Successioni di funzioni

Successioni di funzioni

Per ogni n appartenente a N, f : I → R, I è una successione data una funzione: f è una successione di funzioni definite in I. Si può scrivere in vari modi: f_n(x), x ∈ I oppure f_n(x), x ∈ I oppure f_n ∈ {n ∈ N}.

Dato un certo numero appartenente all'intervallo I, la successione x_n converge in esso la successione numerica converge ad esso. (f_n(x)) converge puntualmente in un certo intervallo I' ⊆ I. n converge in ogni punto di I'. Infatti, dato un insieme E = { }, l'insieme E è detto "di convergenza puntuale", esso può anche essere un insieme vuoto. Se non è vuoto, posso definire la funzione limite della successione.

Funzione limite

La funzione limite di una successione di funzioni è definita come, essendo:

lim_{n →∞} f_n(x)

valida per x appartenente all'insieme E, si può anche scrivere f_n converge puntualmente ad f.

Esempi di successioni di funzioni

• f_n(x) = xⁿ, x ∈ R
• f_n(x) = arctan(nx), x ∈ R
• f_n(x) = x + 1/^√n, x ∈ R

Per quel che riguarda la prima successione, il suo limite dipende da come si fissa x, e in particolare si avrà questo risultato:

{ ∞ se |x| > 1
1 se x = 1
0 se |x| < 1
∅ se x ≤ -1

L'insieme di convergenza è quindi pari a (-1, 1), in quanto solo se presa una x in quei valori si ha un risultato che converge, mentre la funzione limite è:

{ 1 se x = 1
0 se |x| < 1

La funzione è continua, ma la funzione limite non lo è, quindi anche se la successione converge puntualmente, non è detto che la funzione limite sia continua.

Per quel che riguarda la seconda successione, si nota subito che se x = 0, allora la funzione è uguale a 0, mentre se andiamo a scrivere in modo particolare la funzione e moltiplichiamo e dividiamo per x avendo:

x arctan(nx)

Il limite dell'arcotangente fratto quella quantità è uguale a 1 per n che tende ad infinito, quindi il risultato finale sarà 1, e quindi è uguale a x. Riscriviamo così la funzione limite:

{ 0 se x = 0
x se x ≠ 0

A differenza della prima successione...