Tecnica delle Costruzioni - appunti lezione

Ricevimento e il cilindro di Saint Venant

Informazioni sul ricevimento

Daniele Pellegrini, D.M. 14-giu.-08 + circolare applicativa. C.A. + progetto nostro vecchio. Pellegrini: giovedì 9.30 - 14.00 ricevimento.

Il cilindro di Saint Venant

Metodo semiinverso → partire dalle condizioni della sollecitazione come se le avessimo già trovate. σ_x = σ_y = τ_xy = 0 → significato fisico: gli elementi paralleli a Z hanno solo uno sforzo di trazione.

T_x = [σ_z τ_xy τ_xz τ_yx σ_y τ_yz τ_zx τ_zy σ_z]. σ_n = T_τ . n → σ_n = Σ_j m_j.

Proiettiamo m = (m_x, m_y, 0) ovvero un elemento piano // all'asse z e quindi σ_n = σ_z m_x + σ_y m_y + τ_xy m_x m_y = 0 per la nostra supposizione iniziale. → non si scelgono tensioni normali.

Proiettiamo z = z e sezioniamo. Dalle relazioni di equilibrio possiamo dire che: Στ_j m_j = ρ_i nel punto P avremo: τ_zx M_x + τ_zy M_y ≠ 0. Se chiamo ξ = (τ_zx, τ_zy) allora τ_x . m ≠ 0 → sono 1 ovvero il vettore tensione tangenziale in corrispondenza delle bande è tangente al bordo. Queste sono le premesse.

Ulteriori dettagli sul cilindro di Saint Venant

Metodo semi-inverso → partiamo dalle condizioni della sollecitazione come se le avessimo già trovate. σ_x = σ_y = τ_xy = 0 → significato fisico: gli elementi paralleli a z hanno solo uno sforzo di tangenza e non normale.

T = [σ_x τ_xy τ_xz τ_yx σ_y τ_yz τ_zx τ_zy σ_z]. σ_n = T x n → σ_n = Σ_j m_j. Poniamo m = (m_x, m_y, 0) ovvero un elemento piano // all'asse z e quindi σ_n = σ_z m_z + σ_y m_y + τ_xy m_x m_y = 0 per la nostra supposta iniziale. → non si scambiano tensioni normali.

Poniamo z = z e sezioniamo. τ_zx M_x + τ_zy M_y = 0. Se chiamiamo Χ = (τ_zx, τ_zy) allora Χ x m = 0 → ovvero il vettore tensione tangenziato in corrispondenza del bordo è tangente al bordo.

Queste sono le premesse. = modulo di elasticità di Young = modulo di Poisson. G = E / 2(1 + ).

Situazione deformativa

Otteniamo quindi la situazione deformativa: ε_z = N / EA = ε_z = σ / E. ε_x = ε_y = -N / EA. E = rigidezza estensionale. Δl = ∫^e₀ ε_z dz = ∫^e₀ N / EA dz = Ne / EA (le sappiamo già che anche A resta costante). Questo rappresenta lo stato di tensione in P col cerchio di Mohr. Attraverso P^* possiamo individuare i punti in cui la tensione tangenziale è massima e la tensione _max si ha su piani a 45° e vale σ / 2 (si trova unendo P^* con i punti di tensione massima).

Piano di sollecitazione e flessione

• Momento flettente: flessione retta quando il momento spina lungo la linea di uno degli assi principali, altrimenti è flessione deviata.

Piano di sollecitazione: piano in cui agisce la coppia è ortogonale col M, la traccia di tale piano sulla sez. trasversale è detto asse di sollecitazione (S). Piano di flessione: dove è contenuto l’asse di simmetria che sarebbe la linea lungo la quale si intreccia l'asse X e la traccia di questo piano sulla sez. trasversale è l’asse di flessione (F).

σ_x spina lungo un asse principale di inerzia → unica componente σ_z che è: σ_z = σ_y / σ_x (formulazione di Navier), da cui ricaviamo che: ε_z = σ_y / ℰ_x. E_x = rigidezza flessionale. 1/ = σ_x / E_x = curvatura.