Riassunto esame Statistica, Docente Mecatti, libro consigliato Statistica di Base. Come, quando e perché, Mecatti

Uso dei grafici

Grafici e tipi di dati

• Torta - Qualitativo nominale
• Barre - Qualitativo ordinale: es. scuola obbligo < diploma < laurea triennale < titolo post laurea
• Bastoncini - Quantitativo discreto
• Istogramma - Quantitativo continuo
• Scatter plot/grafici a dispersione - 2 fenomeni quantitativi (matrice)
• Grafico a bolle - 2 fenomeni quantitativi (tabella congiunta)

Scale di modalità

1) Qualitative

Si manifestano attraverso attributi o categorie.

• X: Genere
• Y: Squadra
• S: Titolo di studio

• Qualitativo ordinale: rilevabili con scala qualitativa ordinale. Es. scuola obbligo < diploma < laurea triennale < titolo post laurea.
• Qualitativo categoriale: rilevabile con scala qualitativa sconnessa. Es. Sì/No, Vero/Falso, Femmina/Maschio.

2) Quantitative

Si manifestano attraverso numeri o quantità.

• Numero accessi in un dato giorno
• Temperatura massima nel giorno x

• Quantitativo di rapporto: es. numero di accessi ad un sito: 0 (nessuno), 1, 2, 3
• Quantitativo di non rapporto: es. da 0° a 100° dove lo 0° non rappresenta l’assenza ma un valore (non consentono la divisione).

Sotto categorie

• Fenomeni continui: si rilevano mediante la misurazione.
• Fenomeni discreti: si rilevano mediante conteggio/enumerazione. Es. numero di esami registrati, numero furti motorini.

Frequenze e variabilità

La frequenza assoluta di ciascuna modalità osservata xi è il numero di unità statistiche che, fra le N osservate, manifesta quella modalità xi di X.

La variabile statistica è un insieme di k coppie del tipo “modalità frequenza”, le modalità possono avere natura varia mentre le corrispondenti frequenze sono numeri interi positivi o nulli, la cui somma riproduce la numerosità N di U. cΣvs= f ii=1

La frequenza relativa è il rapporto (divisione) fra la frequenza assoluta di xi e la numerosità N. p f ii= N F

Le frequenze cumulate sono la somma delle frequenze assolute o la somma delle frequenze relative iIl.

Il valore centrale si calcola nei fenomeni quantitativi continui quando la frequenza all’interno dell’intervallo è ignota. x x+l Lx =i 2

La densità di frequenza di un intervallo è la frequenza di un intervallo depurata dall’influenza dell’ampiezza. f iΦ =i x x+L l.

Moda, mediana e media aritmetica

La moda è la modalità a cui è associata la frequenza più elevata tra le frequenze relative p. La moda nei fenomeni continui quantitativi continui è sugli intervalli.

La mediana di X è la modalità che, nell’ordinamento, occupa la posizione centrale, divide l’ordinamento in due gruppi ugualmente numerosi.

La media aritmetica è il valore medio conosciuto c1 Σx x f = i iN i=1

Proprietà della media aritmetica:

• Proprietà di internalità: il valore della media aritmetica è sempre compreso tra la più piccola e la più grande delle modalità osservate di X.
• Proprietà di omogeneità: se X e Y sono due fenomeni diversi ma collegati fra loro dalla formula: Y=aX dove a è un qualsiasi numero diverso da 0, si dice che Y è una trasformazione di scala di X; la media aritmetica di Y si ottiene dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione cioè: y x =a x.
• Proprietà associativa: la media di X è sempre raggiungibile dai dati aggregati, basta calcolare la media delle medie delle sottopopolazioni. Si tratta di usare le medie parziali al posto delle modalità di e le numerosità parziali al posto delle frequenze. r1 Σx x N = Σ j jN j=1
• Proprietà di linearità: se X e Y sono due fenomeni diversi ma legati dalla formula Y=a+bX con a e b numeri reali qualunque b diverso da 0, si dice che Y è una trasformazione lineare di X. La media aritmetica di Y si ottiene dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione cioè: y x =a+b x.
• Proprietà di annullamento degli scarti: i valori sopra e sotto media si compensano, cioè se si sommano tutti i k scarti ponderati si ottiene sempre 0. Questa proprietà è valida solo per la media aritmetica. cΣ x x f( )= 0i ii=1
• Proprietà di mantenimento e di equidistribuzione del totale: la somma di tutti i valori di X su tutte le N unità osservate prende il nome di totale di X. cΣ x f di X su U=Totalei ii=1

