Temi d'esame: Tecnica delle costruzioni 2, piastre

PIASTRA

TEMA 6/5/16

INCANTO

{w(x=0, ∀y) = 0ψ_x = 0 → ∂²w / ∂x = 0

INCANTO

{w(∀x, y=0) = 0ψ_y = 0 → ∂²w / ∂y = 0

APPOGGIO

{w(x=a, ∀y) = 0M_x = 0 → ∂²w / ∂x² = 0

LATO LIBERO

{y=bM_y = 0 → ∂²w / ∂x² + ∂²w / ∂y² = 0

UNG x

INC-APP

^q0a² / ₈

q / 12π, q_0a²

w_max = 2 / 3θ₀ q0

UNG y

MENSOLA

^qb² / ₂

w_max = 4 / 3_qb²

PIASTRA

Incanto

• W(x = 0, ∀y) = 0
• ψ_x = 0
• ^∂2W/_∂x² = 0

Incanti

• W(∀x, y = 0) = 0
• ψ_y = 0
• ^∂2W/_∂y² = 0

Appoggio

• W(x = a, ∀y) = 0
• M_X = 0
• ^∂2W/_∂x² = 0

Lato libero

• y = b
• M_y = 0 → ^∂2W/_∂x² + ^∂2W/_∂y² = 0

MNGO x

• Inc-App

W_max = ^{2 q a4}/_π

MNGO y

• Mensola

W_max = ^{q b4}/₈

Imposto Equazioni

9 = 9a + 9b

W_omax = W_bmax

^R∫_3R/2 24ρa⁵ = ¹/₂ ρb. b⁵ → 9ρa = 24. ρb. b⁴/a⁴

9 = 24 ρb. b₄/_a⁴ + ρb = ρb (24^a4/b₄ + 1)

ρb = ___________________

24(^b4/_a⁴) + 1

9a = 9 - ρb

PIASTRA

RAPPRENDO a/b

• UNGO X INCASTRO AROGEO
• qα²/8
• 9/128 qα²
• Wmax = 2/384 qα⁴ Et
• UNGO Y INCASTRO INCASTRO
• qb²/24
• qb²/12
• Wmax = 1/384 qb⁴ Et

CONSIDERO I MOMENTI MASSIMI

M_a^max = ¹/₈ p a o² ≈ 0,125

M_a^{+ max} = ⁹/₁₂₈ p a o² ≈ 0,07

M_b^max = ¹/₁₂ q_o.o² ≈ 0,08

M_b^-max = ¹/₂₄ q_o.o² ≈ 0,04

¹/₈ q_o.o² = ¹/₁₂ qb.b² → q_o = qb. ²/₃

CONSIDERO FRECCIA MAX

W_maxa = W_maxb

²/₃₈₄ q_o.o⁴ = ¹/₃₈₄ qb.b⁴ → q_o = qb. ^b/_o.2

²/₃ ^qb. ^b2/_o² = ¹/₂ q_b. b²/_o²

q_a = ²/₃.^b/_a.^b2/_o² → ⁴/₃ =^b2/_o²

o²/_b² = ³/₄

a/b = √³/₄ = ^√3/₂ = ³/_2√3

Piastra

Tema 15/4/19

• Condizioni al contorno
• Momenti, freccia massima

Condizioni al contorno

Incastro

• w(x=0,y)=0
• φ_x(x=0,y)=0

Appoggio

• w(x=a,y)=0
• M_y(x=ρ,y)=0

Incastro

• w(x,y=0)=0
• ψ_y(x,y=0)=0

Libero

• V(x,y=b)=0
• M_y(x,y=b)=0
• M_x(x,y=b)=0

V_x = V_y + 2H_xy/_2x Disegno di Kirchhoff min

Ung_o x:

