Teorema di Gauss-Green
Il teorema di Gauss-Green si esprime attraverso l'integrale di contorno ∂D − Y(x, y) dx + X(x, y) dy, dove X, Y ∈ C1. Considerando un dominio connesso, abbiamo che:
∬D ( ∂Xy/∂y ) dx dy = ∬D ( ∂Yx/∂x ) dx dy
∮∂D ( X dx + Y dy ) = ∬D ( ∂Yx − ∂Xy ) dx dy
Esempio
∮∂D ( x3 − xy3 ) dx + ( y2 − 2xy ) dy = ∬[0,2]×[0,2] −2y − 3xy2 dx dy = 8
Teorema di Gauss-Green: ulteriori dettagli
Consideriamo ∂ D∮ (X(x,y)dx + Y(x,y)dy) con X, Y ∈ C1 e λ tempo commeno. Abbiamo:
|⟨ ∮∂ D X dx, Y dy ⟩ = ∬D |⟨∂⩞ X(∂) ⟩ dx dy = ∮ X dx + Y dy = ∬∬D ∇x ⟨⩛⟩ X ⟨⩛⟩ Y dx dy
Esempio
∂ D∮ (x2-xy3)dx + (y2-2xy)dy = ∮[0,2]×[0,2] -2y - 3xy2dx dy = 8
Gauss-Green per domini specifici
∫∂Ω Xy(x,y) dx = -∫∂Ω Xx(x,y) dy. Se X(X(x,y)) = y ⇒ Xy = 1 ⇒ Area D = -∫∂Ω y dx
Se Y(Y(x,y)) = x ⇒ Yx = 1 ⇒ Area D = ∫∂Ω x dy
Nel III caso ⇒ Area D = -1/2 ∫∂Ω -y dx + x dy
Area cicloide
Area cicl = -∫∂Ω y dx = -∫02π (1 - cos t)2 dt = 3π2
πrc = 1{ X = t - sin t, y = 1 - cos t }
Asteroide
x2/3 + y2/3 = r2/3 → Asteroide
x2 + y2 = r2 → Circonferenza
x + y = r → Quadrato
{ X = r cos t3, y = r sin t3 }
Si utilizza la III di G-G
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Esercizi sul teorema di Gauss-Green
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Applicazione teorema di Gauss
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Teorema di Gauss
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Teorema di Gauss campo magnetico
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