Teoremi e teoria Analisi 1

SIA E UN INSIEME NUMERICO: E ⊆ ℝ

a ∈ ℝ SI DICE MAGGIORE PER E SE ∀ x ∈ E x ≤ a

b ∈ ℝ SI DICE MINORANTE PER E SE ∀ x ∈ E b ≤ x

SE E SOPRASTANTE LIMITATO

∃ M ∈ ℝ t.c. per ∀ x ∈ E x ≤ M

a ∈ ℝ MAGGIORANTE PER E

M è il più picc.

M = sup

E ₂ → 3

a ∈ ℝ SI DICE ESTREMO SUPERIORE DI E Sup (E) = a

IL MINIMO DEI MAGGIORANTI

a = min (M) dentro M l’insieme dei maggioranti di E

E ⊆ ℝ

b ∈ ℝ SI DICE ESTREMO INFERIORE DI E Inf (E) = b

IL MASSIMO DEI MINORANTI

b = Max (m) dentro m l’insieme dei minoranti di E

TEOREMA

Ogni insieme E ⊆ ℝ non vuoto limitato SUPER ANNIENTE ES. ESISTE SUP. INF.

ESEMPIO

E = {x ∈ ℝ : x = 3^½} ⊆ ℝ

CERCO MAX E.

√₃ = sup (E)

CERCO Min E. E non esserlo: E = {0 < ε²}

a = 1 - 4M²

non vale la disuguaglianza (∃ x ∈ ℚ t.) dunque E ⊃ 0

○ = Inf ⊇ (E) ⊇ E → ∆ min E

Funzioni

Terna di elementi (A, B, ) dove A, B insiemi e (relazione) che lega ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Im{ } b e B | a e A | (a) b

Una funzione è limitata quando è limitato Im{} R.

• superiormente limitata
• inferiormente
• crescente in I x e I con x < x'
• strett. crescente
• decrescente
• strett. decrescente
• monotona in I crescente o decresc.

pari x e A

dispari x e A

Suriettiva se Im{ } B

Iniettiva se (x₁) = (x₂) x₁ = x₂

• esiste unico

f: Im{ } D

o ₙ e ₙ SUCCESSIONI CONVERGENTI → FORME DI INDETERMINAZIONE

[∞ - ∞] (ₙ - ₙ)[∞/∞] (ₙ/ₙ)→ NON SI POSSONO RISOLVERE → SEMPLIFICO I CALCOLI OPERANDO IN MODO ALGEBRICO OSSERVANDO SULLA I° DERIVATA[0 . ∞][0/0]

CASO IN CUI LE SUCCESSIONI NON POSSONO APPLICARE LE SOSTITUZIONI:

GERARCHIA DEGLI INFINITI

₂(ᵐ)_ᵏ = 0 ex: 3° > ² > ₂()!=1 < =!^1/ → // ... (ₙ)ₙ= c = c^1/ = ... = ...

SE LO ANCHE SUCCESS.: lim = ∞ ...

ₙ e ₙ SUCCESSIONI INFINITE

(ₙ/ₙ) (ₙ/)= ∞ = 0 // INVECE DI INFINITO INDETERMINATO= c

ₙ e ₙ SI DICONO ASINTOTICHE SE: (ₙ/ₙ) = _(→∞)

1) RELAZIONI DI EQUIVALENZA:a) RIFLESSIVA ₙ ~ ₙc) SIMMETRICA ₙ ~ ₙ e ₙ ~ ₙd) TRANSITIVA ₙ ~ ₙ e ₙ ~ ₙ allora ₙ ~ ₙNON E’ DETTO CHE ₙ/ₙ, < ₙ ≠ ₙₙ/ₙ ≠ ₙ e ₙ ≠ ₙ

CRITERIO DEL RAPPORTO (per SUCCESSIONI) ₙ > 0 (succ. POSITIVO NULLO)

< = ₙ₊₁^1/3/∴ lunghezza < = ...

≠0 allorché ₙ≠0 ≠ 1 = è detta dice ... (per nesto.)

Teorema:

Sia ∑ a_n che converge assolutamente, allora ∑ a_n converge anche semplicemente.

Dim:

Hp: converge assolutamente

∑ |a_n| converge

Se

2 (|a_n| - a_n) ∑ −∞ (a_n+1)ⁿ⁼⁰ → converge!

∑ |a_n| converge

• Oss: 2 |a_n+1| ≥ 0, quindi ∃ infin. {x|x ∈ X | x ∈ R}
• Oss: 2 |a_n + 1 | ≥ |a_n|, per la categoria del convergente ∑ (a_n + 1) ∞ = ∑ −∞ |a_n|

Serie alternato:

1. Sia ∑(a_n + 1 → 0 ↑ n ∈ N), allora (a_n ± 0) ⇔ convertito assoluto.
2. Sia ∑ convergente assoluto:
3. Sia a_n modulo di durata - convergente a_n elegante.

Criterio di Leibniz

Sia ∃ una sequenza alterno:

∑ (|a_n + 1 |−1) ⇔ − (a_n ± 0)

Alterno se:

(1) lim b_n ≠0

Se l'eleganza di criteriometro:

1. lim a_n → 1_bn = 0
2. (2) b_n monotono decrescente

Allora la serie converge semplice:

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ funzione.

x₀ è di accumulazione per A

se lim_x→x0 f(x) = l₁ e lim_x→x0 f(x) = l₂

Tesi: l₁ = l₂

lim f(x_n) = l₂

Per il teorema di unicità del limite per successioni

lim_x→x0 f(x) = l₁

Per assurdo l₁ ≠ l₂

l₁ ≠ l₂ → ^{l₁ + l₂}⁄₂

(l₁ - ε, l₁ + ε) ∩ (l₂ - ε, l₂ + ε) = ∅

lim_x→x0 f(x) = l₁

lim_x→x0 f(x) = l₂

Scelgo δ = min (δ₁, δ₂)

a) |f(x) - l₁| < ε → f(x) ∈ (l₁ - ε, l₁ + ε)

b) |f(x) - l₂| < ε → f(x) ∈ (l₂ - ε, l₂ + ε)

quelle intorni sono disgiunte

↘ Assurdità

Continuità:

Def   funzione

E preso   dico che

è continua in se esiste finito

Cosa succede se non è continua?

2.   X_0 è un punto di discontinuità eliminabile

1.  

2. 

X_0 è un punto di 

3.

 o non esiste

X_0 è discontinuità di II specie

Teorema (1)

f,g:A->IR   Xo