Inc-App

Ung_o y

Inc-Lib

EQUAZIONI

q = qa + qb

2/3 qa·qa/9 = 1/4 qb·b9

qa = 24·qb (b/a)⁴

q = 24·qb(b/a)⁴ + qb = qb (24(b/2)^a + 1)

qb = 9 / (24(b/2)⁴ + 1) = 5000 / (24(1/6)⁴ + 1)

qb = 4571 N/m²

qa = 5000 - 4571 = 429

M_amax = (qa·a²) / 8

M_tmax = (9/128) qa·a²

M_bmax = qb·b² / 2

PIASTRA

TEMA 6/8/19

b

a

wng0 x

app-app

wmax =

9b³

wng0 y

wmax =

Considero massimo massimo

M_max = ¹/₈ q_a ρ²

M - b_max = ^{q_b b2}/₂

¹/₈ q_a ρ² = ¹/₂ q_b b² → q_a = ^{4 q_b b2}/_ρ²

Considero deformata

W_max = Wb_max

5/384 qa ρ4 = 1/8 qb b4 → qa = qb b4/ρ4 48/5

^{4 q_b b2}/_ρ² = ⁴⁸/₅ q_b b⁴ / _ρ²

1 = ¹²/₅ ^b2/_ρ² → ⁵/₁₂ = ^b2/_ρ² → ρ² = ¹²/₅ b²

^ρ/_b = √¹²/₅

Piastra

q = 2,5 kN/m² = 2500 N/m²

a = 4 m

b = 2,6 m

s = 26 cm = 0,26m

E = 32 GPa = 32 × 10⁹ N/m²

Soluzione

Soluzione approssimata con Grashof

Momenti agenti calcolati nelle due direzioni e valore massimo della freccia

Calcolo inerzia I

I = B × s³/12 = 2600 × 260³/12

= 1,464 × 10^-3 m⁴

Metodo risolutivo

1. q = qa + qb
2. Wamax = Wbmax

Unico X: Mensola

qΦ

qΦ² / 2 → qeΦ² / 2

1/2 qeΦ_e

Unico Y: Appoggio-Appoggio

qb

1/8 qbD²

5/384 qbbl

Calcolo qe e qb da we wb

1/2 qeΦ² = 5/48 qbb⁴ → qe = 5/48 qb b⁴

q = qe + qb → qe = q - qb

qe = 5/48 qb (b/2)⁴ + qb = qb (5/48 (b/2)⁴ + 1)

