Teoremi e dimostrazioni, Ricerca operativa

PLI

1. Teorema Se la soluzione ottima x^* del rilassamento lineare è intera, allora è ottima anche per il relativo problema intero.
2. Dimostrazione

   C_x = ZL ≤ Z_I C_x^* = Z_I^* ≤ C_x^*

3. Definizione Il rilassamento lineare di un PLI è un problema lineare (PL) uguale al relativo PLI ma senza il vincolo di interezza.

Tagli

1. Definizione Un taglio è una disuguaglianza che verifica le seguenti proprietà:
   1. X ∈ X_I, ∆X = ∆_o (cioè ax ≤ a_o, si vede nei piani di taglio)
   2. aᵀx_I ≥ ∆_o (cioè a_Ix ≥ a_o) Non vale per X_PL
2. Tagli Chvátal Il taglio di Chvátal è definito come:

   lᵀUAx ≤ s_Ub ⇒ lᵀUAx ≤ ⌊lᵀb⌋ ⇒ A⁽k⁼⁾x ≤ a⁽k⁾[l]^⁼

   La chiusura di Chvátal P₂ = P_o ∩ {A⁽k⁼⁾x ≤ a⁽k＝⁾} dove P₀ z=S pto iniziale

   Il secondo taglio può essere {lᵀUA + uᵀA^(k) | uᵀb + u_b^(k)}

   Da qui P₂ ⊆ P_o ∩ {a^(k¹²)} ⊆ {a⁽ⁿ⁾} ⇒ P_o ⊆ P₁ ⊆ P_N

   P_(n) = conv (X) = involucro convesso con range di CHARATIA

3. Tagli di Gomory Le formule per il taglio di Gomory e:

   X_B + B^-1F_XE = b

4. Formulazione intera X_I = ∑_j (a_Ij⋅⌊x_j⌉)X^S ≤ b_N - Lb_Mj⌉

UM e TU

1. Definizione UM Una matrice A di interi di dimensione m x n (m ≤ n) si dice unimodulare se ogni sottomatrice Bᵐ x m ha det(B) ∈ {0, ±1}
2. Teorema UM Se A è una matrice unimodulare e b è intero, allora il poliedro P_{{x ≥ 0 | Ax = b}} ha vertici interi (non tutti).

1. DEFINIZIONE TUM:
   • una matrice intera A di dimensioni m x n si dice TOTALMENTE UNIMODULARE
   • se det(B) {0,1} per ogni sottomatrice quadrata B di qualsiasi ordine.
2. TEOREMA TUM V.inte:
   • Se A è matrice intera TUM e b intero allora il politopo P: {x>0 Ax> b} ha solo vertici interi.
3. DIMOSTRAZIONE TUM V.inte:
   1. Sia x^ un vertice di P, dobbiamo dimostrare che è intero
   2. Mostriamo che (x^s^) con s:A^1.b è un vertice del poliedro P:{x,s>0|max degli s-s=b+} (si sparabolà di SLA0C)
   3. Supponiamo che (x^s^) non sia un vertice [per assurdo]
   4. =>
      • esistono due punti distinti (y1, s1,e1) (x,s)+ di P1 tale che k(x^s^)
      • è la loro combinazione lineare e (x^s^)=x (y1,s1,e1)+1(x1,s1,e1) con l = e [0,1]
   5. Si osserva che (x1,s1,e1) (x2,s2) sono interni al poliedro e per definiz. e >
      • s1.b1+s2.b2 > 0, s=s1+s2, A1=A2 b1=b2
   6. (x1,s1,e1) e (x2,s2,e2) sono distinti => x1=/=x2 ma x >
      • x>x1 l(x1)+(1-l)x/l per cui è interno al poliedro ma x*
      • non può essere->un vertice => assurdo
   7. Poiché A e TUM => [A -I] è A=E AÈ TUM => tutti i vertici di P sono interi => x^
   8. intero
4. TEOREMA TUM CONDIZIONE SUF:
   • Sia A matrice con aijs- {0,1} V nES A è TUM se:
   • Ogni colonna A ha al massimo 2 elementi non nulli,
   • Esiste una biiezione delle righe di A
5. DIMOSTRAZIONE
   1. Dobbiamo dimostrare che det(Q) {0,±1} è sottomatrice quadrata Q di qualsiasi ordine K con K G1 [a1j] di a1j di A con {0,1}
   2. Passo Induttivo K>1, no 3 CASI
   3. 1. Q ha una colonna di 0 => det(Q)=0
   4. 2. Q ha una colonna con un solo elemento non nullo
   5. =>Q=|*...*...*0*...*...*0*| => Q ha dim K-1 =< K =>
   6. |0*...*...*0*...*...*0*| => det(Q) = ±1 |±1 det(Q)
   7. ...*...*| ...| => det G {0,±1} per Hp induttiva
   8. 3. In tutte le colonne di Q con esattamente e elementi
   9. non nulli, Q lo rappresentiamo con permutazioni Ij+Ie
   10. I=
       • det(Q) = det|Q|= ∑ sign1+sign2 =|0-0|
       • Ie righe linearmente INdipendenti => det(Q)=0 = □

Teorema KÖNIG: (in un grafo bipartito β= <=min|C|)

max|M|=min|C|

DIMOSTRAZIONE

Costruiamo col solito procedimento il grafo orientato per il calcolo del flusso f con (s,t)∈ Fig.

Dobbiamo dimostrare: (3⇔4)∫7 Matching M t.c. |M|=z→z≤|s|∞Possiamo costruire (7⇔8) Node Cover C di G c.c. |C|=7 capacità di |C|.

(1⇔2)

Pongo ad 1 gli archi del Matching e ∫=Peso degli archi. ∞i e (sj)

dove, si sono nodi accoppiati on M→il flusso è ammissibile e z è la cardinalità del Matching.

(1⇔2)

Consideriamo archi f(può essere all'interno de), e il bordo in T e finite a[U3] [N1.

Ogni archo,(s) ∈ con = =, costruiamo ∈ in Matching M t.c.

(∈N)

Non esiste un tocca all'arco in port mish è che dobbiamo dare nodi in comune.

N.B. gli starchi originali sono esternamenti ob, flusso = 1 e GEµ

quindi in Matching è d cardinale

(∃IREA MED</p>st. FLOW⇔ + CUT⇔Covermi

→MATCHING⇐⇒FLOW⇐⇒CUI⇐∞∀COVER

CVP

DEFINIZIONE:

Se dato un grafo non orientato G e se dato un Matching M, si definisce CAMMINO ALTERNANTE il cammino costituito alternatamente da archi accoppiati e archi liberi.

DEFINIZIONE:

Se dato un cammino alternante, esso è aumentabile se il primo e l'ultimo nodo sono esposti.

TEOREMA:

Sia M un matching su un grafo G e se P un cammino aumentante. Allora subirne un hative:

)∞,= P

∩=∞ρ

(∞)=Mci=Gca., in);=U:

∞+se pun matching d cardinalità |M|

DEMOSTRAZIONE:

Archi di Μ che non appartengono a P restano in М∞.

Archi di Ρ che non appartengono a М restano in Μ.

Archi di Ρ che apparterligono a Γ vengono esles inM k):

Per il non po rinon tocchi da ρ non cambia β(

Arcolorue in∈ūmh mathing per ri gli nodi interessi di Ρprime incidenti gli arco diΜe in uno di cope di ∃Mutex:

I nodi estorurmi, i Ρ sono losest in τrasalco accoppiato second M , e in || puo per costruzione |M|₁.:i|M|_i⁺¹.