Teorema della circuitazione, da conduttori a condensatori

Teorema della circolazione (Stokes)

S₀ · ds = AB · BC + BC + CD + DA = x(x̅, y̅, z̅) dx - y(x̅ + dx, y̅, z̅) dy - x(x̅, y̅, z̅) dy = [x(x̅, y̅, z̅)-x(x̅, y̅ + dy)]dx + [y(x, y, z̅) - y(x̅, y̅, z̅)]dyx(x̅, y̅ + dy, z̅) ≈ x(x̅, y̅, z̅) + ∂y y̅ + ...[f(x+Δx) - f(x) + g(x)Δx]y(x̅, y̅, z̅) dy dx += [-∂x dx][∂x (x,y z̅)][∂x (x̅, y̅, z̅)]= [∂x ∂x(x̅, y̅, z̅)]dy - [∂ydxdy]* = (rotv̅) (z)(dx dy)= (rot v̅) · ds = (rot v̅̅)v̂o dsIl flusso del vettore di v è uguale alle circolazioni.

Teorema della circolazione (Stokes)

v ⋅ ds = v_AB ⋅ AB + v_BC ⋅ BC + v_CD ⋅ ED + v_EA ⋅ DA == −v_x(x̅, y̅, z̅) dy − v_y(x + dx, y̅, z̅) dx +v_y(x̅, y + dy, z̅) dx == [v_x(x̅, y̅, z̅) − v_x(x̅, y + dy, z̅)] dx +[v_y(x + dx, y̅, z̅) − v_y(x̅, y̅, z̅)] dy =v_x(x̅, y + dy, z̅) ≈ v_x(x̅, y̅, z̅) +∂ v_x/_{∂ y} dy + ... ∫ (x + Δx) − f (x) + g Δx ⋅ I= [− ∂ v_y(x̅, y̅, z̅)/ ∂ y] dx +[∂ v_x/_{∂ x}(x, y̅, z̅) dx] dy = = ∂ v_x/_{∂ x} dx dy − ∂ v_x/_{∂ y} dy dx =(rot v²)_z dx dy == (rot v)_z ds = [(rot v)^→ ⋅ n ds]

Il flusso del rotore di v è uguale alla curvatura

\[\vec{v} d \vec{s_1} + \vec{v} d \vec{s_2} = \]\[ = rot(\vec{v}) \, \hat{n}_1 \, ds_1 + rot(\vec{v}) \, \hat{n}_2 \, ds_2 \]

La circuitazione nell'interno della superficie è nulla, per questo motivo risulta che la circuitazione riguarda solo le "linee" esterne della superficie (bordo del dominio).

La circuitazione è indipendente dalla superficie, ma dipende unicamente dalla linea \(\gamma\) (bordo della superficie):

• A Fisso la superficie e di conseguenza ho il bordo;
• B Fisso la linea \(\gamma\), ma posso avere diverse superfici.

\[\oint_{\gamma} \vec{E} \, d \vec{s} = \int_S (rot \vec{E}) \, \hat{n} \, ds \rightarrow \vec{E} \]

& \rightarrow = 0 \int_S (rot \vec{E}) \, d \vec{s} = 0\]

\[\rightarrow rot \, \vec{E} = 0\]

\[\Rightarrow \, \text{III EQ. DI MAXWELL} \]

\[\text{VUOTO CARICHE FISSE} \]

Teorema Helmoltz

Se conosco div e rot + condizioni al contorno∀P(x, y, z) → ^v(x, y, z)Conosco ^v in tutti i punti dello spazioConduttoriAll'interno del conduttore:Q > 0 → All'equilibrioFermo ↔ q_e = 0⇒ ^E = 0 ⇒ ^E_int = 0^E ⋅ ⁿ ds = φ_bs(^E) = dq_int ε₀ = σ ds⇒^E ds = σ ds / ε₀ ⇒ ^E = σ / ε₀In un conduttore cavo il potenziale è lo stesso in tutti i punti, le linee del potenziale sono sempre ⟂ ad E̅L_AB=?L_AB=0 (ricorda che V_A=V_B⇒)⇒ V_A = V_B ⇒ V_A−V_B=0E̅ = ĉ δ / ε₀ V_i„/̅EQUIPOTENZIALEESEMPIO^VA = V(_i⁰) ±V₁, V₂ perché sono collegati da un conduttoreV₁ = Q / 4πε₀R₁ = 6QπR₁² / 4πε₀R₁ = 6QR₁ / ε₀V₂ = Q / 4πε₀R₂ = δQR₂ / ε₀δ₁R₁ = δ₂R₂Tanto è più piccola la superficie, tanto è più grande la densità di carica. Sulle punte di un conduttore vi è 12…E̅Conduttore CavoGauss^{φ() -> 0 -> _int -> 0∮_int ⇒ _int = ∫ = 0}Conduttore cavo, schermo elettrostaticoGabbia di FaradayCapacitàSfera^{V(R) = V = Q_4πε₀R = Q_CQ -> -> V ->C = Q_V}C_sfera = 4πε₀RCapacità ElettricaTerra^{R_T = 6,4 x 106m⇒ C_terra = 4πε₀R = 0,7mF}_can = 0 = 0 = _ε₀

