Tds-teoria dei segnali parte 1

Teoria dei segnali

Segnale: descrizione e classificazione

Un segnale descrive una grandezza. La classificazione dei segnali si basa su diversi criteri:

Classificazione dei segnali

1. Numero di variabili indipendenti:
   • Monodimensionale
   • Multidimensionale
2. Natura della variabile indipendente:
   • Segnali a tempo continuo (segnale continuo) TC es. x(t) ↔ x oppure forme d'onda
   • Segnali a tempo discreto (segnale discreto) TD oppure sequenze X(n) ↔ x[n]
3. Ampiezza del segnale:
   • Segnali ad ampiezza continua: segnali analogici
   • Segnali ad ampiezza discreta: segnali numerici o digitali

Esempi di segnali

Segnale analogico TC

Segnale analogico TD

Teoria dei segnali: ulteriori dettagli

Un segnale descrive una grandezza. La classificazione dei segnali include:

1. Numero di variabili indipendenti:
   • Monodimensionali
   • Multidimensionali
2. Natura della variabile indipendente:
   • Segnale a tempo continuo (segnale continuo) TC es. x(t) ↔ x: t ∈ I_r ∈ ℜ → x(t) ∈ I_x ⊂ 𝕡
   • Segnali a tempo discreto (segnale discreto) TD oppure sequenza X(n) ↔ x[n] X: m ∈ I_m ⊂ ℤ → x(n) ∈ I_x ⊂ 𝕡
3. Ampiezza del segnale:
   • Segnali ad ampiezza continua: segnali analogici
   • Segnali ad ampiezza discreta: segnali numerici o digitali

Esempi

• Segnale analogico TC u(t)
• Segnale analogico TD u₁/2X_(n-1)
• Segnale digitale TC
• Segnale digitale TD

Sistemi di segnali

Sistemi di segnali possono essere reali o complessi:

x(t) ∈ ℝ ⇒ segnale reale

x(t) ∈ ℂ ⇒ segnale complesso (x^* complesso coniugato)

Esempi di segnali deterministici

• "Impulso" o "finestra rettangolare" TC:
• Finestra rettangolare di ampiezza e durata unitaria Π(t) ≡
• 1 |t| ≤ 1/2
• 0 |t| > 1/2

Ma se t = ± 1/2 cosa succede? ⇒ Π(¹⁄₂) = 1/2

• "Finestra rettangolare di ampiezza unitaria e durata N" R_N(n) ≡
• 1    0 ≤ n ≤ N-1
• 0    altrove
• "Gradino unitario" o "funzione di Heaviside" continua:
• u(t) ≡ 1         t > 0
• 0         t

Per t=0:   u(0) = ¹/₂

• "Gradino unitario TD"
• u(m) ≡ 1         m > 0
• 0         altrove
• "Finestra triangolare di ampiezza e area unitaria" Λ(t) TC
• Λ(t) ≡ 1 - |t|         |t| ≤ 1
• 0         altrove

Area:  2 ∫₀¹ Λ(t) dt = 2 ∫₀¹ (1 - t) dt = 2 [ t¹/₁ ]₀ ¹ - 2 [ t²/₂ ]₀ ¹ = 2 - 1 = 1

• - Segnale sinc
• sinc(t) = ^{sen πt}/_πt
• ∫_R |sinc(t)| dt = +∞
• ∫_R sinc(t) dt = 1 → ∫_R sinc²(t) dt = 1

Operazioni sui segnali

Le trasformazioni delle variabili indipendenti nei segnali includono:

• Traslazione in avanti (ritardo) di x(t) → y(t) = x(t + t₀) _{t0 > 0}
• Traslazione indietro (anticipo) di x(t) → y(t) = x(t + t₀) _{t0 > 0}
• Ribaltamento di x(t) → y(t) = x(-t)

Segnale scalato di x(t) → y(t) = x(t/T) oppure y(t) = x(Tt)

• Con T fattore di scala (sui tempi)
• T > 1
• Se T > 1 vi è una compressione, se T < 1 vi è una dilatazione

Nel caso del TD

• x(m) → y(m)=x(mN) con N ∈ ℕ.
• Fattore di compressione: abbiamo una “decimazione” o sottocampionamento
• Espansione di sequenza x(m) y(n) = x(ⁿ/_N) con N ∈ ℕ
• { x(^m/_N) n = kN k ∈ ℤ }
• 0 altrove