Tds-teoria dei segnali parte 1

TEORIA DEI SEGNALI

Segnale: descrive una grandezza

Classificazione dei segnali:

1) numero di variabili indipendenti monodimensionali/dimensionali

2) natura delle variabili indipendenti:

• segnali a tempo continuo (segnale continuo) TC
  • es. x(t) ⟺ x: t∈[t∈R x(t)∈I_x⊂C
  • oppure forma d'onda
• segnali a tempo discreto (segnale discreto) TD
  • oppure sequenza X(n)⟺ x[n]
  • X: m∈J_m⊂Z ⟹ x(n)∈I_x⊂C

3) ampiezza del segnale

• segnali ad ampiezza continua
  • segnali analogici
• segnali ad ampiezza discreto
  • segnali numerici o digitali

Esempi:

• segnale analogico TC
• segnale analogico TD

Segnali digitali

• TC
• TD

Segnali reali e segnali complessi:

• x(t) ∈ ℝ → segnale reale
• x(t) ∈ ℂ → segnale complesso (x^* complesso coniugato)

Esempi di segnali deterministici:

• "Impulso o finestra rettangolare TC

Finestra rettangolare di ampiezza e durata unitaria

• Π(t) ≡
  • 1 |t| ≤ 1/2
  • 0 |t| > 1/2

Ma se t = ± 1/2 cosa succede? → Π(± 1/2) = 1/2

"Finestra rettangolare di ampiezza unitaria e durata N TD

• R_N(n) ≡
  • 1 0 ≤ n ≤ N-1
  • 0 altrove

Esempio 3

Finestra rettangolare centrata in t₀, ampiezza A, di durata T

x(t) = A Π(_{t - t0}⁄_T)

Π(_{t - t0}⁄_T) = { 1 |t| - t₀ | < T/2

        0   altrove

1. z(t) = A Π(_t⁄_T)
2. y(t) = z(t - t₀)

Simmetria

x(t) segnale pari ↔ x(t) = x(-t)

x(t) segnale dispari ↔ x(t) = -x(-t)

x(t) segnale hermitiano ↔ x(t) = x*(-t)

x(t) segnale anti-hermitiano ↔ x(t) = x*(-t)

1. Un segnale x(t) si può scomporre in una parte pari e una dispari: x(t) = x_P(t) + x_D(t) dove x_P(t) ≡ x_p ⇒ [ x(t) = x(t) + x(-t) ]⁄2 x_D(t) ≡ x_Di ⇒ [ x(t) = x(t) - x(-t) ]⁄2

x(t) [ x(t) + x(-t) ]⁄2 + (x(t) - x(-t))₂ [ x(t) - x(-t) ]⁄2 x_P(t) = x(t) + x(-t) - y(t)

2. Si può scomporre in somme di una parte hermitiana e una anti-hermitiana: x(t) = x_H(t) + x_A(t) dove x_H(t) ≡ x_He ⇒ [ x(t) = x(t) + x*(-t) ]⁄2 x_A(t) ≡ x_Ah ⇒ [ x(t) = x(t) - x*(-t) ]⁄2

- x(t) = x(t) + x*(-t) + x(t) = x*(-t) - x(t) 2 [ x(t) = x*(-t) - x(t) ]

per _|z|<z0

Cas_o generale

z=|z|e^jϑ

C=Ae^jϕ

x(m)=A|z|^me^j(ϑ_n+ϕ)

=A|z|^m[cos(ϑ_n+ϕ)+j sin(ϑ_n+ϕ)]

dove Re[x(m)]=A|z|^mcos(ϑ_n+ϕ)

Cas_o ^|z|=1 => z=e^j2πν

con Ω+ pulsazione e ν frequenza

C=Ae^jϕ

fasore discreto

x(m)=Ae^j(ϑ_m+ϕ)

=Ae^j(2πνn-ϕ)

“Segnale Sinusoidale - TD”

x(m)=A cos(2πνm+Φ)=Re[A_e^j(2πνn+Φ)

=A_ecos(2πνm+Φ) = [ A_e²] =A_e^-(2πνn+Φ)

frequenza ν e pulsazione Ω=2πν

ν=ν_e=k (

K quindi deve essere intero

ϑ∈[0;2π)

Ω=ϑ-[(1)/(2)]

esempio

ν=1/2

ϕ=0

x(m)=A cos[(2π)/(n_2π)]

