Teorema fondamentale dell'algebra e regola di De Moivre

Teorema fondamentale dell'algebra

Un’equazione algebrica ha sempre soluzione nel campo dei numeri complessi.

Equazione algebrica

Un'equazione del tipo a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + … + a₁z + a₀ = 0 ammette “n” soluzioni nel campo complesso, dove a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ ∈ ℂ.

Equazione quadratica

Per un'equazione del tipo ax² + bx + c = 0, possiamo distinguere:

• Δ > 0: Due radici reali e distinte
• Δ = 0: Due radici reali coincidenti
• Δ < 0: Due radici complesse

Es.: 2z² + 3z + 4 = 0 con \(\Delta = 9 - 16 = -7\) (Δ < 0)

Le radici sono \(-3 \pm \frac{\sqrt{-7}}{2} = -3 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}i\).

Numeri complessi

Regola di De Moivre

La regola di De Moivre afferma che \((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)\).

Es.: z = (1 + i)

Calcoliamo \(\rho = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\), \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

z¹² = [\(\sqrt{2}\) (cos \(\theta\) + i sin \(\theta\))]¹²

= \((\sqrt{2})^{12} [\cos(12\theta) + i \sin(12\theta)]\)

Infine, \(\cos(12\theta) = \cos(3\theta)\) e \(\sin(12\theta) = \sin(3\theta)\).