Telecomunicazioni per l'aerospazio - Parte Segnali

Ma T è puramente una costante, non è un tempo.

Un altro segnale importante è quello esponenziale (vedremo che descriverà un sistema RC):

Proprietà dell’area:

Il valore della trasformata di Fourier nell’origine è uguale all’area sottesa da un segnale nel tempo:

Derivazione:

Ha un comportamento passa-alto, tutto ciò che è lento lo ammazza e amplifica le frequenze alte.

Divido per j2pigrecof

Integrazione:

Effetto opposto della derivata, divido per j2pigrecof, ha un comportamento passa-basso

Vediamo ora alcuni dispositivi che mi fanno ottenere gli effetti passa-alto, passa-basso etc..

sfruttando la trasformata di Fourier:

Un’altra trasformata di Fourier importante è quello dell’impulso di Dirac (delta):

Ricordiamo che la trasformata di Fourier di un rect di durata t è un sinc.

Δ()è .

Otteniamo infine una cosa piatta, occupa tutte le frequenze allo stesso modo:

Per la proprietà di dualità ricordiamo che la trasformata di Fourier del delta di Dirac vale 1, mentre

la trasformata di Fourier di un valore costante ottengo il delta di Dirac.

Un segnale costante non è di energia, è certamente di potenza, avevamo detto che non tutti i

segnali NON di energia avevano la trasformata di Fourier, questa quindi è una di quelle eccezioni.

La trasformata di Fourier per i segnali periodici invece è data da tante delta di Dirac a distanza

1/To. ovvero la frequenza fondamentale:

Scalatura:

Contrarre o dilatare un segnale per un coefficiente a:

Posso anche scalare l’impulso:

Se il segnale viene compresso in tempo, viene dilatata in frequenza e viceversa. Inoltre, se il

segnale è compresso, vuol dire che cambia più rapidamente, e cioè ha uno spettro di frequenza

più ampio. Viceversa, se è dilatato.

Vediamo l’esempio del rect e della sua trasformata sinc:

Quindi sto occupando una banda di frequenza più grande, poiché ho un segnale che cambia più

velocemente e quindi ho bisogno di una banda di frequenza più larga per rappresentarlo.

Ultime due proprietà della trasformata di Fourier:

Ricordiamo che la trasformata di Fourier è uno strumento per studiare i segnali nel dominio della

frequenza, ci consente di capire come è distribuita l’energia del segnale nel dominio della

frequenza.

Modulazioni numeriche:

Nel caso di segnali analogici, abbiamo visto che il segnale entrava in un modulatore, passava per

un mezzo trasmissivo. Che poteva essere in banda base (BB) o in banda traslata (BT), per poi

essere demodulato. Nel caso di una stringa digitale (stringa di BIT) se volessi trasmetterla, avrei

sempre bisogno di modulatore e demodulatore numerici e del mezzo di trasmissione che può

essere BB o BT. Il modulatore numerico è responsabile di creare un segnale analogico dal segnale

numerico: per ogni cifra mi creo dei rettangolini che per ogni zero hanno ampiezza di un 1V. E per

ogni uno an ampiezza di meno -1V.

Questo processo viene detto PAM (Pulse Amplitude Modulation). Più veloce voglio trasmettere il

segnale e più banda mi occorre. A causa del rumore, quando trasmettiamo un segnale numerico

(tramite il PAM) potrebbe arrivare al demodulatore con qualche errore nei bit.

Il numero di simboli al secondo che possiamo trasmettere con questo segnale è pari a:

Più riduco T e più posso trasmettere simboli.

Devo avere, per trasmettere ad una certa velocità, una larghezza di banda che mi permetta di

sostenere tale velocità, definiamo dunque:

Riassumendo:

Abbiamo visto che posso rappresentare i bit con dei rettangolini, positivi e negativi a seconda se

bit 0 o bit 1, creo un segnale fatto da un segnale fatto di rettangolini che vanno sotto il nome di

onda PAM, modulo l’ampiezza dell’impulso:

Se volessi aumentare la velocità in bit/rate, o utilizzo un collegamento con banda più larga, ma

non è sempre possibile. Allora, siccome per rappresentare un bit impiego un rettangolo di durata

T, posso pensare di trasmettere una coppia (o più) di bit insieme.

Ricordiamo che per rappresentare i due bit ho bisogno di quattro livelli (0,0) (0,1) (1,0) (1,1),

dunque dovrò fare una PAM a quattro livelli o 4-PAM. In questo modo, utilizzando la stessa banda

posso trasmettere a velocità doppia. Siccome il segnale non sarà più un rect(t) ma sarà stondato,

allora per capire il gruppo dei bit che mi arriva lo associo a livello energetico più vicino. In questo

modo riesco ad eliminare anche il rumore. Per fare questa operazione uso un decisore a soglie. La

probabilità che un bit arrivi sbagliato è la bit error rate.

Posso anche trasmettere una tripletta e dunque 2^3 livelli (8 PAM) oppure 4 bit e quindi 2^4 livelli

(16 PAM). L’efficienza spettrale sale mano mano. Tuttavia, divento più soggetto a errori poiché le

soglie sono molto vicine. Tutto ciò dipende anche da quanto è forte il segnale (esempio: wi fi).

