Tecnica delle costruzioni - lezione 9

Politecnico di Torino

Appunti Tecnica delle Costruzioni
Anno Accademico 2013/2014
Eleonora Magnotta
Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

12/4/2017
Lezione 09: Effetti strutturali del fluage (II parte)

Principio di equivalenza dei vincoli posticipati

L'argomento principale della lezione sarà:

1. Il principio di equivalenza dei vincoli posticipati.

Principio della viscoelasticità lineare

Affrontiamo il primo principio del fluage lineare. Tale principio viene anche definito come corollario del teorema dell'isomorfisma. Immaginiamo di avere un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in equilibrio con il sistema alla forza F. In questa struttura saranno presenti:

• _σA: Tensioni dovute alle sollecitazioni indotte dalle forze,
• _εA: Deformazioni conseguenti.

Sicuramente lo stato di equilibrio e la struttura non si è rotta, e le deformazioni saranno congruenti e compatibili cioè rispettano le equazioni di congruenza, viste nel corso di Scienza delle Costruzioni, e la compatibilità con i vincoli. Ora immaginiamo di applicare a questo corpo che è in questa condizione di equilibrio un sistema di deformazioni impresse _εB. Le deformazioni impresse saranno così definite:

_εB = K'·_εA

In generale il sistema di deformazione impresso _εB non sarà congruente e compatibile, ma in questo caso particolare in quanto proporzionale alle _εA le quali sono congruenti e compatibili, _εB a sua volta è anch'esso congruente e compatibile per cui non interrompe nessun sistema di ulteriore deformazioni impresse. _εB elastiche tali che la somma delle _εB + _ε1, perché le 1.EB

Allora:

• σ̅B = 0
• ε̅B = 0

Tensione tot: σ̅A = σA - tensione dovuta ai vincoli esterni
Deformazione tot: ε̅A + ε̅B = εA(1+k)

L'introduzione di una deformazione simile a quella elastica presistente non modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso. Tutto ciò vale in presenza di corpo elastico, omogeneo, e vincoli ripassi, equilibrato sotto F.

Secondo principio del fluire lineare

Analizziamo ora il secondo principio del fluire lineare, anche noto come il teorema dell'isotropismo. Immaginiamo in questo caso di avere un corpo elastico-viscoso omogeneo e vincoli ripassi soggetto a deformazioni impresse F. Le deformazioni impresse in generale saranno non congruenti e non compatibili. Chiamiamo questo sistema di deformazioni impresse ε̅A. In presenza di un sistema di questo tipo succede che o rimane lo stato iniziale, ma non è il caso che ci interessa, oppure le deformazioni impresse non congruenti non compatibili sono accompagnate da un sistema di deformazioni elastiche complementari ε̅A tali che:

ε̅A + ε̅A sono congruente e compatibile

Se nascono le εA allora queste si portano dietro le σA tali σA non sono dovute alle forze esterne, ricordiamo che noi abbiamo dato fino a una deformazione impresa, deviando essere autoequilibrata. A questo corpo che è in questa condizione adesso introduciamo un sistema di ulteriori deformazioni impresse ε̅B:

ε̅B = k * εA

Nostra ipotesi è esattamente = col opposto alla - εB. Se questa supposizione è vera lo stato di deformazione tot. diventa:

ε = εA + εA + εB - εB = εA + εA

Il tale εB così particolare è tale da far insorgere una formazione elastica complementare - col opposto, si chiama ISOMORFA, perché non cambia la forma dell'elemento, cioè lo stato di deformazione rimane il medesimo. Da qui ecco perché è chiamato principio dell’isomorfismo.

Inoltre, siccome:

σB = -k·εA ⇒ σB - k·σA

Allora lo stato di tensione tot. sarà:

σ = σA - k·σA + σA (1-k)

∴ il sistema ancora equilibrato, perché benché il prodotto tra una tensione autoequilibrata (σA) per una costante tutto ciò nella parentesi tonda che rimane autoequilibrata.

Se l’ipotesi iniziale che noi abbiamo fatto è vera, noi otteniamo uno stato deformazione che è congruente e compatibile e, uno stato di tensione che è equilibrato. Ma allora per l’unicità della soluzione dell’equilibrio elastico (il teorema di Kirchhoff) questa è la soluzione reale.

Generalizziamo questo principio dicendo che: l’introduzione in un corpo elastico omogeneo e vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alle deformazione elastica impressa te non modifica lo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia di multiviliere e lo stesso, in modo proporzionale a sé stesso.

Ricordiamo che nel tempo interviene il fluage, che è una deformazione impressa che è proporzionale alle deformazioni elastiche preesistenti. Per effetto del fluage succede che lo stato di tensione totale non varia, ma lo stato di tensione varia proporzionalmente a sé stesso.

Dal punto di vista quantitativo abbiamo che: Es: Fluage lineare

U_i^el(t) è lo stato di deformazione elastica provocato da deformazioni impresse Ɛ_αn(t). In rapporto ad una deformazione isomorfa noi possiamo dire che:

U_i(t) = U_i^el(t)

Mentre lo stato di tensione varia, e varia con legge di rinascimento, quindi ricordando la legge che abbiamo scritto nella lezione scorsa possiamo dire che:

δ_c(t) = ∫₀^t [∂(Ɛ_c(τ) - Ɛ_αn(τ)) / ∂τ] ∂τ == (1 / E_∞) ∫₀^t [R(t, τ) ∂U_c / ∂τ] ∂τ

Terzo principio del fluage lineare

Tale principio è noto anche come principio di acquisizione dei vincoli partecipati. Principio di fondamentale utilizzazione tutte le volte che si ha una variante al sistema statico durante la costruzione.

Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo avente ‘n’ vincoli ripoli dotati di reazioni x_i(t_o) in presenza di forze costanti F₅. Dopo aver applicato il carico la struttura si deforma, e la configurazione della deformata compatibile la presenta con una freccia nel punto B in particolare.

Una volta avvenuta la deformazione al nostro stato sigma iniziale, subito dopo l’applicazione del carico noi andiamo ad introdurre un ulteriore vincolo nel punto B. Tale vincolo all’istante in cui l’abbiamo inserito ha reazioni 0, perché andiamo a metterlo in contatto senza forzarlo, se forzato dopo qualche giorno per effetto del Fluvage (siamo ora nel campo di qualificazione del primo principio), le forze non sarebbero cambiate, ma la freccia nel punto B, ovvero la deformazione, sarebbe cresciuta. Mettere però un vincolo in quel punto te esteriorizzazione è impedita e quindi il vincolo stanca di reazione.

La domanda che ora ci poniamo è: quale sarà il valore della reazione a tempo 0? Nella 1a configurazione della struttura, quel che era con 4 maggie, le reazioni nei vincoli iniziali sono Xn (t0), dove t0 è il tempo in cui abbiamo applicato il carico. Dopo l’applicazione del carico si introduce il vincolo (n+1), con reazione iniziale Xn+1 (t0) = 0. Se il vincolo n+1 fosse introdotto prima del carico avrei avuto:

Xn+1 (t0) ≠ 0

È diverso da zero perché quel vincolo era presente prima quando abbiamo applicato il carico. In tutti gli altri vincoli si avrà una variazione, perché prima portavano il carico in 4; ora lo portano in 5, quindi negli altri vincoli ci sono delle variazioni. ΔX_i rispetto all'entità delle reazioni X_i che ci sarebbero state se il vincolo n+1 non fosse stato introdotto. Per tornare alla situazione iniziale, occorre far subire al vincolo n+11e1mo un cedimento elastico σ. Il cedimento elastico σ deve essere pari allo spostamento che ci sarebbe stato in questo punto se il vincolo non fosse stato presente.

Scriviamo le equazioni che rappresentano le reazioni vincolari in tutti i vincoli:

• In n+1: la reazione farà: X_n+1(t₀) - X_n+1(b₀) = 0
• A: effetto di forza, quindi invariante nel tempo; B: effetto di deformazioni impresse, quindi variabile nel tempo con legge di rilassamento
• In i: in termini di reazione la situazione sarà la seguente: X_i(t₀) + ΔX_i(t₀) - ΔX_i(t₀) - X_i(t₀)
• C: reazioni che avrei avuto se all'applicazione del carico non l'elen-ti-D: reazioni che derivano dalla presenza del vincolo n+1 quando app-lico il carico; E: nascono tali reazioni per far sì che il valore tot. sia X_i(t₀); e questo è logico perché io prima l'ho introdotto e poi l'ho tolto.

In questo caso le quote C e D derivano dall'applicazione di un sistema di forze, cioè dalla presenza di un carico, quindi invarianti nel tempo per il principio delle viscoelasticità lineare. Il termine è invece derivato dall'annullamento della deform. impressa, cioè l'abbassamento del vincolo, quindi per il secondo prin. lineare varia con legge di rilassamento. Analizziamo ora al tempo t:

X_n+1(t) = X_n+1(t_o) - X_n+1(t_o) - ^R(t,t_o)/_Ec- X_n+1(t_o)^{1 - R(t,t_o)/_Ec}

Reazione del vincolo n_+1esimo al tempo t. Contributo costante - Contributo che varia con legge di rilassamento. O: qualcuno che consiste nel raccogliere X_n+1(t_o).

In tutti gli altri vincoli abbiamo che le relazioni valgono:

X₁(t) - X_o(t_o) + ΔX_o(t_o) - ΔX_o(t_o) ^R(t,t_o)/_Ec- X_o(t_o) + ΔX_o(t_o)^{1 - R(t,t_o)/_Ec}

Questa volta raccogliamo ΔX_o(t_o). Se volgiamo ora intralune dei numeri in questa relazione, per capire gli ordini di grandezza pensano:

t_o = 28 giorni. ^R(t,t_o)/_Ec = 0,15 : 0,30 vole cu'. se t=∞ Per noi t=∞ significa prendere il valore che corr. al alcuni cm.

Applicando ora la formula vista in precedenza avrò:

X_n+1(t) - (C_i/_i0;0,85) X_n+1(t₀)

Cioè nel vincolo posticipato noi veniamo a trarre una reazione al tempo t = t0, che è compresa tra il 70÷85%, di quella che ci sarebbe stata se il vincolo fosse stato messo prima dell’applicazione dei carichi. Noi con questo passaggio prendiamo il 15÷30% della reazione. Questo è un risultato importante che ci fa capire che in presenza di variazione di schema statico, quale l’introduzione di un ulteriore vincolo dobbiamo preoccuparci di analizzare se lo schema statico iniziale sia quello finale, le sollecitazioni migrano. Abbiamo la distribuzione delle sollecitazioni dallo schema statico iniziale allo schema statico finale.