Teoremi fluidodinamica, prof. Andrea Crivellini

Isotropia alla pressione

Pressione:

Rapporto della forza f ad una sup. s: f/s. Vediamo la sua proprietà e il suo andamento.

Triangolo fluido in equilibrio.

Equilibrio

X:

• P₂Δz - P₃ Δ_x sinΘ = 0 (P₂=P₃)

Z:

• P₁Δ_x - P₃Δ_xcosΘ - ρg Δ_z²/2 = 0
• X:
• P₁-P₃ - ρg Δ_z²/2 = 0

Facendomi ai limiti per Δ_z → 0 allora P₁ = P₃ (= P₂)

Le pressioni in un punto non dipendono con le direzioni, questa proprietà è detta

Isotropia delle pressioni

Determinando l'andamento delle pressioni

Equilibrio

X:

• P₃ Δ_z = P_u Δ_z

Lungo piano a _x cost la pressione è _costante lungo tutto il piano _{(stessa quota)}.

Z:

• P₁ Δ_x - P₂ Δ_x - ρg Δ_z Δ= 0
• (P₂-P₁) = -ρgΔ₂

dP/dZ = -ρg _STEVINO

Lo sviluppo della pressione lungo _z è costante ⇨ andamento lineare del logaritmo della pressione. Maggiore è il ρ, maggiore è l'andamento lineare della pressione.

(tomba di variabili) Integrando: P_{z + P1 = Pz¹ errore: ρg z = cost.}

Isotropia alla Pressione

Pressione: Rapporto della forza f ad una ∆s. f e sup. fluido. Vediamo le sue proprietà e il suo andamento.

Equilibrio

• X: P₂ ∆z - P₃ ∆x sen θ = 0          (_P2 = P₃)
• Z: P₁ ∆x - P₃ ∆x cos θ - ρg^∆z/₂ = 0
• P₁ - P₃ - ρg^∆z/₂ = 0

Facendosi al limite per ∆z → 0 allora P₁ = P₃ (= P₂)

Le pressioni in un punto non dipendono con la direzione, questo proprietà è detto isotropia, la pressione è isotropa.

Determiniamo l'andamento delle pressioni

Equilibrio

• X: P₃ ∆z = P₄ ∆z

Lungo piano in alto quota le pressioni ti contanti lungo tutto il piano (stessa quota).

• Z: P₁ ∆x - P₂ ∆x - ρg_∆z= 0
• (P₂ - P₁) = - ρg ∆z
• dP/dz = -ρg

Stevino: Lo divento della pressione lungo z è costante → andamento lineare del logaritmo della pressione

Maggiore è p↑ maggiore è l'elemento diverso dalla pressione (lavoro globale de'.)

Integrando:

P_b + z₁ = P_a + z₂      ovvero      P + ρ/2 = cost.

SPINTE SU SUPERFICI PIANE

Determiniamo la SPINTA (forza) dei oggetti su una qualsiasi superficie e il suo punto d'applicazione.

Consideriamo un tratto infinitesimo da un corpo, le spinta infinitesima dF.

CALCOLIAMO LA SPINTA

dF = ρg h dA = ρg dA (γ y_me)

I dF_A = ∫_A ρg y^me dA = ρg y_me (1/A ∫_A y dA) A

S = ρg y_me γ_G A = ρg h_G A

CALCOLIAMO IL PUNTO DI APPLICAZIONE

dΠ = dF y = ρg y² me dA momento calcolato rispetto ad "O"

∫ dΠ = ∫_A ρg y² me dA = ρg y_me (∫_A y² dA)

Del teorema di HUYGENS I = I_G + γ_G² A

Π = ρg y_me (I_G + γ_G² A)

Il momento lo trattiamo con la SPINTA per il punto di applicazione (di uno determiniamo).

ρg M_G A - Y_CP = ρg Y_G seno θ - Y_CP = ρg (seno θ)(I_G + γ_G² A)

Y_CP = ^I/_{γG A} + Y_G (e sempre sotto il baricentro ultimo ^I/_{γG² A})

Cinetica dei Fluidi

In fluidodinamica si studia davvero il moto del fluido utilizzando un approccio EULERIANO utile per definire il campo di moto. Le eq. di Navier-Stokes sono tipicamente espresse in questo sistema di riferimento, mentre un punto di vista, il riferimento LAGRANGIANO, può essere d'aiuto per risolvere l'equazione di bilancio di forza su una singola particella.

Punto di Vista Euleriano

Proprietà del fluido (velocità, densità, pressione) sono definite come funzioni dello spazio (tutte posizioni (x) ) e del tempo (t)

Avere una determinata porzione di spazio ( V(t) ) e ideali come cambia il comportamento di tutte le particelle che passano (x) e (t)

Punto di Vist