=Ae^jπm

=A(-1)^m

δ_T(t) = ¹/_T Δ_L(^t/_T) delta approssimante della finestra triangolare

δ_T(t) = ¹/_T sinc^k(^t/_T) delta approssimante del segnale sinc

MEDIE TEMPORALI, ENERGIA, POTENZA, FUNZ. CORRELAZIONE

Valore medio temporale

TC ➔ <x(t)>_(t1,t2) = Δ ¹/_t2-t1 ^t₂∫_t1 x(t) dt "tra t₁ e t₂"

TD ➔ <x(m)>_(N1,N2) Δ ≜ ¹/_N2-N1+1 ∑_n=N1^N₂ X(m) è la media aritmetica "tra N₁ e N₂"

ponendo t₁ = -∞ t₂ = ∞ N₁ = -∞ N₂ = +∞ si ha la "media temporale o componente continua".

X_dc = <X(t)> = lim_T➔∞ ¹/_T ^T∫_-T x(t) dt in TC

in TD ➔ x_dc = <x(m)> = lim_N➔∞ ¹/_2N+1 ∑_n=-N^N x(m)

si chiama "componente alternata" ➔ x_qc(.) Δ ≜ x(.) - x_dc

Proprietà

1) "linearità" <a₁x₁(.) + a₂x₂(.)> = a₁<x₁(.)> + a₂<x₂(.)>

2) invarianta temporale <x(t-Δ)> = <x(t)>

X(.) periodico

TC ➔ <x(t)> = ¹/_T ^T∫₀ x(t) dt

TD ➔ <x(m)> = ¹/_N ∑_k=0^N-1 x(k)

esempio

Autocorrelazione di una finestra rettangolare

x(t) = A Π(t/T)

Ex = ∫ |x(t)|² dt = A² ∫ _-T/2^T/2 dt = A²T

γx(τ) = x(t) ⋆ x(t) = ∫ _R x(t) x(t - τ) dt = (x(t - τ): x(t - τ) perché è segnali è usati)

1) τ > T

γx(τ) = 0 (perché x(t) ⋆ x(t - τ) non si sovrappone)

2) 0 < τ < T

γx(τ) = ∫ _τ-T/2^T/2 A² dt = A² [T/2 - τ + T/2] = A² [T - τ]

3) -T < τ < 0

γx(τ) = ∫ _-T/2^τ+T/2 A² dt = A² [τ + T/2 + T/2] = A² [T + τ]

γx(τ) = A²T(1 - |τ|/T) = A²T Λ(τ/T) = Ex Λ(τ/T)

t > 0

τ > 0

t < τ

τ < 0

t > τ | t < 0

t > 0 | t > 0

1

0

αltrimenti

τ ' = max ( 0 , τ )

u(t) u(t - τ) =

1

0

αltrimenti

t > τ '

x_c(x) = e^-2x ∫₀^∞ e^4t dt = e^-2x ( -¹/₄ [ e^-4t]_x^∞ ) e^2x/4 e^-4x' = ¹/₄ e^2(x-2x')

= ∫₀^x e^-2x t > 0 τ '= τ

= ^{I 2}/_{I 2} e^2t t < 0 τ '= ⌀

τ

x_c(x) = ¹/₄ e^2|x|

Causalità

Causa → effetto tra uscita e ingresso.

y(t) = T [ x(t)] → y(t) dipende da x(t) in istanti precedenti o contemporanei all'istante t.

Esempio

• y(m) = b₀ x(m) + b₁ x(m-1) sistema causale
• y(m) = b₀ x(m) + b₁x(m+1)

Filtro HA non causale (per la presenza di x(m+1))

istante m precedente né contemporaneo ma successivo.

Invertibilità

Un sistema è invertibile se e solo se c'è un "sistema inverso" tale che la cascata tra il sistema e il sistema inverso produce come uscita il segnale d'ingresso.

La cascata equivale al "sistema identità".

Esempio

• y(n) = Σ_k=-∞ⁿ x(k) (che è un "accumulatore")
• z(n) = y(n) - y(n-1) = x(n)

Il sistema inverso dell'accumulatore è la differenza prima.

• y(n) - y(n-1) = Δ₁ è la differenza prima.

L'accumulatore è un sistema invertibile.