qb = q / (3/48 (b/2)⁴ - 1) = 24541,36 N/m

q = qe + qb → qe = q - qb = 457,64 N/m

VALORI MASSIMI FRECCIA

W_max= 1∕8 9Q. a⁴ E = 3,174 . 10^-5 m

Wb_max= 5∕384 Pb. b⁴ E = 3,143 . 10^-5 m

MOMENTI PIÙ SIGNIFICATIVI

M_{o max}= 9Q. a² 2 = 365,12 Nm

M_{b max}= 1∕8 Pb b² = 2073,83 Nm

PIASTRA

TEMA 2/02/21

q = 3,5kN/m² = 3500N/m²

a = 5,5m

b = 4,5m

s = 25cm = 0,25m

E = 32GPa = 32.10⁸ N/m²

Soluzione approssimata con Grashof

- momenti agli incroci e valore massimo della freccia

CALCOLO INERZIA I

I = B.s³/12 = 1,302.10^-3 m⁴

VINGO X: INCASRO-INCASRO

a

MOMENTO

DEFORMAZ

Wmax = ¹/₃₈₄ (9^q_aq2)/_f

VINGO Y: MONTAA

b

MOMENTO

DEFORMAA

Wmax = ¹/₈ (9_bb⁵)/_f

• Imprmo medro ridurrno

  9 = 9_a + q_b

• Calcono q_a e q_b dora Impr

  ¹/₃₈₄ (9_aq⁴) /_f - ¹/₈ (9_bb⁴) /_f

  9_cq_c = Δ (9₁b) ^9b₄

• Qottunso valore 9 - q_b + q_a= q - q_b

  9 = Δ (b/₁) + q_b + 9q = Φ (b/₁) + q_b = Φ (b/₁) + 1

  q_b= ⁹/_{Δ (b/1) + 1} = 155,4Δ

  (9b = ³⁵⁰⁰ - 155

• Qottunso valore d₁pietclua max

  Wmoxa = ¹/₃₈₄ (9₄ q₄), = 1,9226 10^-4m

  Wmoxb = ¹/₈ (9_b5), = 1,926

Calcolo Momenti Significativi

M_maxa = ^9q02/₁₂ = 8439,82 Nm

M⁺_max,a = ^9q02/₂₄ = 4219,46 Nm

M^-_max,b = ^9bb2/₂ = 1574,23 Nm

Trave

q = 4,10 _kN = 4000 _N

a = 5 m

b = 35 m

S = 26 cm = 0,28 m²

e = 32 GP_a = 32.10⁹ _N / m²

Momenti Significativi e Valore Max Freccia

Momento Inerzia

I = b.1³ = Δ = 0,2 ± 3 m = 1,83 .10^-3 m⁴

═ 1,83 .10^-3 m⁴

Axe X: Incandro-Incandro

^ql2 / 12

M

Wmax = Δ ql⁹ / 384 EI

Axe Y: Incandro-Appoggio

^ql2 / 2

+ q ql² / 128

Wmax = 2 ql⁴ / 384 EI

Equazioni

q = qa + qb

W_emax - W_bmax

¹₃₈₄ qa · q⁹ = ²₃₈₄ qb · b⁹

qa = qb · 2 · ^b_a ⁹ = 2 · ^b_a qb⁹

qa = q - qb

9 - qb · 2^b_a⁹ = 9 - 2 · qb ^b_a⁹ qb = qb (2^b_a⁹ + 1)

qb = ⁹_{2(^ba⁹ + 1)} = ⁴⁰⁰⁰_{(^3.55⁹ + 1)} = ⁴⁰⁰⁰_1.4802

= 2702.3 N

qa = (4000 - 2702.3) ^N_m = 1297.7 N

Calcolo Freccia Massima

W_emax = ¹₃₈₄ qa · q⁹ = ¹₃₈₄ · ^{1297.7 N/m2 · 4m}_{32.10⁹ · 1.63 · 10^-6m⁴}

= 4055139.2 = 0.036 m = 36 mm

= 22487040

Calcolo Momenti Ogm

M^A_max = - ^{qa · a2}₁₂ = - ^{1297.7 · 52}₁₂ = - 2.7 kN.m

M^A_max = + ^{qa · a2}₂₄ = + ^{1297.7 · 52}₂₄ = + 1.3 kN.m

M^B_max = qb · b²₈ = 2702.3 · 3.5²₈ = - 4.14 kN.m

M^B_max = ⁹₁₂₈ · qb · b² = ⁹₁₂₈ · 2702.3 · 3.5² = + 2.38 kN.m

PIASTRA

E = 32GP => 32 . 10⁹ N/m²

= 3,2 x 10⁴ N/m²

q = 2,8 kN = 2800 N

m² m²

a = 5m b = 4m

S = 24cm = 0,24m

I = b . b³ - l . m_s

12 12

= 1,152 x 10^-3 m⁴

= 1,152 x 10³ m⁴

ASSE X : INCANTRO - APPOGGIO

q

q

9a

9b

qαb

qαb

- +

g

qαb²

8

128

Wmax_p = 2 qα . α

384 E1

Wnαk_b = 5 qαb

384 E1

q = qa + qb

Wa = Wa

qa = q - qb

2/384

(qa/b^2) (5/2)

(5/9) qb 2

qa = 5/9 qb b^4

qa + qb = qb (5/2 b^4)

qa = qb/9 (5 b/b^2 + 1)

qa = qb (5/2 b^4 + 1)

qb = 9/5 2800

= 1380 n/m

(5/2) (b/9) 2

= 1/2 (4/5) + 1

q = q - qb = qb = 2800 - 1380 = 1420 n/m

3/5 90 qb = q - qa 5/2 b q = q = 1 + 2/5 b q.

q = (9/1 + 2/5 b )

