Tecniche di calcolo che utilizzano la riduzione a scala

Tecniche di calcolo

(che utilizzano la riduzione a scala)

05.11

1. Calcolare il rango di una matrice

A = ^{k 1 kk 1 kk 1 k}

Riduci a scala A (rgA = rgS)

R₂ - R₁ (□) ^{0 k-1 k0 k-1 k}

1. _(k-1) è un pivot?

• I caso SÌ se k ≠ 1

• II caso NO se k = 1

I caso k ≠ 1 ⇒ k-1 ≠ 0

(□) ^{0 k-1 k}R₃ + R₂ ^{0 0 2-k-k}?

1. _(2-k-k) è un pivot?

-k² + k + 2 = 0 ⇒ k = -1/3 (-2) escluso

• Ia SÌ se k ≠ -2

• Ib NO se k = -2

⇒ Ia k ≠ 1, k ≠ -2 ⇒ rgA = 3

⇒ Ib k ≠ 1, k = -2 ⇒ rgA = 2

II caso

sostituisco

R₂-R₁

R₃-R₁

Det = 1

Cercare una base di Span (W₁, ..., W_m)

(= cercare sottinsiemi massimali di vettori linearmente indip.)

SCARTI SUCCESSIVI

Metodo

1. metto i vettori come colonne di una matrice
2. riduco a scala
3. scelgo i vettori corrispondenti alla posizione dei pivots

Esempio

W = Span

Scrivere una base di W:

R₃-2R₁

R₃-2R₁

R₄-R₂

la base di W è

c) Grasmann - dim (U ∩ W)

d) Base di U ∩ W (calcolo)

Descriviamo U ∩ W, dove v ∈ U ∩ W

• v ∈ U ⇒ v = α₁u₁ + ... + α_ru_r
• v ∈ W ⇒ v = β₁w₁ + ... + β_sw_s

α₁u₁ + ... + α_ru_r = β₁w₁ + ... + β_sw_s

α₁u₁ + ... + α_ru_r - β₁w₁ - ... - β_sw_s = 0

Sistema omogeneo con incognite α₁, ..., α_r, β̶₁, ..., -β_s

La matrice dei coefficienti è proprio A

→ posso risolvere il sistema ridotto a scala e trovare α₁, ..., α_r,

β₁, ..., β_s e sostituirli → M oppure M

Esempio

U = Span(

• (1 1 1)
• (1 0 0)
• (1 2 0)
• (0 0 0)

)

B = {u₁, u₂, u₃}

Se u₁, u₂, u₃ sono indipendenti ⇒ U è base (e lo è)

→ lo vedo scambiando le colonne (= i vettori)

• (1 1 1)
• (1 0 0)
• (1 2 0)
• (0 0 0)

)

W = Span(

• (0 1 1)
• (0 1 0)
• (1 0 0)
• (1 0 1)

)

Ξ = {w₁, w₂}

a) Base di U ∪ W

=> Base di U+W e

b) dim U+W=l

c) dim U∩W = dim U + dim W - dim U+W = 2+3-l = 1

d) Base di U∩W

V = α₁ + α₂ + α₃

V= β₁ + β₂

y₁ = -β₁

y₂ = -β₂

=> Base di U∩W e _-1

OSS: