Tecnica delle costruzioni - lezione 16

Appunti tecnica delle costruzioni

Anno accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Politecnico di Torino

Corso di tecnica delle costruzioni

26 | 09 | 2014

Lezione 16: Plasticità (V parte)

Gli argomenti della lezione sono:

• Teorema fondamentale dell'analisi limite

Ora proviamo ad esaminare alcuni esempi:

Un primo meccanismo di collasso

Un primo meccanismo di collasso che si può formare è il seguente: in questo caso collassa la traversa ondulando e formate le 3 cerniere plastiche in figura.

Andiamo ora ad applicare il P.L.V:

PLΘ₀ ───── = M_pΘ + M_p2Θ + M_pΘ = 4M_pΘ     2

La forza P orizzontale non compie lavoro perché non ci sono degli spostamenti orizzontali significativi.

Possiamo allora ricavare il carico limite in questa configurazione:

P_l ̅ ≡ ^8M_p⁄_L

Costruiamoci ora un parametro che ci serve come confronto tra i diversi meccanismi che è il seguente rapporto:

⁣ _{PL * L} ^{Mp 8}

Un secondo meccanismo

Un secondo meccanismo è il portale, con ben 4 cerniere plastiche; quindi questo significa che il precedente non era un collasso completo:

Qui, abbiamo un collasso completo perché la struttura è 3 volte iperstatica. Nell’esempio si vede bene che non c'è la cerniera lungo la traversa, questo significa che i montanti sono relativamente alti cioè le ripetute dei montanti sono abbastanza bassi e non riusciranno allora a plasticare la traversa.

L’equazione del P.L.V ci porta a scrivere che:

Phθ = Mpθ + Mpθ + Mpθ + Mpθ = 4Mpθ

Il lavoro esterno è in questo caso effettuato dalle forze orizzontali.

Passiamo al calcolo del carico limite di questa seconda configurazione:

_PL2 ^{4Mp h}

Da cui, ricaviamo il parametro che ci permetterà poi di fare il confronto:

_{PL2 * L} ^{Mp = 4L h}

Vediamo ora il 3° meccanismo possibile

In questo caso entrambe le forze compiono lavoro perché sono soggette a spostamenti nella loro direzione. Applicando il P.LV avrò:

Ph θ + _PLθ/² = M_p(θ + 2θ + 2θ + θ) = GMPR

Risolviamo il valore di P_L:

P_L,3 = _GMP/^{h + (L/2)}

Risolviamo di nuovo il parametro per il confronto:

_{R3 • L}/^MP = ₁₂/^{1 + (2h/L)}

Confronto tra i tre meccanismi

Ora andiamo a confrontare le 3 risposte, in modo tale da andare a valutare quale meccanismo si forma. Costruiamo un diagramma in cui riportiamo:

• Quale meccanismo al collasso si formerà in funzione di L/h?
• Per L/h 3 valore del parametro che permette il contratto, ovvero, il meccanismo ②.
• Quando arriviamo al L/h = 1 può formarsi indifferentemente meccanismo 2 che 3; ovvero uno o l'altro dipendendo altri dalle precisioni costruttive, dalle resistenze, ecc...
• Per valori di L/h < 1 e fino a 4 si forma il meccanismo di collasso di tipo 3.
• Quando L/h = 4 può formarsi sia il meccanismo che 3.
• Se L/h > 4 in ogni caso si formerà il tipo di collasso 1.

Schematizzando ho:

• L― < 1 meccanismo '2'
• hL ―  1 meccanismo '2' e 'c'
• hL― < 4 meccanismo '3'
• hL ― > 4 meccanismo '1'

Verifica dell'ammisibilità statica

Facciamo adesso un controllo ovvero.

Facciamo tale verifica nel caso L/h = 2. Avere L/h = 2 significa che avere una condizione geometrica ben precisa, infatti significa tracciare il diagramma dei momenti dei portali. Per tracciare il diagramma noi sappiamo che nelle sezioni 1,3,4,5 è presente una cerniera plastica e quindi il momento plastico. L’unico incognito è il momento nella sezione 2. Possiamo ricavare tale momento mediante l'ausilio della statica, considerando per esempio le condizioni all'equilibrio delle traverse. Si possa applicare al P.L.V al meccanismo che trave delle zone 2-3-4, parte costituita dalle traverse. Su questo meccanismo alla trave avremo:

(...) momento plastico nella cerniera (...)

Dividendo dappertutto per θ possiamo ricavare il Mz:

(...)

Quindi il diagramma del momento è esattamente quello che noi abbiamo tracciato.

Controlliamo allora ben ammissibilità statica: al di sotto del carico concentrazione della cerniera. Abbiamo la verifica su PL/4 quindi possiamo scrivere che:

(...)

Riscriviamo allora le quote x:

(...)

L'ammissibilità statica possiamo allora considerarla verificata, poiché il valore di x è esattamente quello che ci aspettiamo.

