Tecnica delle costruzioni - lezione 17

Politecnico di Torino

Appunti Tecnica delle Costruzioni
Anno Accademico 2013/2014
Eleonora Magnotta
Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

29/04/2014
Lezione 17: Cemento Armato, Stati limite ultimi (1 parte)

Stati limite ultimi

Gli stati limite ultimi sono un aspetto molto importante per il cemento armato (c.a.), da verificare con accuratezza. Per individuare il meccanismo resistente nel cemento armato bisogna introdurre delle schematizzazioni dei materiali, cioè approssimare le leggi di comportamento dei materiali con delle leggi di calcolo. Vediamo di seguito il caso del cls:

Leggi di comportamento dei materiali

Le curve 'idealizzata' rappresentano la risposta del materiale, si vede che la risposta non è lineare fin dall'inizio, e arriva a una certa deformazione mostrando un'area plastica. Tale curva fa riferimento alla resistenza caratteristica come la massima che si può raggiungere.

Da quel diagramma idealizzato si passa al diagramma di calcolo che è quello da utilizzare nelle verifiche ultime ottenendolo tramite un fattore di sicurezza γ_c e un coefficiente x le f_ck. Noi portiamo quel valore f_ck al valore α f_cal mediante il seguente rapporto:

x f_ckγ_c = α f_cal

Utilizziamo le curve in rosso per rappresentare il comportamento del cls. Abbiamo per questa curva le stesse deformazioni, ma tensioni obiettive.

L'equazione del tratto curvo è quella caratteristica di una parabola; cioè possiamo esprimerla come:

f_cd = 1000 * ε_c * (250 - ε_c + 1)

Tale diagramma viene comunemente chiamato parabola-rettangolo (parabolico il primo tratto, rettangolare il secondo tratto).

Coefficiente ξ

Il coefficiente ξ viene ottenuto come coefficiente riduttore per carichi di lunga durata. Aumenta la sicurezza della struttura per tenere controllati carichi prossimi alla resistenza del cls, comunque perché rimangano sul lungo termine sulla struttura. ξ assume valore pari ca. 0.85 (0.80 se le lunghezze della reazione si riducono verso la zona più compressa) per i casi virtuali.

Tratti di comportamento del cls

Per il cls i tratti di comportamento più semplice, chiaramente sempre idealizzati, i risultati di queste inclusioni sono praticamente irrilevanti dal punto di vista numerico:

• OA: tratto elastico-lineare;
• AB: zona plastica;

Si passa a x_fcd sempre con l'operazione fatta precedentemente. Un'altra ipotesi che si può utilizzare ancora più semplificata è: poiché la sezione è soggetta a trazioni e compressioni, cioè l'a.n. sia interno alla sezione o al limite tg, è quella di sostituire il diagramma parabola-rettangolo o il diagramma triangolo-rettangolo con uno stress block rettangolare, dove la tensione max è x_cal = (x_fck)/γ_c.

x: indica la posizione dell’a.n. Qui errori che si commettono nell'utilizzare il diagramma anche ...₁ sono davvero minimi, quindi trascurabili ...₂

Acciaio ordinario e precompresso

Per l'acciaio dobbiamo distinguere tra acciaio ordinario e acciaio precompresso. L'interno dell'acciaio ordinario ha un classico diagramma bilineare:

• OA: è un tratto in cui entrambi i diagrammi hanno quell’andamento, sono dunque sovrapposti.

Il diagramma idealizzato ha un andamento plastico molto sviluppato, quindi viene limitato soltanto all’1%. Per questa sovrapposizione succede che l'angolo tangente è:

tαx = Es = 2.10⁶ kg/cm² = 2100 kN/cm²

È il modulo elastico dell'acciaio. Questo nel cls non succede. L'acciaio ordinario richiede quelle limitazione all'1%, solo in alcuni casi molto particolari, uno di questi è quello di sezioni costituite da cls con armature distribuite lungo il perimetro delle sezioni. Un altro caso è quello in cui siano presenti all'interno delle stesse sezioni acciai con differenti caratteristiche meccaniche.