Introduciamo ora alcuni elementi utili

Teorema di Parseval

Dati due segnali di energia, il loro prodotto scalare in tempo è uguale al prodotto scalare in

frequenza. Il prodotto scalare di due segnali è uguale al prodotto fra uno e l’altro coniugato e

facendo l’integrale. Questo serve per vedere la somiglianza tra due vettori, se sono orientati nella

stessa direzione. Sto dicendo che il prodotto scalare tra due segnali normalizzato al prodotto

scalare di ognuno per sé stesso mi dice se i due segnali sono uguali. Il massimo valore è quando

sono uguali i due segnali. Inoltre, il modulo quadro di un segnale è il valore dell’energia.

Infine, trovo che posso calcolare l’energia del segnale attraverso la trasformata di Fourier del

segnale, quindi se integro su tutte le frequenze il modulo quadro della trasformata di Fourier mi

dà tutta l’energia del segnale, quindi mi dice come è distribuita l’energia del segnale nel dominio

della frequenza. Quindi definisco il modulo quadro della trasformata di Fourier come lo spettro di

densità di energia del segnale. Ovviamente non va bene per un segnale di Potenza.

Definisco anche un’altra funzione importante: CORRELAZIONE

Con autocorrelazione intendo la correlazione di un segnale con sé stesso.

Cosa posso dire di un segnale di potenza? Cosa posso dire nel dominio della frequenza di un

segnale di potenza che non ammette trasformata di Fourier? Devo trovare un modo per

caratterizzarlo in quel dominio anche se non esiste la trasformata.

Come per i segnali di energia possiamo definire un’autocorrelazione per i segnali di potenza.

Lo spettro di densità di potenza di un segnale di potenza descrive la distribuzione della potenza del

segnale nel dominio della frequenza. Inoltre, lo spettro di potenza è pari alla trasformata di

Fourier dell’autocorrelazione del segnale:

Cosa accade allo spettro di densità di potenza di un segnale quando il segnale transita attraverso

un filtro?

Rumore termico

Specifico segnale di potenza, tra l’altro casuale, generato dall’agitazione termica degli elettroni

che si muovono e determinano un aumento di temperatura. Ai capi del conduttore si genera

dunque una differenza di potenziale casuale che è dovuta al rumore e sappiamo il suo valore

medio:

Potenza di rumore:

Questa è la potenza che otteniamo data da un resistore pensato come la somma di un resistore

ideale (senza rumore) e di un generatore di segnale casuale di rumore. Dunque, in un circuito

elettrico abbiamo un segnale di rumore termico, molto piccolo che genera una potenza di segnale

piccola ma diversa da zero. In generale nei segnali reali, il rumore termico è sempre presente e nel

caso di segnale molto piccolo non riusciamo a distinguerlo dal rumore. L’autocorrelazione del

segnale di rumore per tau uguale a zero è pari a KTB, mentre per tau diverso da zero è pari a zero.

Siccome è casuale, il prodotto istante per istante è puramente casuale, con la stessa probabilità

maggiore di zero e con altrettanta probabilità minore di zero, dunque mediamente nullo.

Ciò è vero per ogni tau., dunque tende ad essere un delta di Dirac. Questo vuol dire che la sua

trasformata di Fourier (che è lo spettro di potenza) è una costante. Il suo spettro di potenza

dipende dal valore di temperatura poiché Pn=2CB, dove C=KT/2. Viene inoltre chiamato Bilatero,

ossia comprende frequenze positive e negative. Questo è dunque il rumore che passa su una

resistenza.

Ora vogliamo vedere come trasferire le informazioni non più

attraverso dei fili ma attraverso delle antenne: Wireless

La prima cosa che ci interessa è gestirne la potenza, quindi vediamo come cambia la potenza

all’interno di un collegamento.

Trasduttore = Antenne, ovvero ciò che mi serve per trasmettere il segnale.

Quindi il trasmettitore invia un segnale all’antenna, un segnale di tensione V(t), e l’antenna

genera un campo magnetico che è proporzionale alla tensione in ingresso, il campo elettrico

dunque è proporzionale alla tensione in entrata. Il campo magnetico si propaga proprio come

un’onda. Quindi passiamo da un V(t) a un E(t). L’antenna si comporta sia da ricevente che da

trasmittente (se la immergo in un campo elettromagnetico). Questo campo magnetico dunque

che genera, dicevamo, si propaga in tutte le direzioni, nel tempo dunque si sposta radialmente.

Mano mano si disperde su una superficie sferica di un certo raggio, alla distanza R mi trovo una

certa potenza e una certa densità di potenza che sarà la potenza diviso 4pigrecoR^2. Un segnale,

dunque, si attenua di questo valore. Avrò anche un ritardo pari a R/c dove c= velocità luce. Il

segnale subirà anche uno sfasamento:

Definisco il rapporto segnale rumore e ottengo l’equazione radar:

Ora ci preoccupiamo di fare in modo che i segnali siano adatti al collegamento wireless, quindi fare

in modo che il segnale possa essere irradiato nell’aria.

La trasmissione wireless si comporta da filtro passa banda (frequenza portante), non in banda

base. Devo adattare il segnale al canale di trasmissione, quindi devo spostarlo, prende il nome di

modulazione analogica. Questo funziona per un segnale analogico, infatti, se ho una sequenza di

bit, prima lo trasformo in un segnale analogico e poi lo modulo. Come spostiamo un segnale in

frequenza? #$%& '

Moltiplicare per vuol dire spostare in frequenza, verso frequenze positive intorno a fo.

! ( (

#$%& ' #$%& '

Infatti moltiplico per un coseno: cos((2 ) = +

" "

( $ $

Come faccio a demodulare? Ovvero voglio tornare al segnale che vole