Tecnica delle costruzioni - lezione 15

Politecnico di Torino

Appunti Tecnica delle Costruzioni
Anno Accademico 2013/2014
Eleonora Magnotta
Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

26/4/2014

Lezione 15: Plasticità (IV parte)

Teoremi delle plasticità

L'argomento principale della lezione sarà:

1. Teoremi delle plasticità.

Avevamo detto nella scorsa lezione che la struttura in generale si adatta e sceglie i suoi propri n+1 stati di autostressare in modo da sopportare il massimo carico possibile. Vediamo ora di dimostrare ciò che abbiamo appena scritto. Possiamo dire che il collasso reale è controllato stinto dai parametri θ_k, θ_l. Il lavoro nelle cerniere plastiche vale:

L_λ* = ⁿ⁺¹ Σ M_p,l |θ_l|

Dove l’* indica che ci stiamo riferendo al lavoro interno reale, ma corrisponde anche al λ* (massimo possibile dei carichi reali). Se si considera un moltiplicatore λ:

L_u risulta λ* > λ

λ* è allora il più grande moltiplicatore che possiamo determinare nel nostro processo. Possiamo allora dire per quanto riguarda il teorema statico che il carico limite reale è il maggiore tra quelli che soddisfano 1 equilibrio, senza violare le condizioni di plasticità (ovvero le condizioni che abbiamo posto all'inizio). Tale concetto può essere espresso in maniera più sintetica dicendo che: il carico limite è il maggiore tra quelli staticamente ammissibili.

Staticamente ammissibile è un diagramma di momento, ottenuto da condizioni di equilibrio delle strutture, che soddisfi in ogni senso la condizione |M| ≤ M_p. Ottenuto da condizioni di equilibrio delle strutture significa che comunque noi dobbiamo soddisfare la condizione di equilibrio isostatico delle rare nelle struttura su cu. Stiamo operando.

1. Facciamo adesso un esempio:

Diagramma di momento

Il diagramma del momento in figura è il diagramma della sola reazione iperstatica, come se non ci fosse la reazione. Questo è totalmente ammissibile perché se lo vincolo è pluriplane, la trave avrà esattamente il momento che io sono andato a considerare in questo caso. In questa condizione andiamo ora a cercare il carico di collasso: la cerniera plastica si formerà dove io avrò il MFmax, ovvero a PL/4 quindi potrò uguagliare:

M_p = ^PL/₄

Posso allora ricavare il valore limite di PL oltre che:

PL = ^4M_p/_L

Questa è una stima del carico di collasso di quella trave approssimata facilmente per difetto. Proviamo ora a partire con un altro diagramma del momento staticamente ammissibile:

PL/4 - M_p/2 = ricaviamo il carico limite.

PL = ^2M_p/_L

Le stiamo trattando come se fosse un’enorme trave con una luce duplice. Ora la cerniera plastica si andrà a formare nell'appoggio centrale perché è lì che ho il M_p max, è staticamente ammissibile perché io al di sotto di P andrò sempre a carsi, otterrò il MF complanare. Il carico limite trovato ora è da scartare poiché rispetto al precedente ci fornisce un valore minore. Proviamo ora a considerare una 3^° combinazione.

Per avere M_p in quei 2 punti D e B occorre che in corrispondenza del carico noi muoviamo comunque PL/4. Se io prolongo il piùtotorno ad A, in modo da realizzare il diagramma traso pulare, devo dire che la somma del MF + e il MF- devono essere globalmente pari a PL/4.

Scriverò allora che:

_{PL4 = Mp2}

Da questo possiamo ricavare il carico limite che è:

P_L* = ^6M_p/_L

Mettiamo l' * perché questo è il vero carico del collasso reale. Quando usiamo tale procedura dobbiamo stare attenti a: in corrispondenza del carico occorre muoviare il momento relativo alle condizione isostatica per garantire l'equilibrio (cioè risepiere una condizione che pertanto staticamente è ammissibile).

1. Se è vero allora che la 3^° combinazione ci fornisce il carico reale, possiamo allora dire che: il valore limite P_l di Psi raggiunge con due sezioni plasticizzate ed è il max tra quelli esaminati.

Chiaramente un utile riferimento è il diagramma del momento elastico, perché quello ci dice dove dobbiamo attenzionare i max momenti applicati.

Teorema cinetico

Tale teorema viene anche definito come 2⁰ teorema dell'analisi limite. Questa volta partiamo con un approccio diverso: noi sappiamo che plasticizzando n numero sufficiente di sezioni (n+1 cerniere plastiche) una struttura n volte iperstatica può essere trasformata in un meccanismo. Allora possiamo ottenere con questa procedura un meccanismo cinematicamente ammissibile che permetta il grado di libertà. Si può allora eguagliare a tale meccanismo il P.I.V., e trovare quindi il carico che lo rende equilibrato, e quello è il carico limite per la nostra struttura.

