Successioni e continuità, Analisi matematica I

Successioni

Si dice successione una qualsiasi applicazione/funzione, definita in una semiretta di N.

L'elemento della successione di n-esimo punto si scrive a_n, per indicare l'intera successione invece si scrive {a_n}.

Una successione è limitata superiormente se ∃M∈R: ∀n, a_n ≤ M.

Si definisce estremo superiore di successione l se e solo se ∀n, a_n ≤ l, ∀λ λ

oppure se e solo se ∀n, a_n ≤ l, ∀ε>0, ∃N: ∀n>N, a_n ≤ l - ε.

Le due scritture sono equivalenti e derivano dalla definizione di estremo superiore.

Limite di Successioni

Definizione Diciamo che la successione {a_n} ha limite L ∈ R, o più brevemente che {a_n} tende a L, se ∀ε>0, ∃N: ∀n ≥ N, a_n ∈ U.

Cioè definito un intorno di L, da un certo punto in poi, a_n appartiene all'intorno. In tal caso scriviamo lim a_n = L per n→∞ oppure a_n → L.

Se esiste, il limite è unico. Se a_n→L qui vuol dire che tende allo stesso limite.

Convergenza

Una successione converge a L se e solo se ∀ε>0, ∃N: ∀n≥N, |a_n - l| < ε e k con k>0.

Divergenza

Una successione diverge positivamente [negativamente] se ∀H∈R, ∃N: ∀n≥N, a_n > M, k con k>0

Teoremi successivi

Limitatezza

Se a_n ∈ ℝ e ∃ H ∈ ℝ c, allora definitivamente H < a_n < K, in particolare ogni convergente è limitata.

Invece ogni divergente positivamente (negativa) è limitata inferiormente (superiormente).

Permanenza del segno

Se lim a_n ≠ 0 allora a_n ha definitivamente segno costante uguale a quello del limite.

Contrario

Siano {a_n}, e {b_n} due successioni tali che, definitivamente, a_n ≤ b_n ; allora

1. Se a_n → +∞ anche b_n → +∞
2. Se b_n → -∞ anche a_n → -∞

Dimostrazione

Ip: ∀ H ∈ ℝ, def. ∃ n > M per caratterizzazione limite a → +∞

tesi: ∀ H, def. , b_n > M

Ma per hp a_n ≤ b_n, allora: b_n ≥ a_n ≥ M quindi vale la tesi.

Carabinieri

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n}, tre successioni tali che def., b_n ≤ a_n ≤ c_n, allora se b_n, l e c_n l, anche a_n → l

Dimostrazione

• hp₁: def. b_n ≤ a_n ≤ c_n
• hp₂: def. l - ε ≤ b_n ≤ l + ε
• hp₃: def. l - ε ≤ c_n ≤ l + ε

Tesi: ∃ n > 0, def. l - ε ≤ a_n ≤ l + ε

Messo in fila le diseguaglianze

l - ε ≤ b_n ≤ a_n ≤ c_n ≤ l + ε e si ottiene la tesi.

Teoremi su funzioni continue

Teorema di Weierstrass

Sia f: [a,b] → R continua su un intervallo [a,b] chiuso e limitato allora f ha almeno

un massimo e un minimo

Dimostrazione

Per il teorema di esistenza dell'estremo superiore, ∃M=sup f essendo che f è limitata

M può essere, tra i due, reale.

Se M=+∞ allora ∀n∈N ∃y_n∈[a,b]: y_n > n

Se M∈R allora ∀n∈N ∃y_n∈[a,b]: y_n > M - 1/n

In ambedue i casi y_n → M perchè se M=+∞ allora y_n → n → +∞=M e ∃x∈R y_n > M - 1/n è tale

a M per caratterisi

∀n_n ∈ [a,b] f(x_n) = y_n allora f(x_n) → M

{x_n} perciò appartiene ad [a,b] chiuso e limitato, quindi:

1) essendo limitato implica che la successione stessa è limitata quindi posso

estrarre una sottosuccessione x_nk converge a x per Bolzano-Weierstrass

2) chiuso implica che x ∈ [a,b] perciò f è continua anche in x

Se f è continua lo x allora f(x_nk) → f(x) ma x_nk è un'estratta quindi anche f(bk) → f(x)

Ma f(x_n) → anche a M, quindi, per l'unicità del limite si ha

M=f(x) = sup f quindi è anche max f