Riassunto esame Psicometria, prof. Areni, libro consigliato "Elementi di statistica per la psicologia", Ercolani, Areni, Leone

Psicometria

La quantificazione

La psicometria studia la misura di caratteristiche psicologiche. La misura di tali caratteristiche è indiretta, ossia ottenuta mediante inferenze probabilistiche. È proprio la non diretta osservabilità delle caratteristiche psicologiche a rendere cruciali i concetti di validità e attendibilità.

Attendibilità e validità

Attendibilità si riferisce alla precisione dello strumento: ripetendo la misura con lo stesso strumento, questa non deve variare. Tuttavia, ogni misurazione è affetta da errore: definendo X il punteggio ottenuto in un test, questo è composto da una componente di errore (E) e da una parte di punteggio “vero” (V): X = V + E. L’attendibilità, indicata con ρ (rho), è il rapporto fra la componente “vera” del punteggio e la somma delle componenti vera e di errore di misurazione: ρ = V/(V + E). L’indice di attendibilità varia da 0 a 1. Di norma, valori superiori a 0.70 vengono ritenuti accettabili.

Validità denota la capacità della misura di cogliere realmente la caratteristica che interessa:

• Validità di contenuto: capacità dello strumento di rappresentare accuratamente l’insieme di comportamenti legati al costrutto da analizzare (viene appurata dal giudizio di esperti)
• Validità di costrutto: si distingue in:
  • Validità convergente: accordo fra diversi tentativi di misura dello stesso costrutto
  • Validità discriminante: l’opposto della validità convergente, che consiste nel grado in cui i tentativi di misurare costrutti diversi siano effettivamente distinguibili l’uno dall’altro
• Validità di criterio: grado di associazione tra la misura di interesse ed un criterio rilevante:
  • Validità concorrente: associazione tra criterio e misura del costrutto di interesse, misurate contemporaneamente
  • Validità predittiva: associazione tra la misura del costrutto di interesse e il criterio, misurato in un momento successivo (l’associazione indica quanto il costrutto indagato “predice” il criterio)
• Validità nomologica: complesso di associazioni fra un costrutto ed una molteplicità di criteri

Variabili e mutabili

Una variabile è qualsiasi caratteristica che può assumere diversi valori in un dato intervallo. Le variabili si distinguono, oltre che in qualitative e quantitative, anche in continue (età, peso, altezza) e discrete (voto all’esame): le prime possono assumere qualsiasi valore della scala numerica, mentre le seconde possono assumere solo alcuni valori della serie numerica. Se necessario, le variabili continue possono essere trasformate in discrete.

L’opposto della variabile è la costante, un valore che rimane lo stesso per tutte le unità di analisi. Con il termine mutabile (scale nominali) ci si riferisce a caratteristiche non classificabili in termini quantitativi, ma solo qualitativi (sesso, appartenenza regionale).

Scale di misura

• Scala nominale: puramente qualitativo, è il più basso livello di misurazione e rappresenta una semplice categorizzazione. Le categorie sono distinte e si escludono l’una con l’altra, mentre i numeri sono usati come simboli, e pertanto non è possibile effettuare su di essi operazioni matematiche. La regola consiste nell’attribuire numeri uguali agli elementi appartenenti alla stessa categoria, e numeri diversi ad elementi appartenenti a categorie diverse. È quindi possibile includere nella categoria 1 i “maschi” e nella categoria 2 le “femmine”.
• Scala ordinale: una prima forma di quantificazione. I soggetti ai quali viene assegnato lo stesso numero presentano la stessa quantità della caratteristica in esame. Inoltre, i soggetti ai quali viene assegnato il numero 1 presentano una quantità della caratteristica maggiore rispetto ai soggetti ai quali viene assegnato il numero 2, e così via. È quindi possibile rappresentare una relazione di ordine tra le quantità (“maggiore di…”, “minore di…”), e formare un ordine di rango tra i soggetti, ma è impossibile stabilire quanto i soggetti differiscano tra loro.
• Scala a rapporti equivalenti: misura quantitativa che aggiunge oltre alla relazione d’ordine, il concetto di unità di misura costante, che permette di indicare l’esatta distanza tra due soggetti. Le operazioni aritmetiche sono possibili non solo sulle differenze tra i valori della scala, ma anche sui valori stessi. Esiste poi lo “zero assoluto”, ossia la totale mancanza della caratteristica.
• Scala a intervalli equivalenti: ha un livello di misura inferiore alla scala a rapporti equivalenti. Esiste un livello “zero”, ma è uno “zero arbitrario”, dato che non indica la mancanza totale della caratteristica, ma è assegnato come valore minimo su una scala di valori che costituiscono un continuum della caratteristica in esame.

È possibile passare da una scala di livello superiore a una di livello inferiore, ma non viceversa!

