Tecnica delle costruzioni - lezione 2

Politecnico di Torino - Appunti di tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Introduzione alle variabili aleatorie

Finito f_X come:

P_F = ∫_Df f_X(x₁, x₂, ..., x_n) dX₁ dX₂ ... dX_n

Se siamo in grado di calcolare questo integrale possiamo estrarre un numero che è la misura della nostra sicurezza.

Introduciamo ora qualche semplificazione operativa: immaginiamo che le n variabili aleatorie possano essere divise in favorevoli e sfavorevoli nei riguardi della resistenza e delle sollecitazioni. Definiamo variabili favorevoli quelle riferite alle resistenze, sfavorevoli invece quelle riferite alle sollecitazioni.

Definizione delle variabili

Facendo questa distinzione possiamo definire:

• R = g_R(x₁, x₂, ..., x_m)
• R è una funzione g_R.
• S = g_S(x_m+1, x_m+2, ..., x_n)

Averlo definito le variabili favorevoli e sfavorevoli possiamo ancora definire:

• E: variabile aleatoria chiamata esito dato da R - S
• D'_f: dominio di insuccesso, E
• f_R,S: densità di probabilità congiunta di R e S.

Allora le probabilità di rottura possiamo definirle così: (2) P- P(E < 0) = ∫_D+ f_R,S(r, s) dr ds

Rappresentazione grafica

Facciamo ora una rappresentazione grafica di questo concetto: Lungo la retta viola (che poi non è nient'altro che la bisettrice), abbiamo che R=S ⇒ E=0. Al di sopra della retta viola E > 0 perché le R > S; al di sotto della retta è negativo perché S > R.

La funzione di densità di probabilità campion è una specie di collina che è rappresentata nel grafico allegato come delle curve di livello, cioè lungo ciascuna di queste linee che sono delle retate della collina f_R,S è costante. È dunque la proiezione in pianta della collina. Fare l'integrale sul dominio D₊ delle f_R,S significa calcolare il volume di quella parte rossa. Vuol dire intersecare con un piano che ha come giacitura la retta sopra = 0, la collina, e calcolare il volume della parte della collina che sta dal lato dell'insuccesso. Questa è la probabilità di attacco.

Calcolo delle probabilità

Tale integrale noi possiamo calcolarlo mediante 2 metodi: o per linee verticali o per linee orizzontali. Introduciamo ora altre semplificazioni: immaginiamo ora che R ed S siano variabili indipendenti, cioè che R ed S siano al loro interno delle variabili che sono indipendenti.

f_R,S(r, s) = f_R(r) · f_S(s). Non è sempre vero che R ed S possono considerarsi indipendenti. Considerare R ed S come variabili indipendenti è un'ottima assunzione perché la densità di probabilità congiunta può essere calcolata come il prodotto delle probabilità semplici. Lavoriamo in modo molto più agevole dal punto di vista matematico.

Integrazione orizzontale e verticale

Vediamo le cose dal punto di vista grafico:

• In orizzontale: noi fissiamo una densità di probabilità della resistenza. Cioè scegliamo in pratica una resistenza e diciamo che la resistenza R è compresa tra r-d_r e r. La probabilità che la resistenza sia compresa in questo piccolo intervallo corrisponde all'area sottesa dalla curva su una larghezza d_r.
• Qual è il caso favorevole che si manifesta? Si manifesta tutte le volte che la S ha un valore più grande di questa resistenza, cioè la probabilità che la sollecitazione sia maggiore è rappresentata dall'intera area sottesa dalla curva rosa che sta alla destra della retta tratteggiata.
• Tale area alla destra vale: [1 - F_S(r)] = P{S > r} (è il collinù 'circonlato')... frequenza accumulata, che è la frequenza accumulata che tutta la curva... fino al livello di nostro interesse. Ricorda mo che l’area sottesa dalla curva vale 1.

Questo integrale in orizzontale, in forma grafica, viene chiamato integrale di convoluzione, chiamato così perché porta a convolvere insieme le R e S.

