Teorema Fritz John, punti di KKT, programmazione convessa, dualità di Wolfe e Lagrange

Condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione vincolata

min f(x)

s.t. g(x) ≤ 0 h(x) = 0

F = { x ∈ Rⁿ : gᵢ(x) < 0, hⱼ(x) = 0 }

v incide ott. v : I(ε) = { x ∈ ε (x₁, ..., xₘ) : qᵢ(x) = 0 }

Teorema di Fritz-John

Scrivere f, gᵢ ∈ C¹ (Rⁿ), hⱼ ∈ C¹ (Rᵖ) per ogni i = 1, ..., m; hⱼ ∈ C¹ (Rᵖ), per ogni i, j = 1, ..., p. Se x̄ è un minimo locale di F allora esistono degli scalari λ₀, λᵢ, μⱼ (i = 1, ... m) (j = 1, ... p) non tutti nulli tali che:

λ₀ ∇f(x̄) = ∑ (i = 1, m) ∇gᵢ(x̄)λᵢ + ∑ (j = 1, p) ∇hⱼ(x̄)μⱼ = 0

gᵢ(x̄) = 0      i = 1, ... m

λ₀ ≥ 0      λᵢ ≥ 0      i = 1, ... m

La funzione di Lagrangiana

L : I, R → Rᵐ + Rᵖ → R

L(x, λ, μ) = λ₀ f(x) + q(x)ᵀλ + h(x)ᵀμ

∇ₓ L(x̄, λ₀, λ, μ) = λ₀ ∇f(x̄) + ∇g(x̄)ᵀλ + ∇h(x̄)ᵀμ = 0

λᵢʸgᵢ = 0

gᵢ(x̄) ≤ 0      hⱼ(x̄) = 0

1 ≥ 0      λ ≥ 0      (λ₀, λ, μ) > 0

Un punto x̄   ∈   Rⁿ   è   detto   punto   di   F: λ₀ se   esistono   degli   scalari   λ₀,λᵢ coni, i = 1, ..., m   μⱼ, j = 1, ..., n   tali che le condizioni trascendent sono verificate

Se l'orda intorno ad di p, dove S Tasera con disco e io soliti x l'

Un put ov io. Karush - Kuhn - Tucker (KKT) Se esistono delle solari u:

con i = 1,..., m e j = 1,..., n ci sono verifica le

seguenti condizioni:

a) ∇ƒ(x) + ∑ ∇h(x)μ ≥ 0

μ ∈ R

b) ¦(x) = 0

c) g(x) ≤ 0

λ ≥ 0

d) C(datifooli - hkh, T e t(aL)T

m i i) si N può scrivere ∇L*(x, λ, μ) ≥ 0

Per parla, peroz alche che le le di key T sono C. N. dell uk mo locale

si dole di io della che l' insieme com superé a il sufficie ted ta ("opedo"

x, i e (19.!) e, j (10) la mia, un. = ..., ... tale h ∈ Ci 207

N cer, vel per la = dive a ÷ 3 qui da a minima locale dier ja F

allo se esistra una vel ra isșa, = 1(2) tale he:

ρ ∇g(x) + ∑ ∇h(x) μ = 0

x I(x)

λ0 = 0

Se i O ll seguenti "poteľa' condiora e soddisfatte si potre dol pro'nelo du nebellel da ne

e o plen ne do un minino to (cot) doloj il a y x tale di KKT.

p) (llonderca): a, 1 2, 3 4,...m e h1 h2, ..., i 1,...p sono funconi lineov

b)Lice di Mongorolin Foroneria va consulook! desio.

∑ s. α∇ƒ(x) + ∑ B 1 ∇h (a) = 0

e cio (a) j=1

a) onde ai iponderfa nelico de t di a "pedile" de (ın del culou)

vel; d1: V o i=1

si sono resenzie indhvanrei soiðo quos o inedu

J: dinse nie i Fi la F che rinche e isz de α — s sodifae le condidi eone

del Focam sono una i

I(T(x)) = { ξ ∈ X: α∑ |α| ≥ 0}, prima degli indici di L₁ c.d. decido

Lemma

Siano f_i C¹(ℝⁿℝ) g, λ ∈ C¹(ℝⁿ) V_x α_i = 1,...,m e h_i (x) ∈ C¹(ℝⁿ).M. p.s ) z_ξ è sequenza di punti interni a fissi S_λ del tutto.Sup_ξ g(z_ξ) ed accumulazione delle sequenze f (xy) che soddisfa e supersio inferto :

non possono esistere quindi, poiché) z_λ = 0 => z ∈ I(T(x) e β_j, j = 1...p non utilizza N_H ne :

∑_{i∈C(L' i )} α_i ∇f_i(x) = ∑_j=1 β_j ∇h_j(x) = 0Allora x è un punto di ∗T T ∗T

Problemi di ricopertura connessa

Dato un insieme (. C ⊆ ℝ) si dica che C è un insieme connesso se per comunque scelti due punti x, y ∈ C e comunque scelto un scalare t ∈[0,1] si ha che tx + (1- 2 Obl )y ∈ C