Frequenza

La frequenza rappresenta il numero delle volte in cui si verifica un dato evento in un gruppo di altri eventi. La somma di tutte le frequenze F deve essere uguale a N, ossia al totale dei soggetti: ∑F = N.

A volte è utile trasformare la distribuzione di frequenze in distribuzione di frequenze percentuali: F% = (F/N) * 100. Naturalmente, la somma di tutte le frequenze percentuali deve risultare pari a 100.

La frequenza cumulata ci dice invece quanti soggetti/osservazioni hanno un valore X ≤ Xi. Per ogni valore di Xi, si calcola la somma delle frequenze fino a quel valore compreso. L’ultima frequenza cumulata è necessariamente pari a N.

Allo stesso modo è possibile cumulare le frequenze percentuali, ottenendo delle frequenze percentuali cumulate. La sola differenza è che l’ultima deve necessariamente essere pari a 100.

Considerando X=18, n = 2 soggetti hanno punteggio ≤ 18. Considerando X=22, l’83,4% dei soggetti ha punteggio ≤ 22.

Se i diversi valori che X può assumere sono molteplici, è opportuno fare un ulteriore raggruppamento, costruendo intervalli di ampiezza superiore a 1, cioè classi di valori che contengano più valori di X.

Ad esempio, se X è l’età misurata su N = 30 soggetti, è possibile creare degli intervalli che contengono ciascuno 2 valori di X.

Gli intervalli 18-19, 20-21, e così via, si dicono limiti tabulati. In genere si usano intervalli di uguale ampiezza (3, 5, 10) e mutuamente esclusivi. L’ampiezza (a) si calcola aggiungendo 1 alla differenza tra limite superiore e inferiore: a = (lim_s - lim_i) + 1.

Tuttavia, i limiti veri o limiti reali si ottengono aggiungendo 0.5 al limite tabulato superiore e sottraendo 0.5 al limite tabulato inferiore, per dare il senso della continuità.

In questo caso, la prima classe comprende i punteggi fino a 20.50 (X ≤ 20,50), mentre la classe successiva comprende i punteggi maggiori di 20.50, ossia da 20.51 in su (X > 20,50).

Per ogni intervallo occorre calcolare un valore che rappresenta l’intervallo stesso, cioè il punto centrale (X_c), che per convenzione rappresenta la classe. In caso di classi di ampiezza unitaria, X_c corrisponde esattamente al valore X (se X è 19, X_c è 19). Altrimenti, basta calcolare la semisomma dei limiti superiore e inferiore: ad esempio, per l’intervallo 18-19, il valore di X_c è pari a 18,5.

Rappresentazioni grafiche

Le distribuzioni di frequenza possono essere rappresentate graficamente in vari modi:

• Grafico a barre: rappresenta distribuzioni di frequenza di variabili classificate in categorie (scala nominale, scala ordinale, variabili discrete). È formato da una serie di rettangoli (barre), con una base di ampiezza uguale in ascissa, che rappresenta le varie categorie, e una diversa altezza in ordinata, che corrisponde alla frequenza relativa a ciascuna categoria.
• Grafico a torta: ogni spicchio della torta rappresenta la frequenza (di solito percentuale) di una categoria. L’angolo si calcola in base alla formula: ANGLE = (F% * 360) / 100.
• Istogramma: analogo al grafico a barre, ma le barre sono adiacenti. Rappresenta distribuzioni di frequenza per dati misurati su scala a intervalli o a rapporti equivalenti (variabili continue). La base (b) corrisponde al segmento delimitato dai limiti reali della classe: è l’ampiezza della classe. L’altezza (h) è il rapporto tra area e base, dove l’area è la frequenza (F) della classe: HEIGHT = FREQUENCY / WIDTH.
• Poligono di frequenza: rappresenta dati misurati su scala a intervalli o a rapporti equivalenti (variabili continue). Sull’asse delle ascisse viene riportato X_c, mentre sull’asse delle coordinate viene riportata la frequenza (F). Se le classi hanno ampiezza uguale, si possono riportare direttamente le frequenze, mentre se hanno ampiezza diversa, si calcola: HEIGHT = FREQUENCY / WIDTH.
• Ogiva frequenze cumulate: sull’asse delle ascisse si riporta il valore centrale della classe (X_c), e sull’asse delle ordinate la frequenza cumulata (o cumulata percentuale).

Tabelle a doppia entrata

Sono utili nello studio congiunto di 2 variabili misurate su scala nominale (mutabili) o ricondotte a tale misura (scale raggruppate in intervalli). Lo scopo è analizzare come si distribuiscono le frequenze nelle diverse categorie di una variabile secondo le diverse categorie dell’altra.