Metodologia di integrazione

Passiamo ora all’integrale in verticale; ora in verticale segniamo la sollecitazione. Immaginiamo ora che la sollecitazione sia compresa in quell’intervallo tratteggiato...._s ^dls _s ^s+ΔlS..._s(S)dS = P ... _s < S < s+ΔlS

Avremo un caso favorevole, ovvero, le trotture tutte le volte che finiamo alla nostra dell’area tratteggiata ... matrice, ovvero, nella parte ‘circondata’. Sarà dunque la:... _s = P ... _R ≤ s_S) e la frequenza accumulata della FR al livello S. Abbiamo definito lo stesso concetto andando a scambiare la metodologia di integrazione.

Interpretazione dei parametri

Facciamo un’ulteriore interpretazione che ci consente di lavorare in qualche modo in forma diversa. Immaginiamo ora che le R ed S oltre ad essere indipendenti abbiamo anche di ...5 Situazione normale, ovvero rappresentabili con delle gaussiane. Facendo questa osservazione chiamiamo che R ed S sono completamente note se io conosco le funzioni NE e NS.

Distribuzioni gaussiane

R -> NE (ηR ; σR)

S -> NS (ηS ; σS)

Dove: η: indica una media; σ: indica lo scarto quadratico medio. Se vogliamo pensare alle funzioni esito che chiamiamo Z allora sappiamo che: Z = R - S -> NZ (ηZ ; σZ) Essendo una differenza tra due distribuzioni di gaussiane, sarà anch'essa una gaussiana.

Rappresentazione grafica delle gaussiane

Proviamo a fare una rappresentazione grafica: Gaussiana relativa alla funzione esito.

1. μZ = 1/ηZ
2. σZ = 1/ηZ
3. μ = 1/ηZ/√σZ dopo la traslazione
4. Qualcuno prima il sistema rileva il confronto continuo dei essi continui.

Le gaussiane in figura dovrebbero essere una curva simmetrica. Le probabilità di insuccesso è descritta dalla funzione esito negative quindi dall'ostacolo esteso dalle curve e misto di.

Siccome la curva è simmetrica io posso individuare una P anche dal lato opposto. Ora possiamo fare una traslazione dei assi; posso cioè rifermi a dei k variabili standardizzate. In questo caso io uso le variabile standardizzate 'u', la quale mi consente di descrivere le gaussiane con media = 0, e varianza 1.

Variabili standardizzate

Vediamo quali sono queste variabili standardizzate:

Calcolo η₂ e t₂ prendendo dalle distribuzioni di angoli. L'esito negativo lo vado a cercare come:

R_E = P{ t ≤ t₀} = ∫_−∞⁰ f_t(z) dt

Le variabili standard sono:

U= ^{z − η₂}/_σz; N u { 0;1 }

In questa nuova configurazione standard io introduco un nuovo fattore: β', che misura la curvatura lo definisco come :

β= ^η₂/_σz -> chiamato indice di curvatura

Tale rapporto nel grafico rappresenta l'ascissa del punto 0. Introducendo tale fattore β posso calcolare l'area retata dalla curva al di là dell'ascissa al β, e questo per simmetria mi rappresento anche la Pr o Pittrié al t=0.

Calcolo delle probabilità di sicurezza

Possiamo dire allora che:

(1) Pr = ∫_β^+∞ f_u(μ) dμ = 1 - F_u(β) = Pr (β) frequenza cumulata al livello di β - area sottesa alla curva al di sopra della β dall’ascissa 1 che e anche β a +∞ della curva f_u.

Coefficiente di variazione

Possiamo definire il coefficiente di variazione delle variabili C₇ come: C₇ = γ - β - 1.

Facciamo alcuni ragionamenti su questo β, che viene espresso in funzione di η_R e σ₂. Tale β possiamo esprimerlo anche mediante i coefficienti di variazione di partenza:

β =( γ_o - 1 ) / (√γ_o² C_R² + C_S²)

Introduciamo un nuovo parametro γ_o chiamato coefficiente di sicurezza centrale, definito come il rapporto tra:

γ_o = η_R / η_S

Facendo così notiamo che β è funzione dei coefficienti di variazione, che controllano/stringono la dispersione delle funzioni di Gauss di partenza delle R e delle S, ma anche funzione di γ_o.