= 2800 => 1380

Wmax a = 2 qa p.ap ax

= 2/384 = 1.420 N/m .54 m

32 10/l .153 m = 0.00125 .0.125 mm

W max b - 5/384 nb .b

32 10/7

5/384 9 32 .10 153 1 0.0010

1.25 10 l -9 = 0.125 mm

Mq - qa 9/8

= 1420 N/m s^2 m = 4.13 kn. m

Mo^2 p 0a .8 q

= 9/128 p a .2 q

= 1420 .5^2 2.496 kn.m Mb? = qb b = 2.76 kn m

TEMA 20/7/2012

78

q = 2,1 kN/m² = 2100 N/m²

a = 5 m

b = 3 m

s = 30 cm = 0,03 m

σ = 32 GPa

= 32.10⁹ N/m²

MOMENTI FLETTENTI E VALORE MAX FRECCIA

I = b.h³ - 1.0,03³

12 12 = 0,00000225 m⁴

ASSE X: INC-INC

ASSE y MENSOLA

qL²

12

qL²

2

qL²

24

w_max = qL⁴

384 EI

w_max = qL⁴

8 EI

Equazioni

q = qa + qb

Wmax = Wbmax

¹/₈ qa a³ = ¹/₈ qb b³ ⇒ 9a = 48 q_b(b)⁴/(a)

q = 48 q_b(b)⁴ + q_b = q_b(48¹/ (b)⁴) + 1

9b = ⁹/ (48( ^b/_a)⁴ + 1 = 2800 = 387,76 N/m

q_a = q - q_b = (2800 - 387,76) ^N/ _m = 2412,24 ^N/ _m

Calcolo per coa max

Wmax = ¹/ ₃₈₄ ^{q_a a4}/ _{e . i}

= ¹/₃₈₄ . ^{2412,24 . 54}/ _{32 . 10,9 . 0,0000225} = 0,054m = 54mm

Wbmax = q_b b⁴ . ^{387,76 . 34}/ _{8 . 32 . 10,9 . 0,0000225} = 0,054m = 54mm

Calcolo momento significativo

M_{0 max} = ^{q_a a2} /₁₂ = ^{2412,24 . 52} /₁₂ = 5,02 kN

M¹ max = ^{q_a a2} /₂₄ = ^2412,24.52/ ₂₄ = 2,51 kN

M_{b max} = ^{qb b2} /₂ = ^387,76.32/ ₂ = 1,74 kN

PIASTRA

τ = 3,2kN = 3200N

a = 6m

b = 5,2m

S = 26cm² = 0,26m²

E = 32GPa = 32 . 10⁹ N/m²

= 32000MPa [N/m²]

MOMENTI SIGNIFICATIVI E VALORE MAX FRECCIA

CALCOLO INERZIA I

I = B . h³

= ^{1000 . 2603}/₁₂ = 1,46 . 10⁹ m⁴

= ρ(0,146 . m⁴) = 1,46 . 10^-3

UN60 X - MENSOLA

Momento

Deformata

w_max = 194 δ

UN 60 γ: INCASTRO APPOGGIO

MOMENTO

DEFORMAZ

W_max = ^{q b²}/₈

W_max = ^{q b⁴}/_{125 EI}

EQUAZIONI:

q = q_c + q_b

W_amax = Wb_max

¹/₂₄ q_b = ²/₃₈₄ q_b = ^{qb b}/_(a) + 1

9 q_c = -qp (^b/_(a))⁴

q_b = ⁹/₁ = ³²⁰⁰/_3126.5 = 3126.5 N/m

q_c = (3200 - 3126.5). N = 73,5 N/m

VALORI MASSIMI FRECCIA

W_amax = ^{1 q_a b⁴}/_{f EI} = 1,783 N/m (^{6 m⁴}) = 2,54.10⁻⁹ m

W_bmax = ^{5 q_b b⁴}/_{384 EI} = ⁵/₃₈₄ (5,24)⁴ = 2,54.10⁻⁹ m

1 DEI VALORI DEVONO ESSERE UGUALI

MOMENTO PIÙ SIGNIFICATIVI

M_maxa = ^{qa b²}/₂ = 1,323 kN

M_maxb = ^{qb b²}/₈ = 10,167 kN

M⁺_maxb = ^{q qb b²}/_12f = 5,94 kN

80

PIASTRA

q = 3.5 kN/m²

= 3500 N/m²

a = 4.18 m = 4180 mm

b = 5 m = 5000 mm

S = 28 cm = 0.28 m = 280 mm

E = 32 GPa = 32000 MPa

Soluzione approssimata con Grossoni

I = _BN³ / 12 = 1000 · 200³ / 12 = 1.83 · 10⁸ mm⁴

= 900163 m⁴

Umpo X - Incaincoincairo

w_max = q e⁴ / 384 E