Analizzando dunque e trovare il carico che sarà cinematicamente ammissibile è quello cioè che rende equilibrato quel cinematismo con il grado di libertà n, un abbiamo trasformato la struttura con l'introduzione di n+1 cerniere plastiche. Possiamo dunque affermare allora che il carico limite è il minore tra quelli cinematicamente ammessi, perché ogni carico ad esso superiore consente solo ad un meccanismo di collasso ulteriore ottenuto solo con un rinforzo della struttura. La struttura nello sfruttare tutte le sue risorse, localizza le sue cerniere plastiche che sono quelle che danno il max risultato possibile, ma se noi lo obblighiamo con una scel.ta autidente di cerniere plastiche e rompere in un altro modo vuol dire che lo stiamo costringendo ad utilizzare riparte superior alle tue, perché lo stiamo imponendo un meccanismo plasto del collasso diverso da quello che otterrebbe spontaneamente; per fare questo l'unico sistema è di rinforza per certe zone l'unturali. Rinforzando le cerniere le non sicreaste e fini andrà a formare in una zona adiacente.

Il lemma (teorema) di Fenher enuncia che se rinforzasi un sistema (le statico (renta introdurre arm holobilmente, si infonza almeno una reazione) il canco limite non può diminuire. Se lo fisso una configarazione delle cerniere che non è quella vera, vuol dire che ho rinforzato in qualche zona lo struttvpo; conseguentemente il carico limite è superiore a quello reale. Vuol dire che in questa unor dielles conclusioni cumentaliche finalli solo quella cometta porterà al carico di collasso reale e tutte le altre porteranno ad una valutazione del carico di collasso minarece di quello reale. Sintetizzando possiamo altre che il carico limite è il miniretra quelli ottenobli disponendo le cerniere in posizioni arbitrane e calcolando il camico corrispondente ai meccanismo realistato.

Prendiamo nuovimente lo stesso esempio di prima:

_{PL            L}
Θ = tan Θ

Calcoliamo con il P.L.V il canco al collasso:

_PL          ^{Lavoro esterno,} ⅒   _{- Mp 2Θ + MpΘ}⅒    ^{Lavoro interno -} Riceviamo il carico limite:

GMP / PL = L

È proprio il valore che abbiamo trovato in precedenza.

Teorema misto

Se un carico P è cinematicamente e staticamente ammissibile è il vero carico limite.

Staticamente avrei affermato: P ≤ PL

Cinematicamente avrei affermato: P ≥ PL

Quando verifico queste due condizioni allora ho che:

P = PL

Come si può operare allora? Si consideri in pratica una struttura per la quale si abbia una distribuzione staticamente ammissibile dei flettenti. Tale configurazione dei flettenti deve essere tale che M ≤ M_P in un numero di sezioni sufficiente alla formazione di un meccanismo in cui ci siano rotazioni nei le cerniere plastiche. Se le rotazioni in ogni cerniera ha segno concorde e quello del momento il carico considerato è quello di collasso (ammissibilità cinematica).

Se vogliamo invece operare al contrario noi possiamo, trovato un meccanismo di collasso costruire il diagramma del momento corrispondente. Se tale diagramma è ammissibile cioè se M ≤ M_P, allora la soluzione trovata è corretta. Dobbiamo però fare attenti ai segni. Spieghiamolo con un esempio tale concetto:

1. Primo meccanismo di collasso;
2. Secondo meccanismo di collasso;

Il primo meccanismo è quello in cui i montanti sono molto rigidi rispetto alle traverse, con la formazione di 3 cerniere plastiche, alquanto ha un collasso parziale. L'altro ha la formazione di 4 cerniere, in questo caso si ha un collasso completo e montante e traversa devono avere lo stesso ordine di grandezza delle rigidezze. Vediamo quale dei 2 è errato:

Si vede bene che nel nodo 2: MF e Q non vanno d'accordo, quindi questo è sicuramente errato. Vediamo il diagramma di MF corretto:

Rispetto al diagramma che abbiamo individuato prima il MF e le rotazioni Q sono concordati in verso, quindi questo è lo schema corretto.

Riassunto dei concetti

Prima di entrare in alcuni esempi di applicazione del metodo cinematico facciamo un breve riassunto dei concetti: il nostro schema di partenza può essere partire con il teorema statico, quindi partire con una configurazione staticamente ammissibile e analizzare e controllare se essa è anche cinematicamente ammissibile avendo individuato le condizioni di collasso, quindi, partire facendo esattamente il contrario: partire con uno schema cinematicamente ammissibile, cioè individuare in partenza le cerniere plastiche dopodiché una volta applicato il carico di collasso e trovato il valore limite controllare che ci sia l'amissibilità statica, cioè che in ogni sezione M < M_P, e che sia soddisfatto l'equilibrio, nelle singole parti o nel complesso.

Esempi di applicazione del metodo cinematico

Vediamo le modalità operative:

1. Individuare un possibile meccanismo di collasso;
2. Determinare il corrispondente carico limite con il P.L.V.;
3. Verificare che il diagramma di momento ultimo risulti staticamente ammissibile.

Prendiamo la trave semplicemente incastrata.
Θ: parametro che individua il cinematismo; Θ = tan Θ.