Schema dell'acciaio da precompressione

Passiamo allo schema dell'acciaio da precompressione: abbiamo una schematizzazione simile all'acciaio ordinario con la differenza però che il secondo tratto che nell'acciaio ordinario è perfettamente orizzontale, nell’acciaio da precompressione si inerce inclinatamente, ma così è una certa pendenza. Anche in questo caso nel primo tratto si ha una sovrapposizione tra le due curve calcolate. Il modulo di questo acciaio è leggermente più basso dell'altro caso, abbiamo infatti che:

tαx = Es = 2000000 kg/cm²

Ipotesi di calcolo

Le prime ipotesi che facciamo:

1. Conservazione della planarità delle sezioni (ancora valida l'ipotesi di Navier);
2. Considerazione delle deformazioni che subisce l'acciaio aderente al cls e il cls circostante l'acciaio. Ciò deve valere sia in trazione che in compressione;
3. Assenza di resistenza a trazione nel cls;
4. Rappresentazione delle risposte dei materiali tramite le leggi soprariportate;
5. Preso in conto delle pre-deformazioni negli acciai da precompresso. La predeformazione fa sì che parte delle resistenza dell'acciaio l'abbiamo già vista;
6. Limitazione a -2‰ delle deformazione limite del cls in presenza di sola compressione e di valori compresi tra -2‰ e -0.35‰ nel caso di sezioni interamente soggette a tensioni di compressione;
7. Limitazione, ove necessarî, delle deformazione dell'acciaio all'1‰

Con queste ipotesi, noi possiamo illustrare il seguente diagramma che rappresenta le deformazioni limite nei materiali che possiamo raggiungere. Immaginiamo di fare riferimento a una sezione ipotetica:

Partendo da A vediamo che in questo caso abbiamo trazione-trazione, quindi la max deformazione che possiamo raggiungere superiormente che inferiormente è l'1%.

Arriviamo ora nel punto B in cui abbiamo l'8,5%, nello ε_sup, l'inferiore resta all'1%.

Punto C, è un altro punto limite, in cui abbiamo una deformazione limite del cls del 3,5%. Il ramo di compressione, ovvero il ramo curvo, riguarda le E entrambe di compressione nel cls. Quindi la sezione è tutta compressa però non in modo uniforme. Il punto D è il punto che si ha quando E è sola compressione, infatti allo stato con pressione carraia abbiamo il 2% oltre la deformazione.

Con questo percorso possiamo immaginare di ottenere tutta una serie di situazioni limite che si possono verificare in una sezione in cls: sezione intrutta. La sezione che stiamo considerando è dotata di un doppio livello di armatura.

x: generica posizione dell' σ.n.d: distanza dalle armature tese e meno compresse dal lembo superiore della trave.

Se percorriamo le deformazioni limite che abbiamo scritto in precedenza possiamo aiutare a individuare su questo diagramma in cui la linea 0-0 rappresenta l'informato della sezione tutta una serie di configurazioni limite delle deformazioni. Per esempio, diamo il 10%, all'acciaio superiore ed inferiore. Allo stesso tempo, le tensioni sono limitate anche all'alterazione della sezione all'interno degli acciai perché abbiamo detto che non c'è resistenza del cls in trazione. Questa è la situazione limite; non possiamo andare più a sinistra, dobbiamo da quel punto andare a destra.

Per osservare tutte le configurazioni limite che possiamo incontrare possiamo utilizzare il metodo delle tensioni, quindi dobbiamo fare in modo che almeno uno degli elementi acciaio cls raggiunga la deformazione limite. Quindi possiamo partire dal punto A e ruotare la configurazione deformata che è quella in verde, progressivamente in senso orario, fino a raggiungere la configurazione limite rosa, che porta a deformazione 0 l'altro lembo. Io lascio invariato il 10%, nell'acciaio inferiore (teso) e progressivamente riduco la deformazione all'altro lembo.

Uguale a osservare tutta una serie di configurazioni possibili che stanno all'interno delle due rette: una rosa e una verde che individuano il campo che chiama campo 1.

Campo 1

Che cosa succede in corrispondenza del campo 1? Succede che la sezione è complessivamente in trazione, l'a.n. esterno alla sezione (N₀ con piccole eccentricità) - S_LU lato acciaio.

Torniamo ora sul diagramma e scriviamo altre configurazioni unitarie. Non abbiamo esaurito perché se noi facciamo ruotare ancora la retta rosa in verso orario, mantenendo fisso lo stato limite ultimo lato acciaio nel punto A, e via via mandiamo in compressione A.

