Tecniche di calcolo che utilizzano la riduzione a scala

Tecniche di calcolo che utilizzano la riduzione a scala

Calcolare il rango di una matrice

A =

Riduco a scala A (rgA = rgS)

• R₂ - R₁
• R₃ - kR₁

0 k-1 k-1

0 k-1 1-k- (k-1) è un pivot?

I caso

SÌ se k ≠ 1

II caso

NO se k = 1

I caso k ≠ 1 ⇒ k-1 ≠ 0

1 1 k

0 k-1 k-1

0 0 2-k-k²- (2-k-k²) è un pivot?

1. SÌ se k ≠ 2
2. NO se k = -2

⇒

1. k ≠ 1, k ≠ 2 ⇒ rgA = 3
2. k ≠ 1, k = 2 ⇒ rgA = 2

Tecniche di calcolo che utilizzano la riduzione a scala

A =

Riduco a scala A (rgA = rgS)

• R₂ - R₁
• R₃ - kR₁

0 k-1 k-1

0 1-k 1-k²- (k-1) è un pivot?

I caso

SÌ se k ≠ 1

II caso

NO se k = 1

I caso k ≠ 1 ⇒ k - 1 ≠ 0

• R₃ + R₂

0 0 2 - k - k²- (2-k-k²) è un pivot?

-k² + k + 2 = 0⇒ k = ± 3 / -2

1. SÌ se k ≠ 2
2. NO se k = -2

⇒

1. k ≠ 1, k ≠ 2 ⇒ rgA = 3
2. k ≠ 1, k = 2 ⇒ rgA = 2

II caso

k = 1 → sostituisco

1 1 1

1 1 1

1 1 1

• R₂ - R₁
• R₃ - R₁

1 1 1

0 0 0

0 0 0

⇒ rg A = 1

Cercare una base di Span (w₁, ..., w_m)

Cercare sottinsiemi massimali di vettori linearmente indipendenti.

Scarti successivi

Metodo

1. Metto i vettori come colonne di una matrice.
2. Riduco a scala.
3. Scelgo i vettori corrispondenti alla posizione dei pivots.

Esempio

W = Span

w₁ w₂ w₃ w₄ w₅

Scrivere una base di W:

1 2 1 1

2 0 4 0

1 1 -2 -1

0 0 1 1

• R₃ - 2 R₁

1 2 1 0

0 2 2 0

0 -1 -4 1

0 0 1 1

• R₃ - 2 R₂
• R₄ - R₂

1 2 _ 1

0 2 2 2

0 -1 -4 1

0 0 1 1

⇒ la base di W è:

1 2 1 0

1 1 -2 -1

0 0 1 1

Completare a una base di R^M

"Dati {W₁, ..., W_p} di R^M linearmente indipendenti, completarli ad una base"

Metodo

• Aggiungo TUTTI i vettori di una base (ad esempio la canonica)
• Faccio l'esercizio 2

R^M = Span {W₁, ..., W_p, e₄, ..., e_m}

Esempio

Completare a una base di R⁴

Prendo {W₁, W₂, e₁, e₂, e₃, e₄}

A =

----------------

La base completata è {W₁, W₂, e₂, e₄}

Scrivere uno spazio supplementare in R^M a un sottospazio W con base B = {W₁, ..., W_p}

Metodo

• Svolgo l'esercizio 3
• Definisco il supplementare U = Span (vettori aggiunti)

Esempio

(continua il precedente)

Il supplementare di W = Span{W₁, W₂} = U = Span {e₂, e₄}

W + U = R⁴

[importante] Trovare basi e dim di KerA e ImA, data una matrice A

Esempio

A =

- M_4,5

La R⁵ -> R⁴

Teorema della dimensione: dim V = dim Ker + rg 5 = dim Ker + rg A

Riduco a scala:

| 1 2 3 1 1 |

| 2 4 2 2 1 |

| 0 2 4 -1 0 |

| 0 0 1 0 0 |

- rg A = rg S = 3

dim Im A- base di Im A e

| 1 2 3 |

| 0 2 4 |

| 0 0 1 |

- dim Ker A = dim V - rg A = 5 - 3 = 2

- Per trovare la base di Ker A devo risolvere un sistema omogeneo Ax = 0 = Sx = 0 conviene risolvere S_x = 0

(x₁ + 2x₂ + 3x₃ + x₄ + x₅ = 0)

2x₂ + 2x₃ + x₄

B di U è (1 0-1 -10 00 1)

Base di W = { X ∈ R⁴ x₁-2x₂+x₄=0 }

x₁=2x₂-x₄

(x₂x₃x_u)= (2x₂-x₄x₂x₃x_u)

x₂ (2100) + x₃ (1010)+ x₄ (-1001)=>B di W è (2 1 -11 0 00 1 00 0 1)

Base di U+WA

( 1 0 -1 0 -12 0 -1 1 00 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 0 1) (W₁ W₂ W₃ μ₁ μ₂) = riduco a scala

( 1 0 -1 0 -12 0 -1 1 00 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 0 1) (W₁ W₂ W₃ μ₁ μ₂)

( 1 0 -1 0 -10 0 1 0 20 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 0 1) (W₁ W₂ W₃ μ₁ μ₂)

( 1 0 -1 0 -10 1 0 0 00 0 1 0 20 0 0 1 -20 0 0 0 3) (W₁ W₂ W₃ μ₁ μ₂)= S( 1 0 -1 0 -10 1 0 0 00 0 1 0 20 0 0 1 -20 0 0 0 1)