Teorema del resto e dell algebra

Teorema del resto

Sia P(x) un polinomio e a un numero reale. Allora il resto della divisione di P(x) per il binomio (x-a) è uguale a P(a).

Dimostrazione

Possiamo riscrivere il polinomio P(x) come il prodotto del divisore (x-a) per un quoziente Q(x) più un resto R:

Q(x) è a sua volta un polinomio di grado n-1, se n è il grado di P(x). R è un polinomio di grado inferiore al grado del divisore (x-a), e dato che è un polinomio di grado uno, R è un numero reale, quindi costante. Allora si ha:

P(x) = (x-a)Q(x) + R

P(a) = (a-a)Q(a) + R = 0 + R = R

Se la divisione ha resto 0, significa che il binomio (x-a) è un divisore di P(x), e a è uno zero di P(x).

Teorema dell'algebra

Il teorema dell'algebra afferma che ogni polinomio P(x) di grado n, con n ≥ 1 e coefficienti complessi, ha una radice complessa.

Teorema del resto

Sia f(x) un polinomio. Allora il resto della divisione di f(x) per il binomio x - a è uguale a f(a). Conseguenza immediata di questa regola è il criterio di divisibilità: se f(a) = 0, il binomio x - a è un divisore di f(x).

• Regola del trasporto: se f(x) è divisibile per il binomio x - a, allora può essere scritto: f(x) = (x - a)·q(x). Questa regola è detta del trasporto perché ci permette di trasportare il fattore x - a fuori.
• La regola di Ruffini: è un metodo che semplifica la divisione di polinomi il cui divisore è un binomio del tipo x - a.

La regola di Ruffini si articola nei seguenti punti:

• Poniamo in colonna i coefficienti del polinomio dividendoli.
• Consideriamo il termine noto del binomio divisore, cambiato di segno.
• Riportiamo il primo coefficiente del polinomio dividendo sotto una riga e lo moltiplichiamo per il termine noto del binomio cambiato di segno.
• Il prodotto ottenuto si somma al coefficiente successivo.
• Ripetiamo l'operazione sino ad esaurire i coefficienti.
• L'ultimo valore ottenuto è il resto e gli altri costituiscono q(x).

Teorema del resto

Ci consente di determinare il resto del polinomio di grado.

Dato il polinomio p(x) ed un numero a, il resto della divisione di p(x) per x-a è uguale a p(a).

Dim. Noto che non esistono q(x). Vale quindi l’uguaglianza:

p(x) = (x-a)·q(x) + r

p(a) =

Radici di un polinomio

x si dice radice di p(x) se p(x) = 0.

r(x,1) C. p(x) = (x-x₁)·(x-x₂)·...

Molteplicità di radice

Se p(x) è divisibile per (x-a) ma non per (x-a)² molt. a = 1

Se p(x) è divisibile per (x-a)² ma non per (x-a)³ molt. a = 2

p(x) è divisibile per (x-a)^k ma non per (x-a)^k+1