Confronto di sicurezza

Ora possiamo vedere se il coefficiente γ_o, che è legato a β è sufficiente per misurare o meno la sicurezza. Ma possiamo ora disegnare la Pr come una funzione di γ_o, C_R e C_S. Facendo così perché abbiamo detto che Pr è funzione di β:

(1) Abbiamo sostanzialmente il seguente diagramma in cui la (2) Sono ben 16 curve. Tali 16 curve corrispondono a ben 16 combinazioni diverse di Ce e Cs. Vogliamo il valore numerico di questi coefficienti:

1. Cs vanno da 0 a 0,3 (range usuale);
2. Ce vanno da 0,05 a 0,20 (range usuale).

Sostanzialmente chiariamo che:

• Ce elevati (Curve 9-16) anche se aumenta Pe non riesco a contenere e sufficiente la Pe;
• Ce limitati (Curve 1-8) ho una sensibilità eccessiva della Pe con S.

Questo in definitiva significa che Pe non è un buon indice di sicurezza. Questo ha anche una spiegazione fisica. Noi abbiamo detto che Pe è il rapporto tra le 2 medie, ma non dà alcune indicazione sulla dispersione tra queste 2 curve.

Valutazione della sicurezza

Ora parlando dell’integrale di conservazione noi abbiamo visto che è importante la zona in cui le curve si intersecano per la valutazione della sicurezza, quindi è chiaro che non definire e non usare un parametro che non definisca la dispersione delle 2 curve (l'ampiezza delle campane di Gauss) significa commettere un errore grave nella valutazione della sicurezza.

Utilizzo delle nuove variabili standardizzate

Andiamo ora ad utilizzare delle nuove variabili standardizzate:

ψ = ^{R - η_R}/_ϱR ⇒ R = ψ ϱ_R + η_R

ψ = ^{S - η_S}/_ϱS ⇒ S = ψ ϱ_S + η_S

Allora ricavando l'esto abbiamo:

R - S = ψ ϱ_R - ψ ϱ_S + (η_R - η_S) = 0

Rappresentazione grafica dell'equazione

Quest'equazione può essere rappresentata come l'equazione di una retta in assi ψ e ϱ che è a una distanza α dall'origine, la quale è descritta da:

d = ^{η_R - η_S}/_{√ϱR² + ϱS²} = β

Usando tali variabili standardizzate la retta limite, non passa mai per l'origine e la distanza di questa retta dall'origine è esattamente l'indice di ricchezza.

Analisi dei risultati

Vediamolo graficamente:

• Dove: 1 ➝ ^{η_R - η_S}/_ϱS

Passiamo ora a una rappresentazione grafica che abbiamo visto in precedenza: ora rappresentiamo Pr e T_r. La prima osservazione che possiamo fare è che: la scala di T_r ora arriva a 2,4 e non più a 4,2 come nel caso di T_o. Questo significa che il fascio di 16 curve, si è raddensato e allineato più compatto.

Valutazione di sicurezza del coefficiente T_r

I coefficienti di variazione C_s e C_c che identificano le curve sono i medesimi che avevo nel caso di T_o. Il T_r non è un buon indice per la sicurezza come nel caso di T_o. Questo perché valgono le stesse considerazioni fatte per T_o, però in misura minore.

Nuove variabili di sicurezza

Vediamo cosa succede nel caso di T_al:

P_e = Pr (T_al, C_c₁, C_s)

La scala delle ascisse si è ulteriormente ridotta arrivando a 2. Il fascio di curve R è compatto ulteriormente. Possiamo sostenere che il coefficiente T_al è un buon indice di sicurezza perché:

• i) Ce uguali (9-12) il Pr tra 5 · 10^-2 e 10^-5 per T_al = 1,5