un punto 48
• Teorema dei residui 51
• Formula per il residuo in un polo 52

Integrabilità in campo complesso

• Misura esterna 58
• Integrale di Lebesgue 60
• Teorema della convergenza dominata 61
• Teorema della convergenza monotona 62
• Integrale al valor principale secondo Cauchy 64
• Lemmi di Jordan 66
• Integrale di funzione razionale (conseguenze lemmi) 69
• Decomposizione in fratti semplici 72
• Teorema di De l'Hôpital 76

Trasformata zeta

• Convoluzione 79
• Proprietà della trasformata zeta 81
• Equazioni per ricorrenza (applicazioni) 82
• Numeri di Fibonacci 84
• Teorema Master 86

Trasformata di Laplace

• Dominio della trasformata 89
• Definizione di segnale 90

Indice

Il campo complesso

• Proprietà algebriche 5
• Limite di successione 11
• Serie numeriche 12
• Limite di funzione 13
• Continuità e olomorfia di una funzione 14
• Successione di funzioni 17
• Teorema di Cauchy-Hadamard 20
• Teorema di derivazione delle serie di potenze 22
• Analiticità di una funzione 26
• Teorema integrale di Cauchy 27
• Formula integrale di Cauchy 29
• Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor 30
• Zeri di una funzione analitica 33
• Teorema di caratterizzazione per gli zeri 36
• Teorema di Liouville 37
• Teorema fondamentale dell'algebra 38
• Singolarità di una funzione analitica 40
• Serie di Laurent 43
• Funzione analitica in una corona circolare 44
• Caratterizzazione delle singolarità 46
• Definizione di residuo in un punto 48
• Teorema dei residui 51
• Formula per il residuo in un polo 52

Integrabilità in campo complesso

• Misura esterna 58
• Integrale di Lebesgue 60
• Teorema della convergenza dominata 61
• Teorema della convergenza monotona 62
• Integrale al valor principale secondo Cauchy 64
• Lemmi di Jordan 66
• Integrale di funzione razionale 69
• Decomposizione in fratti semplici 72
• Teorema di De L'Hôpital 76

Trasformata zeta

• Convoluzione 79
• Proprietà della trasformata zeta 81
• Equazioni per ricorrenza 82
• Numeri di Fibonacci 84
• Teorema Master 86

Trasformata di Laplace

• Dominio della trasformata 89
• Definizione di segnale 90
• Olomorfia della trasformata 91
• Proprietà della trasformata di Laplace 93
• Antitrasformata di Laplace 98
• Formula di Cauchy 99
• Trasformata di Laplace unilaterale 100
• Teoremi di valore finale e iniziale 101
• Applicazioni 102
• Formula di Hermit 103

Analisi funzionale

• Norme notevoli 105
• Spazi di Banach 106
• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 108
• Spazi di Lebesgue 109

Serie e trasformata di Fourier

• Energia di un segnale e polinomio trigonometrico 111
• Teorema di sviluppabilità 113
• Trasformata di Fourier 117
• Proprietà della trasformata 120
• Equazione del calore 121

Distribuzioni

• Funzionali integrali 124
• Delta di Dirac 125
• Convergenza di distribuzioni 127
• Derivata distribuzione, definizione e teoremi 128
• Campionamento della Delta 131
• Convoluzione di distribuzioni 132
• Distribuzioni limitate 135
• Spazio di Schwartz (funzioni a decrescita rapida) 136
• Distribuzioni temperate 137
• Trasformata di Fourier per una distribuzione 138
• Antitrasformazione 140
• Trasformate notevoli (Gradino, porta e treno di impulsi) 140
• Trasformata di Fourier per un segnale periodico 147
• Trasformata di Laplace per una distribuzione 150
• Proprietà della trasformata di Fourier per distribuzioni 152
• Serie di Fourier per una funzione periodica 153
• Problemi di Cauchy con la trasformata di Laplace 154

Problemi al contorno

• Calcolo delle variazioni 157
• Equazione di Eulero 159
• Problema generico 161
• Problemi di Sturm-Liouville