Successioni e continuità, Analisi matematica I

Successioni

Definizione di successione

Si dice successione una qualsiasi applicazione funzione definita in una semiretta di N. Il valore della successione a_n nel punto n si scrive a_n; per indicare l'intera successione invece si scrive {a_n}_n.

Limitatezza superiore

Una successione è limitata superiormente se ∃M∈R : ∀n, a_n≤M. Si definisce estremo superiore di successione, L se solo se ∀n, a_n≤L, ∀λ<L, ∃n: a_n>λ oppure se e solo se ∀n, a_n≤L, ∀ε>0, ∃n: a_n≤L-ε. Le due scritture sono equivalenti e derivano dalla definizione di estremo superiore.

Limite di successioni

Definizione

Diciamo che la successione {a_n}_n ha limite l ∈ R, o più brevemente che {a_n}_n tende a l, se ∀U ε (l), ∃n̅ : ∀n≥n̅, a_n ∈ U. Cioè esiste un intorno di l, da un certo n in poi, a_n appartiene all'intorno. In tal caso scriviamo lim a_n = l oppure a_n → l. Se esiste, il limite è unico. Se a_n e ogni sua sottosuccessione tende allo stesso limite.

Convergenza

Una successione converge a L se e solo se ∀ε>0, ∃n̅: ∀n≥n̅, |a_n - l| < ε.

Divergenza

Una successione diverge positivamente [negativamente] se ∀H∈R, ∃n̅: ∀n≥n̅, a_n >H.

Teoremi su successioni

Limitatezza

Se a_n è R e se H∈R c.k, allora definitivamente HH₁. Ma per hp a_n ≤ b_n, allora b_n ≥ a_n > H, quindi vale la tesi.

Teorema dei carabinieri

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tre successioni tali che def. b_n ≤ a_n ≤ c_n, allora se b_n→ l e c_n→ l anche a_n→ l.

Somma e prodotto di successioni

Se a_n → a e b_n → b, allora {a_n + b_n} ha limite, e ha senso, a + b e {a_n b_n} ha limite, se ha senso, ab.

Reciproco

• Se b_n → l ≠ 0 allora ∃ b_n ≠ 0
• Se l = ± ∞ allora ∃ 1/b_n → 0
• Se l &in; &Ropf; allora 1/b_n → 1/l

Successioni monotone

Una successione {a_n} è strettamente crescente se ∀ n, m, n < m ⇒ a_n < a_m.

Teorema

Ogni successione monotona ha limite. In particolare ogni successione definita crescente ha come limite il suo estremo superiore.

Dimostrazione

Dato x = Sup^a_n; cioé ∀ n, a_n &leq; x; per definizione di estremo superiore ∃ H < x, definitivamente, a_n > H. Quindi ∃ n: a_n > H quindi ∀ n > n: a_n &geq; a_n &geq; H ⇔ H ⇐ ∃ tesi.

Continuità

Definizione

Sia f: A → &Ropf; ∀ x, f è continua in &xmacr; ∃ ∀ {x_n}, se X_n → x ⇒ f(x_n) → f(x).

Proprietà

Se g continua in &xmacr; e g(&xmacr;) ≠ 0 allora anche ¹/_g è continua in &xmacr;. Se f continua in x e g continua in &xmacr; allora anche (g ∘ f) è continua in &xmacr;.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Ogni successione limitata di numeri reali, ha almeno una sottosuccessione convergente.

Dimostrazione

Se a_n è limitata so che ∃d₀, b₀ : d₀ ≤ a_n ≤ b₀. Chiamo I₀ = [d₀, b₀] e chiamo A₀ = {n : a_n ∈ I₀}. So che A₀ è infinito in quanto infiniti valori della successione cadono in I₀.

Utilizzo il metodo di bisezione, chiamo M₀ = ^β₀+d₀/₂ cioè il punto medio di I₀. Se infiniti punti cadono nell'intervallo sinistro allora chiamo d₁ = d₀ e β₁ = M₀, altrimenti chiamo d₁ = M₀ e β₁ = β₀. In ambi i casi ottengo I₁ = [d₁, β₁] e A₁ sempre infinito, perciò P(a₁)A_n infinito d₀ ≤ d₁ ≤ β₁ ≤ β₀ β₁ - d₁ ≤ ^β₀+d₀/₂.