Il calcestruzzo inferiormente. Lo possiamo fare fino a quando ciò non raggiunge una deformazione limite del 0.35%. A questo punto non possiamo più continuare a ruotare perché se lo facesse si violerei 2 condizioni. Andremmo ad attribuire al cls deformazioni > 3.5%, che non può assumere. Dobbiamo allora bloccare al punto B. Tra la retta limite del campo 1 e quella nuova, si individua tutto in campo di configurazione possibile limite che corrispondono alla rottura dell'acciaio, il cls non ha esaurito le sue resistenze fino al punto B, che si chiama campo 2.

Campo 2

Nel campo 2: l'a.n. interno alle reazioni (N,+) o con grande eccentricità, lo S.L.U. è raggiunto dal lato acciaio. E quando siamo nella configurazione limite che porta l'acciaio all'1.0%, e il cls al 3,5%, cioè alla frontiera campo 2 successivo campo 3 abbiamo il max sfruttamento dei materiali. Se riuscissimo a progettare in quelle configurazioni avrei che entrambi i materiali arriverebbero contemporaneamente allo S.L.U.

Andiamo avanti con le osservate altra configurazioni limite. Dobbiamo ricordare che non possiamo andare oltre al punto B, quindi per spostature il campo dobbiamo spostare la cerchia tra il punto A al punto B. Dobbiamo tenere fisso il 3,5%, e ridurre progressivamente la deformazione dell'acciaio. Lo ridurremo fino a quando l'acciaio non raggiunge la deformazione di servamento di calcolo (y,al), e individuiamo così un nuovo campo, che è il campo 3, tra la retta limite 2-3.

Campo 3

Nel campo 3 l'asse retto è interno alle tensioni, raggiungiamo questa volta lo stato limite ultimo lato cls con acciaio sforzato. Nella frontiera tra il campo 3 e il campo 4, quando abbiamo il 3,5% per il cls e il Ey_cl per l'acciaio, ci si trova in una condizione che si chiama balanced condition, cioè condizione bilanciata, nel senso che entrambi i materiali sono in fase plastica.

Cioè l'acciaio pur non avendo raggiunto deformazione limite e plastificato è sul tratto orizzontale. Al di sotto di quello stato limite l'acciaio non si sforza, cioè rimane nella risposta elastico-lineare.

Diagramma delle deformazioni

Andiamo avanti, ora però riporto solo il diagramma delle deformazioni. Ruotiamo attorno al punto B in modo da desumere altre configurazioni: abbassiamo progressivamente la deformazione dell'acciaio finché non diventa =0, quindi l'acciaio rimane in campo elastico-lineare finché non ha deformazione nulla. Tale campo è chiamato campo 4, in questo campo abbiamo che:

Campo 4

L'R.N. è ancora interno alle tensioni. Lo stato limite ultimo viene raggiunto lato cls, con un acciaio che però non è sforzato. In questa condizione il rischio è di avere poca duttilità.

Se andiamo ancora avanti con il diagramma, ora possiamo osservare un piccolo campo in cui la deformazione 0 va a finire nella zona limite al lembo della retare. Nel campo 4_c succede che la r.n. al di sotto delle armature. È una situazione che possiamo trovare anche nei plinti.

Ultima configurazione limite

Vediamo ora l'ultima possibilità, non possiamo più ruotare attorno al punto B, perché la reazione è interamente compresa. Abbiamo detto che la deformazione limite è il 2%, non può il 3,5%. Dobbiamo allora ruotare attorno al punto D, cioè l'intersezione della retta corrispondente alla deformazione del 2%, con quella limite del campo 4_c. È un punto posto a 3/4 della reazione.

Campo 5

L'ultima configurazione limite che definisce il campo 5 è la retta in u.l.u. In questo campo avremo la reazione interamente compresa.

Valutazione del contributo della precompressione

Vediamo ora come si valuta il contributo della precompressione. Abbiamo più detto che bisogna tenere conto della pressione. Parliamo di un diagramma:

Bene noi mettiamo in precompressione l'acciaio, quindi vuol dire che restando in campo elastico applichiamo una ε_po a cui consegue che una σ_po. Ci siamo mangiati allora una parte della resistenza che è quella che va da 0 a σ_po (tratto lineare). Nella realtà questa σ_po non rimane proprio costante perché ci sono delle cadute di tensione, quindi "va giù", ma non di molto.

