Tecnica delle Costruzioni - Metodo di Cross

Il metodo di Cross

Propedeutico al metodo di Cross

E.s. ℓ = 4 Mq = 15 KN/MQ = 60 KN

Metodi dei vincoli ausiliari

• Movimenti indipendenti

H_A V_A φ_A   H_A V_A φ_A H_B V_B φ_B       H_C       φ_C H_C V_C φ_C                   φ_A H_D V_D φ_D        φ_C Concl: φ_A

2. Fase I:

• ASTA AB: x_9L²/2 (__________)_(MA)

M(z) = 9L²z - 9z²/2 % M(z) = 9L²z - 9z²/2 - 1 φ' = ∫₀^L/2 (9L²z - 9z²/2) 1/E₃ = L/2 1/E₃ (9L²z²/2 - 9z³/6) = -9L³/24E₃

φ'' = 1/E₃ L/2 X = 9L²/12 M_A (qL²/12) (qL/2) Dunque: M(z) = (qL/2)z - (qL²/12) - (qz²/2) (qL/2)

Per z = 0: -qL²/12

Per z = L/2: qL²/4 - qL²/12 - qL²/8 = qL²/24

Asta ACQ ↑ Q/2 ↑ Q/2 φ = ∫₀^e₁ Q/2z · z/ESL + ∫_{e2e z/ESL (Q/2z - Qz + Q/2L ) =}

-∫₀^e₁ Q/ES · z²/2L + ∫_{e2e/2 1/ES (Q/2L z · z²/L - Q · z²/2 + Q/2 z ) =}

= e₁/ES · z³/6L + e₁/e/2 1/ES (Q/6L z³ - Q/3L z³ + Q/4 z²) -

= -1/ES (QL²/48) + 1/ES (Q/6 · L²/3 + QL²/4 + QL²/48 + QL²/24 ) - Q/16 ) = 1/ES (QL²/48 + QL²/24 ) (8 - 16 + 12 + 2 - 3 ) = 1/ES QL²/16 η₁₁ = ∫₀^l z²/E₃ = L³/3E₃

X - Q3L/163QL/1611QL/16 LVA. QL/2 - 3QL/165QL/16 VA. = (8-3)/16Q = 5/16Q

Dunque M(z) = 11/16 Qz - 3/16 QL Per z = L/2 + QL5/32 Si Annulla 11z - 3L = 0 z = 3/11 L

Concl: Fase 1 QL²/12 = 20 KNm 3/16 QL = 45 KNm

Fase II

M = 20 KN m + 45 KN m - 25 KN m E dunque: -1/2 M 4 RM_BC 3 RM_AD 4 RM_AB = 4/11 M = 9 KN m M_BC = 3/11 M = 7 KN m M_AD = 4/11 M = 9 KN m

Soluzione: 4.5 KN m 9 KN m 7 KN m

Conc: Fase I + Fase II

Metodo di Cross (Perché comporre i grafici è scomodo)

1. Scrivere i coeff di ripartiz per ogni asta

_⁴/11

2. Poi, per ogni nodo, si scrive il momento trovato nella prima fase

p.s. M<0 se antiorario I-20  I₂₀  I₄₅  I₀

3. Quanta parte va sul morsetto

I₉  I₇ 4) Il momento II trasmette un momento II ai vincoli vicini secondo un "coeff di riparitiz" noto per ogni caso Somme:

— FINE —

Esercizio:

Risoluz con il metodo di Cross: L = 10 m F = 400 N q = 120 N/m

1. Determinaz movimenti indipendenti: φ_B, φ_C

Fase I

• Asta AB: qL²/12 = 1000 N·m qL²/24
• Asta BC: FL/8 = 500 N·m FL/8

Fase II

Invece usare il metodo della matrice delle rigidezze, si usa il metodo di Cross. Vediamoli entrambi:

Matrice delle rigidezze:

K = _{(K11 K12K21 K22})

F = _{(M1 = M - 500M2 = M - 500})

α = _{(α1 = φBα2 = φC})

Determinaz K₁₁, K₂₁; φ_B = 1 φ_C = 0 K₁₁ = 8R K₂₁ = 2R

Determinaz K₁₂, K₂₂; K₂₂ = 7R K₁₂ = 2R

Concl: K ( 8R  2R 7R  2R ) ( φ_B φ_C ) = ( M M ) 8R · φ_B + 2R φ_C = M 7R φ_C + 2R φ_B = M

φ_B = ( M - 2R φ_C ) / 8R

7R φ_C + 2 ( M - 2R φ_C 8R ) = M 7R φ_C + M / 4 - φ_C R / 2 = M φ_C ( 14R / 2 - R / 2 ) = 3 / 4 M φ_C = 3 / 4 M · 2 / 13R = 3 / 26 M / R Ecc...

Metodo di Cross:

Convenzione: Scriviamo la fase I: I_-1000 I_-1000 I_-500 I₅₀₀

Blocco il morsetto 2, e gli metto -ΣI-ΣI=-500

4R 4R Dunque: ρ_AB 1/2 = 250 → t=1/2 ρ_BC 1/2 → t=1/2 Ho ripartito il momento alle due aste

Concl: I_-1000 I₁₀₀₀ I_-500 I₅₀₀ III -125 II -250; II -250 III -125

Adesso blocco l'altro morsetto, mettendoci -_Σ(I + III) = 375 ρ_CB = ⁴/₇ ; ρ_CD = ³/₇ ; t_. = ¹/₂   t_; = 0

Concl. I_.1000   I_; 1000   I_.500   I_; 500 II_.125   II_; 250   II_.250   II_; 125 III_;107 ← II244_;161

Adesso riequilibrio B. Ma come? Ho equilibrato la prima fase, ma non la III. Si ricomincia daccapo. -_ΣIII = 107

III₊₂₇ II₅₄ II₊₅₄ III₂₇ INC.III_-8 II_-15 II_-11 TORNO IN 8 III₂ I₄ I₄ III₂ II_-1 II_-1 CI POSSIAMO FERMARE QUI.

SOMMO TUTTO QUANTO: -1096 808_ÈQUIL 807 174_ÈQUIL 173

Ovvero: In fase I avevamo questo andamento: Avrò le stesse differenze: - Fine -

Metodo di Cross - Scaletta riassuntiva delle varie fasi del metodo

1. Fase I: Bloccare i movimenti indipendenti e risolvere la struttura come una serie di
2. Fissare E trascrivere i momenti della 1^o fase.
3. Blocco tutti i morsetti e ne libero 1. A lui attribuisco -ΣI. Ripartisco il momento alle aste afianco. Trascrivo i momenti così ottenuti.
4. Blocco l'altro morsetto a fianco e lo carico con -∑(I+III). Ripartisco M.
5. Faccio la stessa cosa con gli altri morsetti. - Fine Fase II.
6. Tutti i nodi vanno riequilibrati. Per farlo incomincio daccapo. Al 1^o morsetto attribuisco "l'ultimo momento" dato. Ovvero III, nel suo caso.
7. All'altro morsetto arriva "l'ultimo momento" che gli deriva da questa fase.
8. Daccapo. con "l'ultimo momento".