Tecnica delle costruzioni II - Piastre

PIASTRE

RIPASSO TRAVE _SdC

Corpo solido che si ottiene muovendo una figura piana nello spazio mantenendosi piana e mantenendosi ortogonale alle traiettorie baricentriche.

In _SdC verranno cercato il modo di determinare σ e ϵ conoscendo solo le azioni esterne.

1. EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

   _{σxx + ∂Txy/∂y + ∂σxz/∂z + Fx} = 0

   _{∂σxx/∂x + ∂Txy/∂y + ∂σxz/∂z + Fy} = 0

   _{∂σzz/∂x + ∂σzz/∂y + ∂Tzz/∂z + Fz} = 0

   3 equazioni, 6 incognite

2. EQUAZIONI DI CONGRUENZA (TH. DI CAUCHY)

   6 EQUAZIONI IN 3 INCOGNITE (δ_i, ε_ij)

3. EQUAZIONI LEGAME COSTITUTIVO

   6 equazioni, 0 incognite

Abbiamo quindi 15 equazioni in 15 incognite. Il TH. DI KIRCHOFF assicura che se il legame è elastico lineare la soluzione f ed ε unica.

Imponendo le Hp, l'Eulero Bernoulli si riscrivono le soluzioni per l'elemento trave.

Ma se mi interessano solo analizzare ⌀−Є di altri elementi,

def. PIASTRA:

una continuità bidimensionale con superficie media piana che assumiamo come riferimento

Spessore piastre : t = t(x,y) (spessore in generale variabile)

Per proseguire dobbiamo estendere Eulero-Bernoulli alla piastra.

HP 1. Un segmento rettilineo e ortogonale al piano medio della piastra rimane rettilineo e ortogonale alla deformata del piano medio (superfice).

HP 2. Deformabilità trasversale al piano medio trascurabile ovvero spessore costante.

HP 3. PICCOLI SPOSTAMENTI --> SI TRASCURA 1%

Analizziamo ora le 3 componenti dello spostamento di un generico punto P della piastra sottoposto ad un'azione generica:

→ DEFORMAZIONE PIANO MEDIO

spostamento lungo x

spostamento lungo z

v(x,y): spostamento lungo y

(non visibile nel disegno)

φ₁(x,y): rotazione nel piano yz (non disegno)

Cambiando traslazioni e rotazioni risulta →

S_x = u(x,y) - φ_z(x,y) ⋅ z

S_y = v(x,y) - φ_y(x,y) ⋅ z

S_z = w(x,y) [1]

È UN MODELLO CINEMATICO, ABBIAMO BISOGNO DI SPOST. MEMBRANI, TRASVERSALI E 2 CURVATURA

Finora cosa abbiamo fatto:

1. Partendo dell’equazione di Cauchy abbiamo definito il campo delle deformazioni e tramite PLV abbiamo scritto gli sforzi e le azioni esterne in funzione delle componenti geostatiche.
2. Abbiamo scritto le equazioni di equilibrio in Estremi modo di avere il secondo gruppo di eq soddisfatto. A quel punto usiamo le equazioni del legame costitutivo.

Ipotesi iniziale: spostamenti piccoli e trascurabili (1 ordine). Ciò comporta che le azioni di membrana non hanno componenti nel regime flessionale, ovvero non devono contributo al momento flettente e torcente.

Allo stesso modo le forze verticali non hanno componenti nel piano della membrana. Quello che governano regime flessionale & membrana sono disaccoppiate.

Equazioni di equilibrio membranale

(3 equazioni: equilibrio in x, y ed z) I pesi sono uguali ai pesi laterali. c’è dx e y, superficie solo peso x dipende da che lato.

^Εƒ_x: -N_x dy (N_x + ^∂N_x) dx dyj = N_x dx y (N_y + ^∂N_y dy) dx dy = 0

^Εƒ_z: -V_x dy - (V_y + ^∂v_y) (y-x) dx dyj + V_x (y - ^∂v_x dx dy) + v₂ dy = 0

Dunque risolvendo:

1. ^∂N_x + ^∂N_y + n_x = 0 EQ. LUNGO x [1]
2. ^∂N_x + ^∂v_x = 0 EQ. LUNGO y [2]
3. ^∂V_x + ^∂V_y + p = 0 [3]

(Non rientrano FLESSIONI non agendo sul piano LIVELLO 2)

EQ. LUNGO z [1]

Presenza del carico per unità di superficie genera variazioni NORMALI [2]

La 3a eq. non avrebbe contributi (autobilanciati) [3]

Perché le tensioni quadrute sono associabili a quelle [2], e le forze di membranali lungo z sono equilibrati)

Dunque per il bordo libero le cc. risultano:

M_x=0 M_y=0V_xo V_yo=0

(2 cc. per bordo)

Tuttavia sulla sporgenza di ZM_xy non equilibrato che tende a sollevarlo (M_x dimensionamento è una forza).

Se esso è tenuto vincolato, quelle sollecitazioni le prenderebbero gli elementi di supporto

M_x momento toccato per le traviV_x carico sulla trave

METODO DI GRASHOF

PRENDE L’EQ. GENERALE DELLA PIASTRA TRASCURANDO L’ACCOPPIAMENTO ___ nel terrenoe considerando la piastra formata da strisce

Il carico si distribuisceP = P_x + P_y

Devono deformarsi in modo congruenteTrasf. Appropriato: CalcoloLo spostamento in mezzeria che è in comune

In mezzeria: ⁵/₃₈₄ P_x a⁴/ES

Devono essere usuali: P_oa⁴ = P_ob⁴P_x = P_y(^b/_a)⁴

Se a > b —› (^b/_a)⁴ < 1

Il carico maggiore lo prendono le strisce // al lato corto

M_y >> M_x —› L’ARMATURA DEVE ESSERE MAGGIORE NEL LATO CORTO; INNESSERÀ UNA MAGGIORE CURVATURA E QUINDI MAGGIORE MOMENTO