Ripeto n volte la bisezione e ottengo P(n)A_n infinito d₀ ≤ d_n ≤ β_n ≤ β₀ β_n - d_n = ^β₀+d₀/_2ⁿ. Dimostro che P(n) vale per ogni n, tramite il procedimento di induzione, P(n+1)A_n+1 è infinito d_n ≤ d_n+1 ≤ β_n+1 ≤ β_n β_n+1 - d_n+1 = ^β₀+d₀/_2ⁿ⁺¹.

Vedo che α_n è def. crescente perché d_n = inf_an e limitata superiormente da β₀, quindi tende a un limite l. Anche la succ. β_n → l, perché β_n = α_n + ^{β₀ - d₀}/_2ⁿ → l + 0 = l perché 2ⁿ → ∞.

Definisco {a_kn} come sottosuccessione di {a_n}, k_n ∈ A_n, a_kn ∈ I_n per definizione di A_n. In I_n = [d_n, β_n] quindi d_n = α_n ≤ β_n e per costruzione anche α_kn → l quindi è convergente. CVD

Teorema di Cauchy

Una successione di numeri reali converge se e solo se è di Cauchy. Una successione è di Cauchy se ∀ε>0, ∃ nε ∇: |a_n-a_m|<ε.

Funzioni continue

Sia f: A → ∇, x ε A, f è continua in x ε se:

1. ∀ V(f(x)), ∀ x_n → x ⇒ f(x_n) → f(x)
2. ∀ ε>0, ∃ δ>0, ∀ x ε A, |x-x_o|<δ ⇒ |f(x)-f(x_o)|<ε
3. ∀ ε ε I(f(x)), ∀ U ε ε ∀ x ε A ∩ U, f(x) ε V

Limite di funzioni

1. lim_x→xo f = l ⇔ ∀ U ε I_f, ∃ x ε ∇, ∀ x ε domf, x > x ⇒ f(x) ε U
2. lim_x→+∞ f = l ⇔ ∀ U ε I_f, ∃ x ε ∇, ∀ x ε domf, x > x ⇒ f(x) ε M
3. lim_x→+∞ f = l ⇔ ∀ ε>0, ∃ x ε ∇, ∀ x ε domf, x > x ⇒ |f(x)-l|<ε

Funzioni uniformemente continue

Sia f: A →∇, allora è unif. continua se ∀ ε>0, ∃ δ>0, ∀ x₁,x₀ ε A, |x₁-x₀| ≤δ ⇒ |f(x₁)-f(x₀)| <ε.

Funzioni lipschitziane

Sia f: I → ∇, è lipschitziane se ∃ L>0: ∀ x₀ ε A, ∀ x ε domf, |f(x)-f(x₀)| ≤ L. |x-x₀|.

Teoremi su funzioni continue

Teorema di Weierstrass

Sia f: [a,b] → R continua e un intervallo [a,b] chiuso e limitato allora f ha almeno un massimo e un minimo.

Dimostrazione: Per il teorema di esistenza dell’estremo superiore, ∃M=sup f essendo che f è limitata. M può essere +∞ o reale. Se M=+∞ allora ∀n∈N, ∃yₙ ∈ [a,b] : yₙ>n. Se M∈R allora ∀n∈N, ∃yₙ ∈ [a,b] : yₙ > M - 1/n. In ambo i casi yₙ → M perché se M=+∞ allora yₙ > n > n+1. +∞ ; ∃ x∈R, M=yₖ, yₖ=M-n è tutto a M per carabinieri. ∀n, yₙ ∈ [a,b] : f(xₙ)=yₙ allora f(xₙ) → M ∀yₙ però appartiene ad [a,b] chiuso e limitato quindi,

1. f essendo limitata implica che la successione stessa è limitata quindi posso estrarre una sottosuccessione xₙₖ convergente a x per Bolzano-Weierstrass.
2. Chiuso implica che x̄ ∈ [a,b] perciò f è continua anche in x̄.

f è continua su x allora f(xₙₖ) → f(x̄) ma xₙₖ è un estratto quindi anche f(xₙ) → f(x̄). Ma f(xₙ) tende anche a M, quindi, per l’unicità del limite si ha M = f(x̄) = sup f, quindi è anche max f.

Teorema di Heine Cantor

Se f è continua [a,b] chiuso e limitato allora f è uniformemente continua.

Dimostrazione

Per assurdo: Niego che sia uniformemente continua. ∃ε>0; ∀δ>0, ∃x,y ∈ [a,b] |x-y| >0. Teoremi sui limiti valgono ancora confronti e caratteri min ma preso f, g, h tre funzioni nello stesso dominio vale permanenza del segno.