Nel momento in cui noi blocchiamo l'acciaio in precompressione su quella configurazione, praticamente possiamo emettere che quello che vogliamo introdotto è un qualcosa che resta nella struttura in modo permanente, quindi, ha a tutti gli effetti, le caratteristiche di un'azione. Questa è l'azione della precompressione. Avendo allora un effetto agente va trattata con i coefficienti di sicurezza agenti.

Da σ_po in poi io ho ancora un diagramma, una volta scaricata la pre-elongazione, l'acciaio precompresso che è aderente ha una riserva di resistenza di elasticità che può essere sfruttata. A tutti gli effetti tale acciaio si comporta come un acciaio ordinario che ho in diagramma τ-ε modificato perché la σ_po la metterò ancora nel punto σ_po. Il tratto σ_poA è equivalente a un effetto resistente della precompressione, quindi ad esso va applicato il coefficiente di η_s.

Abbiamo detto che ε_po varia. E varia per le cadute di tensione, varia in presenza di altri carichi permanenti applicati, quindi bisogna chiedere quale applicare. Siccome è ininfluente spostarsi un po' in alto in basso, perché ciò che perdiamo dalla lo-ta azione la recuperiamo dal lato resistente, si assume convenzionalmente che la pre-elongazione Epo corrisponda alle ra-zioni nulla della reazione una volta che ci sono tutte le cadute di tensione.

All'effetto operativo bisogna applicare Tp, che può essere normalmente 1, perché se noi consideriamo l'effetto agente abbiamo un recupero o una riduzione dell'effetto resistente.

Ci sono però dei casi in cui bisogna distinguere ed è allora lì si dà Tp:

1. Quando il ferro acciaio alla precompressione in zona tesa è compresso, allora se: ^A'p/_Ap ≤ 0.15 ⇒ Tp = 1
2. Caso in cui la barra è mal progettata, in cui la tensione dell'acciaio alla precompressione allo S.L.U non raggiunge la resistenza (0.9 fptk) / γ_s:

σ_p'(SLU) > (0.9 fptk) / γ_s ⇒ Tp = 1
σ_p'(SLU) s ⇒ Tp = a valori + che 1.
I valori sono:
T_p = 0.9 zona tesa
T_p = 1.2 zona compressa

Con le ipotesi che abbiamo fatto ad ogni configurazione che fomatte che abbiamo descritto corrisponde una combinazione:

12. Sforzo normale, MF in direzione x e in direzione y, cioè Nsol, Msolx, Msoly.

Allora noi possiamo dei domini di resistenza detta fetzione. Possiamo allora confrontare le caratteristiche ai sollecitazioni agenti contraddistinte dal pedice ‘s’; con le sollecitazioni resistenti che hanno indice R, quindi Nrel, Mrelx, Mrely. Possiamo tracciare una superficie di interazione per una data armatura. Vediamone uno:

µ: indica il MF adimensionallizzato;
L: indica le forze normale adimensionallizzato.
Quella figura obliqua rappresenta un dominio. Ogni punto del dominio corrisponde a una configurazione limite di quelle che abbiamo tracciato.

1: punto all’interno del dominio quindi la risposta alla verifica delle sicurezze è positiva, la sezione è in grado di sopportare quelle sollecitazioni agenti.
2: punto sulla frontiera del dominio, allora qui la resistenza della sezione è in grado di sopportare quelle sollecitazioni, ma attenzione! Perché in questo caso basta una piccola variazione del flettente o del normale per portarla fuori. Se abbiamo un punto fuori dal dominio allora non è possibile garantire l'equilibrio con i coefficienti di sicurezza adatti per quel tipo di sollecitazione.

-La verifica di sicurezza con l'uso dei domini consiste nel verificare che il punto P (Nsd, Msdx, Msdy) deve essere interno o sulla superficie di interazione.

-In genere si opera con parametri adimensionalizzati; quindi:
U = ^N/_{b.h. fcd} ;(dimensioni della) (sezione) resistenza al calcolo
μ = ^M/_{b.h² . fcd} ;
Dove:
01. altezza utile, distanza tra fibra acia tesa e la zona più compressa - Tale parametro stesso si sostituisce a h-