Teoremi e teoria Analisi 1

Principio d'induzione valido solo in N!

P(n) predicato che dipende da n ∈ N

1. P(0) è vero
2. Assumo P(m) vero e dimostro che P(m+1) è vero. Se verificato, P(n) è vero.

Ragione q: rapporto costante tra un termine e quello che lo precede

q = (1 - qⁿ) / (1 - q)

Disuguaglianza di Bernoulli

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Dim induzione:

1. P(0): n > 0 → (1 + x)⁰ = 1 (1 + x)⁰ ≥ 1 Poiché P(0) 1 + nx = 1 + 0x = 1
2. Supponiamo valga (1 + x)^m ≥ 1 + mx Dimostro (1 + x)^m+1 ≥ 1 + (m + 1)x
3. Abbiamo (1 + x)^m+1 = (1 + x)^m (1 + x)
4. Poiché (1 + x)^m ≥ 1 + mx, anche (1 + x)^m(1 + x) ≥ (1 + mx)(1 + x)
5. ≥ 1 + mx + x + mx²
6. ≥ 1 + (m + 1)x + mx² ∀ x > 0

Per principio d'induzione, P(m) è vero

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + (m + 1)x

Fattoriali

0! = 1: 1, 2, 3 ... (m-1)(m)

Coefi. Binomiale (m k) = m! / (m-k)! k!

• (m 0) = 1
• (m m) = 1
• (m k) = (m k - 1) + (m - 1 k)

Rel. di Equivalenza

1. Riflessiva
2. Simmetrica
3. Transitiva

in Q (n. Razionali) è definita ()

1. R = l'operazione somma → prop. comm. prop. assoc. esiste el. neutro e inverso
2. Simmetrica (prop. -el.)
3. Transitiva (prop. comm. + assoc. el. neutro 1/an)

Rel di Ordine

In un insieme ordinato, verso è definita la relazione di ordine (≤)

• Riflessiva (à identità)
• Antisimmetrica
• Transitiva (à transitiv)

Campo ordinato: insieme in cui sono definite operazioni: somma e prodotto e una rel. di ordine, che soddisfano R₁, R₂, R₃

Campo: insieme che soddisfa proprietà R₁, R₂ (derali (somma e prodotto))

• Q e R sono campi ordinati.
• (Q, ≤) tot ordinato, non ben ordinato come N

Sia W insieme numerico:

E ⊆ R

Si dice limitato se esistono m, M ∈ R tali che ∀ x ∈ E m ≤ x ≤ M

E si dice superiormente limitato se ∃ M ∈ R tale che ∀ x ∈ E x ≤ M

Inferiormente limitato se ∃ m ∈ R, ∀ x ∈ E m ≤ x

∀ x ∈ E x ≤ x ∉ x ∉ x ∉ x ∈ (.

Es: m mas nas page se: X, minimi per E se:

• ∀ x ∈ E x ≤ x
• x ∉ x ∉ x ∉ x ∈

es: ∃ x ∈ E R 1/x+3 (-1.4) imp. limmas min (N) ≠ 0

• x ∉ x ∉ x

Finiun e X max priciale di E.

PRINCIPIO D'INDUZIONE VALIDO SOLO IN N!

(P(n) PROPOSIZIONE CHE DIPENDE DA n ∈ N

1. P(0) È VERO
2. ASSUMO P(m) VERO E DIMOSTRO CHE P(m+1) È VERO. SE VERIFICANO, P(n) È VERO.

RAGIONE: RAPPORTO COSTANTE TRA UN TERMINE E QUELLO CHE LO PRECEDE

q = 1-qⁿ / 1-q

DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx

DIM. INDUZIONE:

1. P(0): n=0 → (1+x)ⁿ = 1, (1+x) = 1 → Vero P(0) 1 + mx = 1
2. SUPPONIAMO VALGA (1+x)^m ≥ 1+mx DIMOSTRO (1+x)^m+1 ≥ 1+(m+1)x ABBIAMO (1+x)^m+1 = (1+x)^m (1+x) POICHÉ (1+x)^m ≥ 1+mx, ANCHE (1+x)^m+1 ≥ (1+mx)(1+x)

PER PRINCIPIO INDIZ., P(m) È VERO

FATTORIALI

0! = 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...(m) = m!^n! _num.pres (_n^m) = _m! / _m!m!

REL. DI EQUIVALENZA

• RIFLESSIVA
• SIMMETRICA
• TRANSITIVA

REL DI ORDINE

• RIFLESSIVA
• ANTISIMMETRICA
• TRANSITIVA

IN Q (N,RAZIONALE) E DEFINITA PROD E INVERSO R,F UN INSIEME ORD. NUMERO (ASSOCIATIVO)

CAMPO INSIEME: INSIEME IN CUI SONO DEFINITE LE OPERAZIONI: SOMMA E PRODOTTO CHE SAFA REL. D'ORDINE, CHE SODDISFANO REL.COMP.LE PROPRIETÀ

DATO UN INSIEME NUMERICO: ⊆ F

SI DICE LIMITATO SE ESISTONO m,M ∈ TALE CHE ∀ ∈ m ≤ ≤ M

È IL MINIMO PER SE: 1) ∀ ∈ ≤ 2) ∀ ∈ = MIN PER : x̄₁ < x̄₂

SIA _E UN INSIEME NUMERICO: _E ⊆ R

- _a ∈ R SI DICE MAGGIORANTE PER _E SE ∀ x ∈ E x ≤ _a

- _b ∈ R SI DICE MINORANTE PER _E SE ∀ x ∈ E _b ≤ x

SE _E è SUPERIOREMENTE LIMITATO

∃ _M ∈ R TALE CHE ∀ x ∈ E x ≤ _M