Condizioni all'interno delle cavità

1. All'interno delle cavità ΔV = 0V
2. Superficie interna ΔV = 0V
3. All'esterno della superficie ΔV ≠ 0V (V(d)=0)

V ->PF.^-12 PICOnF.10^-9 NANOF.10^-6 MICRO12/10/2016INDUZIONE ELETTROSTATICA CONDUTTORIQ^'+E=0ΔV=0VQ^'+>0E=-grad Vla superficie di un conduttore è equipotenzialeTERRAINDUZIONE ELETTROSTATICA COMPLETAΦ_s (E)=0Φ_schiusa (E)=q_int=Q-Q^'ε₀ ε₀ =0EMC → ELETTROMAGNETIC COMPATIBILITYE₀ totQ₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂ + C₁₃V₃Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂ + C₂₃V₃Q₃ = C₃₁V₁ + C₃₂V₂ + C₃₃V₃C_ij coefficienti di induzioneSISTEMA NEUTRO - 2 CONDUTTORICONDENSATOREE solo tra R₁ ≤ r ≤ R₂C = Q⁺/V₊ - V_-CONDENSATORE SFERICOV₊ = Q⁺/4πε₀R₁V_- = Q⁺/4πε₀R₂C = Q/(Q/4πε₀R₁ - Q/4πε₀R₂) = 4πε₀(R₂R₁)/(R₂-R₁)→ non dipende dalle cariche

Esercizio 1

R₁ = 3 cmR₂-R₁ = 0.1 mmC ≈ 4πε₀R₁²/(R₂-R₁) = 9x10⁹ 8x10^-4/10^-4 = 1 nF

Esempio 2

\(\vec{E} = \overline{E}(r) \hat{u}\)

\(\sigma\) \(\sigma(R_1) = \frac{Q}{4\pi R_1^2}\) \(\sigma(R_2) = -\frac{Q}{4\pi R_2^2}\) \(\sigma(R_3) = \frac{Q}{4\pi R_3^2}\)

\(0 \(E(r) = 0\)Se \(R_3 \leq r\) \(E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\)

\(R_1 \leq r \le R_2\)

\(R_2 \leq r \leq R_3\)

\(E(r) = 0\)

\(\varepsilon\)\(E_{vicino} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)

\(E(R_1) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1^2} = \frac{\sigma(R_1)}{\varepsilon_0}\)

\(E(R_2) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_2^2} = -\frac{\sigma(R_2)}{\varepsilon_0}\)

\(V(0) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{R_3} - \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1}\right)\)

Condensatore cilindrico

Fuori dal cilindro E = 0All'interno del cilindro di raggio R₁, E = 0Tra R₁ e R₂, se prendo una superficie di Gauss che racchiude la carica di fluire nella superficie laterale (nulla, base è nulla):

1. 0 ≤ z 1 => E = 0
2. R₁ ≤ z  => E = 0
3. R₁ 2 => φ_S(E) = 2πz l (E(z) + 0 + 0)

