Tecnica delle costruzioni - lezione 2

POLITECNICO DI TORINO

Appunti Tecnica delle Costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora MagnottaProfessore Giuseppe Mancini

"CORSO di TECNICA delle COSTRUZIONI"

Lezione 02: Sicurezza Strutturale (Parte II). 22 | 3 | 2014

Gli argomenti della lezione sono :

• Metodi probabilistici (livello 1, livello 2 e livello 3)

"METODO PROBABILISTICO di LIVELLO 3"

Immaginiamo che :

{ X_i } sia il vettore delle n variabili aleatorie determinate la sicurezza.

f_X è la densità di probabilità congiunta di { X_i }.

D_f : dominio di insuccesso, cioè il dominio all'interno del quale la verifica non è sodisfatta.

Per funzioni di densità di probabilità congiunta intendiamo dire che la f_X che sarà funzioni delle funzioni (X₁, X₂, ... , X_n) in dX₁, dX₂, ... dX_n rappresenta la probabilità che le variabili X₁, assume un valore compreso tra x₁ e x ₁ + dX₁ e contemporaneamente (n) la variabile X₂ assume un valore compreso tra x₂ e x₂ + dX₂ e, nello stesso temo X_n sia compreso tra x_n e x_n + dX_n

Riassumendo in termini matematici scriveremo che:

f_X ( X₁, X₂, ... , X_n) dX₁, dX₂, ... dX_n =

= P

[ ( X₁< X₁< x₁ + dX₁) ∩ ... ( X₂ < X₂ + dX₂) ∩ ...

... ∩ ( x_n < X_n < x_n + dX_n ) ]

Esprimiamo allora la probabilità di rottura avendo D_i =

frequenza accumulata

che è la frequenza accumulata

che tutta la curva fino al livello di nostra interesse. Ricorda che l'area sottesa dalle curva vale 1. Questo integrale in orizzontale, in forma grafica, viene chiamato integrale di convoluzione, chiamato così perché porta a concludere insieme le R e S.

Passiamo ora all'integrale in verticale, che in verticale segua

ma la sollecitazione. Immaginiamo ora che la sollecitazione sia compreso in quello intervallo tratteggiato.

Avremo un caso favorevole, ovvero che ritorna tutte le volte che siamo alla sinistra della area tratteggiata, a matita

ovvero, nella parte "circolata". Sarà dunque la:

• F_S(S) - P | R ≤ S

è la frequenza accumulata delle FR al livello S.

Abbiamo derifito lo stesso concetto analogando e scambiando la metodologie di integrazione. Facciamo un ulteriore interpretazione che ci consente di lavorare in qualche modo in forma chiusa. Immaginiamo ora che le R e le S oltre essere indipendenti abbiano anche di...

ψ = (R - η_R)/(σ_R)

⇒ R = ψ σ_R + η_R

ψ = (S - η_S)/(σ_S)

⇒ S = ψ σ_S + η_S

Allora ricavando l'esito otteniamo:

R - S = ψ σ_R - ψ σ_S + (η_R - η_S) = 0

Questa equazione può essere rappresentata come l'equazione di una retta in assi ψ e ψ che è ad una distanza β dall'origine, la quale è descritta che:

d = (η_R - η_S)/(√(σ_R² + σ_S²)) = β

Usando tali variabili standardizzate la retta limite non passa per l'origine e la distanza di questa retta dall'origine è esattamente l'indice di ricchezza.

Vediamolo graficamente:

Da c:

1. (η_R - η_S)/(σ_S)