Modalità operative

Vediamo ora quali sono le modalità operative da utilizzare in generale.

1. Scegliere le incognite iperstatiche;
2. Tracciare il diagramma di momento della struttura principale Mo;
3. Tracciare il diagramma di momento dovuto alle iperstatiche (incognite) aperti sulla struttura principale Mi;
4. Sommare i diagrammi scegliendo il valore delle iperstatici che in modo che risulti rispettato i teoremi della plasticità:
• M ≤ | Mp | in un numero | M ≤ | Mp | in tutte le sezioni sufficiente a formare un meccanismo di collasso
5. Disegnare il meccanismo di collasso ipotizzato e controllare che ci sia concordanza al taglio tra momenti plastici e rotazioni reali.

Esempio

Applichiamo la procedura precedente al seguente caso:

x : incognita iperstatica;

L'isostatica associata è la seguente:

Vediamo ora il diagramma dovuto alla presenza dell’incognita per statica uteria:

Questo diagramma M_i sovrapposto al precedente M_o, che luogo alla formazione delle cerniere plastiche nelle sezioni in cui pensiamo che si formano. Il diagramma che otteniamo per somma dei 2 è:

Il diagramma sovrastante ci dice che potremmo avere 2 cerniere plastiche, più vale le zone di max momento, questo potevamo aspettarcelo perché la struttura iniziale è una volta iperstatica quindi necessita di 2 cerniere plastiche per arrivare a rotture. Andiamo a cercare dove sono queste cerniere plastiche.

Un primo meccanismo di collasso

Tale meccanismo identifica se la traverse ha un modulo plastico molto maggiore dei montanti e le cerniere vanno a formare all’estremità superiore dei montanti.

Un meccanismo possibile

Tale meccanismo si realizza quando traverse e montanti hanno lo stesso modulo plastico.

Noi dobbiamo modificare il diagramma Mi in modo tale che sommato ad Mo ci porti alla formazione delle cerniere plastiche nei 2 meccanismi che abbiamo appena visto. Quindi dovremo operare in qualche modo lasciandolo composto da tratti lineari, in modo da ottenere questa trasformazione, vediamolo nel seguente caso.

Momento di partenza; momento dovuto all'ipotesi

Il momento plastico adesso lo vogliamo andare a sistemare nel 1° meccanismo, quindi vogliamo farlo pervenire nel punto 2 e nel punto 4. Per fare ciò cosa dobbiamo fare? Dobbiamo fare in modo che il momento in 4 e 2 siano uguali, quindi, vuol dire che il momento in 4 dobbiamo ridurlo e quello in 2 dobbiamo incrementarlo. Allora dobbiamo aggiungere un diagramma di momento che è quello lilla. Sul primo montante è lineare per poi, poi incrocia le tratte in modo da ridurre il M di partenza. Quello in arancione farà il diagramma finale.

Sul secondo meccanismo le cerniere si formeranno in mezz'aria e 8 Sul nodo 4. Portiamo con un diagramma al momento Mo che è quello blu.

Con questo diagramma finale io ho la formazione delle cerniere plastiche nel punto 3 e 4. Quando il numero di incognite iperstatiche aumenta non è possibile procedere con metodi manuali.

Operando sulla struttura principale ed evidenziate le incognite iperstatiche risulta che:

M = Mo + λ _J=1 ⁿ ∑ M_T X_J

Con il teorema statico, in ogni sezione deve risultare che:

-Mp ≤ Mo λ + _J=1 ⁿ ∑ M_{T J} X_J ≤ Mp

In genere occorre indagare solo le sezioni in cui (carichi concentrati ed elementi rettilinei) risulti:

1. Presente lì un carico concentrato;
2. Ampiezza 0 ad un nodo strutturale;
3. Discontinuità del valore del momento limite.

In queste zone dobbiamo aspettarci i momenti plastici e quindi la formazione delle cerniere plastiche.

Per una zona qualunque i-esima in cui si possa formare il Mp, possiamo scrivere che:

M_L = Mo L λ + _J=1 ⁿ ∑ M_ij X_J = i - 1.

Il moltiplicatore vero del carico di collasso (λ^*) coincide con il massimo che la funzione lineare γ = λ può assumere nel rispetto delle disuguaglianze:

- Mp &leq; Mol + λ ∑_j=1ⁿ Mlj . Xj &leq; Mp

Si risolve quindi in un problema di programmazione lineare che comporta l'ottimizzazione della funzione lineare γ = λ con i 2*n vincoli imposti dalle disuguaglianze.

Esempio

15t        15t

Mp⁺ = Mp- = σ_{tot. m} (uniforme lungo la trave)

Vediamo l'isostatica associata:

       15λ       15λ

M1 = 45λ - (Χ |3)

M2 = 45λ - (2Χ |3)

M3 = -Χ

Ora dobbiamo valutare il max valore di λ nel rispetto delle seguenti disuguaglianze:

(10)