Variabilità

Si considerano solo i fenomeni quantitativi. La variabilità o dispersione di X è l'attitudine di un fenomeno quantitativo a manifestarsi, sulle N unità di U, con modalità fra loro diverse e distanti.

Il range è una misura assoluta di variabilità, infatti:

• Vale 0 se la v.s. è degenere cioè quando X si manifesta con un'unica modalità, perciò x =x_max min x x
• Assume valori positivi quando X si manifesta con più modalità diverse e perciò . In max min x x questo caso il valore assunto dal range cresce all’aumentare della differenza fra e max min cioè all’aumentare della variabilità di X

Deviazione standard o scarto quadratico medio di X

Misura la variabilità di X considerando la dispersione dei suoi valori intorno al suo valor medio. σ è espresso nella stessa unità di misura con cui è rilevato X e in cui è espressa la media. Ci dice che X si manifesta su U con valori che in media distano da x medio per ±σ.

√ c1 Σσ x x ² f( )= - =¿i iN i=1
√ c1 Σ 2x f x ²-¿i iN i=1

La varianza è una misura di variabilità, vale 0 in caso di assenza di variabilità e assume valori positivi e crescenti all’aumentare della variabilità di X in U. Non è una buona misura di variabilità: l’ordine di grandezza e l’unità di misura sono alterati dal quadrato.

c1 Σ2σ x x ² f( )= - ¿i iN i =1
c1 Σ 2 2x f x-¿i iN i=1

La devianza è una misura di variabilità, vale 0 in assenza di variabilità e assume valori positivi e crescenti al crescere della variabilità. Non è una buona misura di variabilità perché è al quadrato. In più è un totale di quadrati anziché una media perché non essendo divisa per N non è mediata su tutta U.

cΣ2N σ x x ² f( )= -  x i ii=1

Coefficiente di variazione

Il cv è un indice puro cioè senza unità di misura, è confrontabile fra fenomeni con diverso ordine di grandezza e diversa unità di misura oppure rilevati su popolazioni diverse. È inoltre valutabile come percentuale della media.

σcv= x
x =40.625
σ =18.23
cv=0,449

L’età di X presenta variabilità su U che le età dei giurati sono disperse intorno all’età media 40,625 mediamente per ±18.23 anni. La variabilità di X su U è il 44,9% dell’età media. Il cv è risultato minore di 1, cioè non siamo in grado di stabilire se il criterio adottato dagli organizzatori per formare la giuria rispetta la regola “variabilità non inferiore al 50%”.

Tabella di massima variabilità

Per avere la percentuale di variazione di σ in se e non sulla media bisogna ottenere la deviazione max dalla tabella di massima variabilità:

N xi x( )- max f = xi - xi max min

Normalizzazione di σ

σ ← calcolato su tabella osservata
σ ← calcolato su tabella teorica max

Frequenze congiunte e marginali

Le frequenze congiunte sono il risultato della somma all’incrocio della i-esima riga e la j-esima colonna e sono chiamate f_ij. rΣ f =¿ijj=1

cΣ ¿i =1
c rΣ Σ f =Niji=1 j=1

Le frequenze marginali sono la somma della riga o della colonna Frequenze marginali di X. f frequenze marginali di Y. .j f i.

Le frequenze marginali relative di X . Nf i. =¿ NcΣ ¿i=1 c1 1Σ f · N= =1i.