A partire da una tabella a doppia entrata, è possibile calcolare:

• Frequenze percentuali per riga: le basi sono 85, 55 e 140. In questo caso sono sommabili solo i valori per riga, ed i totali per riga devono risultare uguali a 100. La percentuale per riga di “Casalinghe C” è pari a 20/85 * 100. Invece, il “marginale A” è pari a 50/140 * 100.
• Frequenze percentuali per colonna: le basi sono 50, 40, 50 e 140. Sono sommabili solo i valori per colonna, ed i totali per colonna devono essere uguali a 100. La percentuale per colonna di “Lavoratrici B” è pari a 15/40 * 100. Il “marginale Casalinghe” è 85/140 * 100.
• Frequenze percentuali sul totale: la base è sempre 140. Sono sommabili tutti i valori, per riga e per colonna, ed il totale generale deve risultare uguale a 100. La percentuale sul totale di “Casalinghe B” è pari a 25/140 * 100. Il “marginale Casalinghe” è 85/140 * 100.

Le distribuzioni

I parametri che sintetizzano un insieme di dati grezzi sono la tendenza centrale e la dispersione.

Indicatori di tendenza centrale

La moda è utilizzata in caso di dati qualitativi su scala nominale, ma è un indicatore ambiguo e poco usato (se le frequenze sono tutte uguali non è possibile trovare la moda). In pratica, è il valore di X con la frequenza più elevata in una distribuzione: il valore più comune in un insieme di valori.

L’indicatore di tendenza centrale più adeguato in caso di misure su scala a intervalli o a rapporti equivalenti è la media aritmetica. In caso di dati non raggruppati, si ottiene sommando tutti i valori di X e dividendo per il numero N di osservazioni: X̄ = (∑X) / N.

In caso si parta da distribuzioni di frequenza, si adotta un’altra formula della media aritmetica: X̄ = (∑X * F) / N.

Infine, in caso di dati raggruppati in classi, si adotta la seguente formula: X̄ = (∑X_c * F_c) / N.

Alcune proprietà della media aritmetica possono essere così riassunte:

• La somma di tutti gli scarti è pari a 0: ∑(X - X̄) = 0.
• La somma degli scarti al quadrato è pari al minimo: ∑(X - X̄)² = min.

Un’ulteriore variante è rappresentata dalla media ponderata. In caso avessimo calcolato la media dei punteggi X separatamente su 2 gruppi costituiti da un diverso numero N di soggetti:

• Femmine: N = 10 ; X̄_f = 25
• Maschi: N = 20 ; X̄_m = 30

In questo caso, per calcolare la media generale dei 30 soggetti si deve moltiplicare ciascuna delle due medie per il suo “peso” (la prima è stata calcolata su 10 soggetti, la seconda su 20), sommare questi due valori e dividerli per il totale dei soggetti (30): X̄ = (25 * 10 + 30 * 20) / 30 = 28.33.

Considerando una distribuzione di valori X ordinata in senso crescente, la mediana è quel valore che divide la distribuzione in due parti uguali. In caso di dati non raggruppati, basta ordinare in senso crescente i valori di X e calcolare la posizione che si trova a metà della distribuzione: POS_Me = (n + 1) / 2.

In caso di N = 15 soggetti, il valore di X corrispondente all’8^o posizione è la mediana. In caso di N = 16 soggetti, il valore di X corrispondente alla mediana si trova in posizione 8,5: perciò, il suo valore è dato dalla media dei valori di X in posizione 8 e 9.

In caso di distribuzioni di frequenza, si calcola la POS_Me allo stesso modo. In seguito, si cerca nella colonna delle F_cum, il valore che “contiene” POS_Me, cioè la prima frequenza cumulata maggiore di POS_Me. Infine, si vede a quale valore di X corrisponde la F_cum individuata.

In caso di dati raggruppati in classi, si calcola la POS_Me, ma con N > 50 si pone N al numeratore invece di N+1. Si cerca nella colonna delle F_cum quella che contiene POS_Me, si individua la classe corrispondente e si applica la seguente formula:

Mediana = X_ll + ((n - F_cum,ll) / F_i) * (i),

dove:

• X_ll è il limite reale inferiore della classe che contiene la mediana
• F_cum,ll è la frequenza cumulata della classe precedente a quella che contiene la mediana
• (i) è l’ampiezza della classe che contiene la mediana
• F_i è la frequenza della classe che contiene la mediana

Ponendo come esempio delle classi di ampiezza unitaria:

POS_Me = (30 + 1) / 2 = 15.5

Limiti reali: 4.5 − 5.5

Mediana = 4.5 + ((15.5 - 12) / 7) * 1 = 5.57

A differenza della media, la mediana non è influenzata dai valori estremi.

Quartili, decili e percentili

I quartili sono 3 valori che dividono la distribuzione in quattro parti, ciascuna delle quali contiene il 25% dei soggetti N:

• Q₁: Primo quartile: valore al di sotto del quale si trova il 25% dei dati.
• Q₂: Mediano (50% dei dati)
• Q₃: Terzo quartile: valore al di sotto del quale si trova il 75% dei dati.