Teorema di de l'Hopital

Teorema di de l'Hôpital

Hp. Siano \( f \) e \( g \) definite e derivabili almeno in un intorno di \( x_0 \in \mathbb{R} \), escluso eventualmente \( x_0 \).

Sia \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \) oppure \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty} \).

Sia \( g'(x) \neq 0 \) in un intorno di \( x_0 \), escluso eventualmente \( x_0 \).

Esista \( \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) \(= l \in \mathbb{R} \).

Th. Allora \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \).

Nota: Vale il teorema analogo per \(\lim_{x \to x_0} / \lim_{x \to x_0^-}\).

Oss

1. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{0^+} = +\infty\).

   Però \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{\sin x} \neq \lim_{x \to 0^+} \frac{-\sin x}{\cos x} = 0 \neq +\infty\).

Attenzione alle ipotesi!!!

2. Se non esiste \( \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) il teorema non dà informazioni.
3. Per alcuni limiti notevoli, il teorema dà il risultato esatto, ma l'applicazione è scorretta.

Ad esempio: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).

Con de l'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \Rightarrow \) Risultato esatto.

Per applicare il teorema occorre conoscere la derivata di \( e^x \); tale derivata si calcola proprio sfruttando \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)!

Teorema di de l'Hôpital

Hp: Siano f e g definite e derivabili almeno in un intorno di x₀ ∈ ℜ, escluso eventualmente x₀.

Sia lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} g(x) = 0 oppure lim_{x → x0} ^f(x)⁄_g(x) = ∞⁄∞.

Sia g'(x) ≠ 0 in un intorno di x₀, escluso eventualmente x₀.

Esiste lim_{x → x0} ^f'(x)⁄_g'(x) = l ∈ ℜ.

Th: Allora lim_{x → x0} ^f(x)⁄_g(x) = l.

Nota: Vale il teorema analogo per lim_{x → x0⁺} / lim_{x → x0^-} sotto ipotesi.

Oss

1. limx → 0+ cos x⁄sin x = 1⁄0+.

   Però limx → 0+ cos x⁄sin x = limx → 0+ -sin x⁄cos x = 0 ≠ +∞.

Attenzione alle ipotesi!!!

2. Se non esiste lim_{x → x0} ^f'(x)⁄_g'(x) il teorema non dà informazioni.
3. Per alcuni limiti notevoli il teorema dà il risultato esatto, ma l'applicazione è scorretta.

Ad esempio: ^{ex - 1}⁄_x.

Con de l'Hôpital: lim_{x → 0} ^ex⁄₁ = 1 => Risultato esatto.

Per applicare il teorema occorre conoscere la derivata di e^x; tale derivata si calcola proprio sfruttando lim_{x → 0} ^ex-1⁄_x = 1!

Es. di applicazione

Sia f(x) = sinx/x    x ≠ 0.

1    x = 0.

Verificare che x = 0 è punto stazionario di f; stabilire se è dotata di derivata seconda in 0.

Classificare il punto stazionario.

f continua in x = 0 perché sinx/x → 1 = f(0).

Per x ≠ 0: f'(x) = (xcosx - sinx)/x².

Δ(xcosx - sinx)/x² = (-xsinx + cosx - cosx)/2x = -xsinx/2x → 0.

Per teorema di de l'Hôpital f derivabile in x = 0 ed è punto stazionario perché f'(x) = 0.

f''(x) = f'(x) - f'(0) = f'(x) = (xcosx - sinx)/x³.

Δ(xcosx - sinx)/Δx³ = -xsinx/3x² ∼ -x²/3x² ∼ -1/3.

Per de l'Hôpital: lim (f'(x) - f'(0))/x = -1/3 ⇒ f è derivabile 2 volte in 0 con f^''(0) = -1/3.

Tangente in x = 0: g = T₁(x) = 1.

f(x) ∼ T₁(x) = 1 - x²/3 + o(x²) ∼ 1 - x²/3 ≤ 0    (x ≠ 0).

⇒ x=0 è punto di massimo.