Successioni di funzioni

FUNZIONE LIMITE

La funzione limite di una successione di funzioni è definita come, essendo

( )

lim f x

valida per appartenente all’insieme E, , si può anche scrivere

x n

n →∞

f converge puntualmente ad f .

n ESEMPI DI SUCCESSIONI DI FUNZIONI

n

( )=x

1. ∈

f x , x R

n x

( )=n ∈

f x arctan , x R

2. n n

√ 1

2

( )=

3. ∈

+

f x x , x R

n n

Per quel che riguarda la prima successione, il suo limite dipende da come si

fissa la , e in particolare si avrà questo risultato:

x {

+∞ >1

se x

1 se x=1

( )=

lim f x

n | |

<1

0 se x

n →∞ ∄ se x ≤−1 ]

(−1,

L’insieme di convergenza è quindi pari a , in quanto solo se presa una

1

in quei valori si ha un risultato che converge, mentre la funzione limite è:

x { 1 se x=1

( )=

f x | |

<1

0 se x n

La funzione è continua, ma la funzione limite non lo è, quindi anche se la

x

successione converge puntualmente, non è detto che la funzione limite sia

continua. ∀

Per quel che riguarda la seconda successione, si nota subito che , se

n

, allora la funzione è uguale a 0, mentre se andiamo a scrivere in modo

x=0

particolare la funzione e moltiplichiamo e dividiamo per avendo:

x

x

x arctan n

x

n

Il limite dell’arcotangente fratto quella quantità è uguale a 1 per n che tende

ad infinito, quindi il risultato finale sarà , e quindi è uguale a ,

x∗1 x

riscriviamo così la funzione limite:

{

0 se x=0

( )=

f x x se x ≠ 0

A differenza della prima successione, la funzione limite è continua, E è uguale a

, dato che converge sempre.

R

Passiamo alla terza successione, notiamo che per che tende all’infinito,

n 2

quello che rimane sotto alla radice è semplicemente , quindi il risultato è

x

| | ∀

¿ in ogni caso. La funzione limite è , in questo caso la

x∨¿ x

x

funzione è unica e continua, ma non derivabile in ogni punto, E è uguale a R,

dato che converge sempre.

Si è visto che continuità e derivabilità non sono trasmesse alle funzioni limite,

per trasmetterle va introdotto il concetto di convergenza uniforme.

CONVERGENZA UNIFORME

f

Una successione di funzioni si dice che converge ad uniformemente 

f

n

( )

∀ ∈ (x)

x E , f x → f , si consideri quindi la definizione di limite in questo modo:

n | |

( )−f ( )

∀ ∈ ∀ ∃ ∈ ∀

>0, <ε

x E , ε ń N : n> ń , f x x

n

In questo modo, la quantità dipende sia da che da , praticamente

ń ε x

non vale per tutta la funzione, se non dipende da quella quantità, la

x

successione si dice che converge uniformemente alla funzione , si riscriva

f

così: | |

( ) ( )

∀ ∃ ∈ ∀ ∀ ∈

>0, −f <ε

ε ń N : n> ń , f x x , x E

n

L’ultima condizione va a destra, quindi il tutto non dipende più da .

x

Questa è una rappresentazione grafica della convergenza uniforme, il grafico di

f ( )

tende ad appiattirsi fino al grafico di , se descrivono

( f x ± ε

f x)

n

un’area, a seconda della epsilon la successione delle funzioni sarà compresa

nell’area compresa fra le due curve.

Proposizione: caratterizzazione delle successioni uniformemente convergenti.

f

Sia convergente puntualmente ad in E, sia A un sottoinsieme di E e

f

n

f convergente uniformemente ad in A, questo avviene :

f

n ( )−f

∃ ∀ −f [¿ ¿ (x)∨¿+ ]

ń : n> ń ,≤funzioni f sono limitate∈A f x ∞ per n> ń

1) n n

A

( )−f ( )∨¿risulta

¿ =0

f x x lim M

n n

2) n →+∞

¿

= ¿

Posto M A

n

Teorema di continuità del limite:

f

Se è una successione di funzioni continue, anche lo è, scritto in

f

n

simboli: { ∈

f → f uniformemente∈I , sia x I

f è continua∈x ← n 0

0 ∀ n∈ N , f è continua∈ x

n 0

n

Questo teorema dimostra come non abbia convergenza uniforme.

x

Se infatti prendiamo la sua funzione limite, il suo E ed i suoi grafici, notiamo

che più l’indice n cresce, più la funzione assomiglia ad una quadra e si

−1< <1

appiattisca fino a diventare 0 per , ed 1 per , tuttavia la

x x=1

convergenza non è uniforme poiché rimane l’1 da fuori come altra parte della

funzione, se prendessimo un numero avremmo:

a :0< a<1

| |

| |

| | ( ) ( )

−f

f x x

[ ] n

( )−f ( )

<1,∈ −a =¿ = = ¿

0<a , a f x x x , si prenda M n

n n