Sia. C ⊆ ℝⁿ un insieme connesso e ¹ ; i c∼DP₁ C dica che ƒ è connesso su C ∼ comunque scelti due punti x, y ∈ C e comunque scalature scalare t il ho tƒ(x) + (1 - t z ) y 2 ƒ(t) + (1 - t a) ƒ(y)

• Strettamente connessa ++ 4, y ^" Concaòe ^"Stipulante connessa ++ 4, e ^{i )}

Sia C C ⊆ ℝⁿ un insieme connesso ^operto e Ƒ ƒ è continumente. differenziable su C dolce(i) if ƒ è connessa (concave) su C se è seriaòle se va ogni x ∈ C c sino

ƒ¹(y) - ƒ¹(x) ≤ (σ) ∇ ƒ(x)^t (y - x) (ii) sefut compromise connessa (concava) wi con m x y sino ƒ(y) - ƒ(x) ≤ (ƒ)¹ (x) ^t (y-1)

Sia ƒ molte volte continumente differenziable se c dolce

(iii) if ƒ è connessa (concave) su C se è scromal se va ogni x ∈ C ⁱ ho Главd ³ B ⁴ (1)x. dⱯ B (. .

cosftesh commentd dovah ⁾ if conposti

(iv) sintomato connessa (concaoju) w w o ⁾ d ⁾

∇^{2 sup(T} remark zad» n ( Mediterranean ⁾

λ ≥ 0 per definizione

L(xⁿ, λⁿ, μⁿ) = f(xⁿ) + λⁿ q(xⁿ)

+ μⁿ h(xⁿ) per definizione

λ ≥ 0, q(x)⁰

∀ i q(xⁱ) ≤ 0

→ μ = ó q(xⁱ) < 0

→ (μ − μⁿ)^T h(x)^T < 0

...ψ(xⁿ) = 0

→ −xⁱ − μⁱ q(xⁱ) ≤ 0

− ∂ⁿ q(xⁱ) = 0

Con x, x = 1 e μ, q o anche al contrario

∀ i

xⁱG x, q(x)ⁱ ≤ h(x)ⁱ ≤ 0

∀ δ ∈ X

L(xⁿ, λⁿ, μⁿ) < L (x, λ, μ)

∀ δ = x

...f(x) + λ^ψ q(x)ⁱ + μⁿ q(x)ⁱ ≤ f(x)¹ + λⁱ⁺¹ q(x¹) + k μⁱ h(x)ⁱ

...f(x)¹ = f(x)ⁱ + x q(x)ⁱ ≤ 0

+ λⁱ q(xⁱ) + μⁿ h(xⁱ)

f(x)¹ ≤ f(x)ⁿ

∀ δ ∈ x

q(x)ⁱ ≤ 0

h(x) ≥ 0

N.B.

• q(x)ⁱ ≤ 0
• h(x)ⁱ ≥ 0

∀ δ ≠ a x δ

...∃ δ0 (xⁱ, λⁱ⁺¹, μⁱ) un p.s. debole in x

∀ δ ∈ X λⁱ ≥ 0

• q(x)ⁱ ≤ 0
• h(x) ≥ 0
• λ ≥ 0
• (xⁱ) q(x¹) ≤ 0
• L(xⁿ, λⁿ, μⁿ) = min_u∈ℝ L(x, λ, μ) ≤ 0

∀ δ ∈ (xⁱ, λⁱ, μⁱ) ≥

→ x δ x δ

Falso

L((1-λ)x₁ + λx₂) > (1-λ) f(x₁) + λ f(x₂)

f(x) = c (x - x₁)(x - x₂) + f(k)

2) e 3) per definizione

Disuguaglianza di Jensen (valida forte)

f : ℝ → C^1(ℝ) e convessa se, ∀ [x] ∈ ℝ, ∃ k ∈ (x, x'₂) se c ≠ 0 allora x₂ ∈ (x'₁, x₂) ∀ i, quindi

L(x) = L(x₁, x₂, ...) = q(x) = f(x₁)

Parte 3

L(x₁, x₂, ... , x_n) = 1/2 ( ∑ x'/q(x) ) + (x'/q(x)) log(β'/x'²) = f(x'/x)

si o f ∈ C¹(ℝ) e convesso su (ℝ^n)^d allora f ∈ C^-1(ℝ) e convesso su un punto ad ore†

Problema Quadratico

min x^tQ_sx + c^tx

Ax ≤ b

+ &exists; &Sureq; 0 c ∈ Rⁿ, A ∈ ∃ R^m, b ∈ ℝⁿ

C ∈ ∃ (m) &London; ℙℕℑ

b ∈ (m)

max x^tQ_sx + c^tx

ΔQ(L,x₁) = ∀&Si; 𝔓

max -½Q_A + b + c > 0

min -½Q_sx + b ⟵ 0

∾ −min x^tQ_mx + c^™x ≤ b

∂x^t + c = 0 ↳