Tecnica delle costruzioni II - Piastre

PIASTRE

RIPASSO TRAVE SdC

... solido che si ottiene muovendo una figura piana nello spazio, mantenendosi piana e mantenendosi ortogonale alla traiettoria baricentrica.

Hp di Eulero-Bernoulli: la trave, sotto l'effetto delle azioni esterne, si deforma, ma la sua sezione trasversale resta e trasla mantenendosi piana e ortogonale alla deformata della linea d'asse.

In SdC avevamo cercato il modo di determinare s e e trovate solo le azioni esterne.

1. EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

   • ∂σ_xx/∂x + ∂τ_xy/∂y + ∂τ_xz/∂z + F_x = 0

   • ∂τ_yx/∂x + ∂σ_yy/∂y + ∂τ_yz/∂z + F_y = 0

   • ∂τ_zx/∂x + ∂τ_zy/∂y + ∂σ_zz/∂z + F_z = 0

2. EQUAZIONI DI CONGRUENZA (TH. DI CAUCHY)

   1. Eqx = ∂δx/∂x

   2. γxy = ∂δy/∂x + ∂δx/∂y

   6 equazioni in 3 incognite (x, y, e)

   in generale il sistema è imposto, a meno che le deformazioni non siano assegnate sul corpo chietico.

3. EQUAZIONI LEGAME COSTITUTIVO

   6 equazioni, 0 incognite

Abbiamo quindi 15 equazioni in 15 incognite.

Il ... assicura che se il legame è elastico lineare la soluzione è ed e...

PIASTRE

RIPASSO TRAVI SdC

crea solido che si ottiene muovendo una figura piana nello spazio, mantenendosi piana e mantenendosi ortogonale alla traiettoria baricentrica.

Hp di Eulero-Bernoulli: la trave sotto l'effetto delle azioni esterne, si deforma, ma la sua sezione trasversale resta e trasla mantenendosi piana e ortogonale alla derivata della linea d'asse

In SdC avevamo cercato il modo di determinare σ e ε conoscendo solo le azioni esterne.

1) EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

\(\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz} }{\partial z} + F_x = 0\)\(\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + F_y = 0\)\(\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + F_z = 0\)

3 equazioni, 6 incogniteσ sforziτ simmetrici

2) EQUAZIONI DI CONGRUENZA (Th. di Cauchy)

componenti del tensore di deformazione derivativi dalle derivate prime dello spostamento vettore (9 derivati)controidee di incompatibilità deformativa

sono 6 (+ 3 fronte)1/2 (∂ux/∂y+∂uy/∂y)1/2 (∂ux/∂z+∂uz/∂z)1/2 (∂uy/∂z+∂uz/∂y)

6 EQUAZIONI IN 9 INCOGNITE (3u, 6ε) il generico il sistema è impossibile, a meno che le deformazioni non siano asserragliate ad un centro critico.

3) EQUAZIONI LEGAME COSTITUTIVO

SINTRODURRE IL SLRP...lo per fare altrettantoσ scritto di 6 componenti della deformazioneε in funzione delle stesse 6

6 equazioni, 6 incognite

Abbiamo quindi 15 equazioni in 15 incognite. Il Th. di Kirchhoff

assicura che se il legame è elastico lineare la soluzione [il] ed è unica

Imponendo le Hp. di Eulero Bernoulli si scrivono le soluzioniper l’elemento trave.Ma se mi interessa suddividere s-E di altri elementi,HP: 2. Deformabilità trasversale al piano medio trascurabileHP: 3. PICCOLI SPOSTAMENTI → SI TRASCURA ½Analizziamo ora le 3 componenti dello spostamento diun generico punto P della piastra sottoposta ad una azionegenerica: (x,y) : spostamento lungo x (non è visibile nel disegno)(x,y) : spostamento lungo y (non è visibile nel disegno)&w>(x,y) : spostamento lungo z(x,y) : rotazione nel piano yz (non visibile nel disegno)Cambiamo traslazioni →S_x = u(x;y) – _x(x;y) · zS_y = v(x;y) – _y(x;y) · zS_z = w(x;y)

TH. CAUCHY

Applicando ora le EQUAZIONI DI CONGRUENZA posso determinare lo stato di deformazione:

TERMINI DIAGONALI

• E_xx = ∂u/∂x - z ∂²ψ/∂x² = η_x + z χ_x
• E_yy = ∂v/∂y - z ∂²ψ/∂y² = η_y + z χ_y
• E_zz = ∂w/∂z (abbiamo detto che lo spessore va e' deformabile)

TERMINI SIMMETRICI

• D_xy = ∂5x/∂y = ∂5y/∂x = (∂u/∂y + ∂v/∂x - z ∂²ψ/∂x∂y) = D_m + z χ_xy
• D_yz = ∂5y/∂z = ∂5z/∂y = (∂v/∂y - ∂w/∂x - φ) = /_y