E(z) = (σ(R)₁R₁) / (ε₀z)V(z) = V(∞) + ∫_∞^z -Eds

1. z > R₂ => V(R₁) = V(∞) = 0
2. R₁ 2 => V(z) = V(R₂) + ∫_R2^z - Eds

= 0 + ∫_R2^z - (σ(R)₁R₁/ε₀z)= - (σ(R)₁R₁ / ε₀) ln(z/R₁)è negativo x x R₁ 2= ₍)CC = Q Q += _{() 2 l} = _{() 2 l} = = 2 l dipendere dalla geometria.Se l è infinita C = = 2 ESEMPIO 600 V 600 V 0 ARIA IONIZZATA ELETTRICO LORONA -E() = E() = = = Condensatore Piano (1900)_{Gli do la carica Per induzione Priva collego ai solenoide}ΔV = _q/_ε0C = _Q/_{V+ - V-} = _{δ S}/_{ε0 d} = _{ε0 S}/_{dC = ε0 S}/_d1) ∮_s E d_s = 0 _{E ds = 0 nei tratti orizzontali} E d_s = 0 paralle viene |E|>

2) ∮_s E² d_s = 0 --> paralle E si estende per non modificare il valore della distanza tra le armature _{-> EFFETTO DI BORDO}

Esempiod = 1 mmC = ε₀ (10 ⁹)² / 10³ = 100 &epsilon₀ = 89 pF C = _{ε0 S}/_d ≈ 10 m₂ / 50 µm ≈ nFCONDENSATORI ELETTROLITICI (1950)STATO DI OSSIDO ISOLANTEPASTA CONDUTTOREC = _Q/_ΔV ^Q/_CFissata la ΔV tanta pi~1mmSi cerca di avere superfici di resistenza elevateGRAFENE ~ 10F

Condensatori in parallelo

V₁ = V₃^' = V₄V₂^' = V₃^' = V₄^-

Dunque:C = ^Q+/_V⁺-V^-Q₁ = C₁ ΔVQ₂ = C₂ ΔVQ₁ + Q₂ = (C₁ + C₂) ΔVPARALLELO (STESSA ΔV)C_p = Q_TOT/ΔV = C₁ + C₂C_p = C₁ + C₂ > MAX (C₁, C₂)Dalla definizione di C = ε₀S (conisde de in rilQ₁ = C₁ ΔV = C₁ Q_TOT (C₁ + C₂),FRAZIONE DI CARICA CHE VA SU Q₁Q₂ = C₂ ΔV = C₂ Q_TOT (C₁ + C₂),PARTIZIONE DELLA CARICADue o n-condensatori sono in parallelo in bano la stima diffenenza di potentela ΔV

Condensatori in serie

∆V = V₊ - V_- = (V₊ - V₀) + V₀ - V_-Q_ceq = Q/C₁ + Q/C₂ ⇒1/C_S = 1/C₁ + 1/C₂C_S < min(C₁, C₂)Se voglio diminuire la capacità del sistema basta che aggiungo in serie altri condensatori.∆V₁ = Q/C₁ = C_S∆V/C₁ = C_S(V₊ - V₀)/C₁∆V₂ = Q/C₂ = C_S∆V/C₂ = C_S(V₀ - V_-)/C₂1/C_S = 1/C₁ + 1/C₂ = (C₁ + C₂)/C₁ + C₂ ⇒CS = C₁·C₂/(C₁ + C₂)∆V₁ = V₊ - V₀ = C₂/(C₁ + C₂)(V₊ - V₀) = C₂/(C₁ + C₂)∆V∆V₂ = C₁/(C₁ + C₂)∆V

Esempio 1

C₁=2mFC₂=6mFC_S=C₁∙C₂ / C₁+C₂ = (2 x 6 mF) / (2+6) mF = 3/2 mFV₊−V_o = 6mF / 6mF 12V = 9VV_o−V₋ = 2mF / 6mF 6V = 3VMaggiore è ΔV, minore è C

Esempio 2 - Stella di capacità (C Variabile)

V₁=9VC₁=1mFV₂=−3VC₂=2mFV₃=5VC₃=3mFV_o?

Il collegamento non è in parallelo perchè non abbiamo le stessa ΔV.−Q₁−Q₂−Q₃=0 → Perde il sistema è invariabile neve.Poiché Q₁+Q₂≠Q₃ allora il sistema non è in serieQ₁=C₁(V₁−V_o)Q₂=C₂(V₂−V_o)Q₃=C₃(V₃−V_o)0=C₁V₁+C₂V₂+C₃V₃−V_o(C₁+C₂+C₃)⇒ V_o = (C₁V₁+C₂V₂+C₃V₃) / (C₁+C₂+C₃) = 3V