Successioni, Analisi matematica I

Limiti e successioni

Definizione di successione

Si chiama successione una qualsiasi funzione avente dominio discreto.

Definizione di discreto

Una successione è discreta se esiste il successivo N+1, cioè dato N esiste l'intero successivo N+1. Gli insiemi IN e Z sono discreti. Tra un intero e il suo successivo non ci sono altri numeri.

n     n+1     n+2

Successioni

Una successione a_n ∈ D ⊂ IN → ℜ. In generale, n ∈ ℝ → a_(n) = a_n.

Ci sono 2 modi per assegnare una successione:

1. Formula esplicita

Es: a_n = n + 5. Se voglio calcolare il 20^o termine a₂₀ = 20 + 5. In questo caso, il calcolo diretto non richiede termini precedenti.

2. Ricorsione

Es: { a_n+1 = F(a_n)    { a_n+1 = 3 - a_n²    a₃₀?    a₁, a₂, ... a₄₈    a₀     a₀ = 2. Per calcolare, sono necessari i termini precedenti.

Le successioni per ricorsione non rispettano il carattere discreto del dominio: n^n-1 ∋    SOLO DEFINITO SU IN, NON SU ℝ, DISCRETO.

Grafico

y (interi latini) 0 a₅    a₄    a₃    a₂    a₁    a₀    0    1    2    3    4    5    6    7    8    n

Limiti di funzioni e successioni

Definizione

Si chiama successione una qualsiasi funzione avente dominio discreto. Il dominio è discreto se esiste il successivo N+1, cioè dato N esiste l'intero successivo N+1.

Gli insiemi IN e Z sono discreti. Tra un intero e il suo successivo non ci sono altri numeri.

Successsioni

Una successione a_n ∈ D ⊂ IN → ℝ. Ci sono due modi per assegnare una successione:

1. Formula esplicita

Es: a_n = n+5. Per calcolare il 20^o termine a₂₀ = 20+5 a_n = 25. Calcolo diretto, non servono termini precedenti.

2. Ricorsione

Es: { a_n+1= F(a_n) { a_n+1 = 3 - a²_n a₃₀? a₁, a₂, ... a₁₈ a₀ a₀ = 2. Per calcolarlo servono i termini precedenti.

Le successioni per ricorsione non perdono il carattere discreto del dominio, n = n +1 → SOLO DEFINITO SU IN NON SU ℝ, DISCRETO.

Grafico (Immagini)

Obiettivo: Studiare se quando 'n diventa grande' n → +∞

Definizione

Si dice che una proprietà P_n che dipende da un n, è vera definitivamente se è vera per n → +∞, ossia se esiste un indice N ∈ IN tale che P_n è vera per n > N.

Es: P_n: n + 5 > 100 è vera definitivamente perché è vera per N > 95.

Es: a_n = a_n + 6 / n, n > 1, n ∈ IN. Cosa succede se n → +∞?

Grafico

f(x) = x + 6 / x; f(x) = 6 / x + 1. Sembra che per n → +∞ i valori di a_n si avvicinano a 1. Asintoto della retta orizzontale = 1.

Tabella

Misuriamo la distanza di a_n da 1 cioè |a_n-1|, ci aspettiamo che questa distanza sia sempre più piccola. Quanto piccola diventa questa distanza? Ad esempio, si impone di 10^-1 (NO in generale).

Esiste un indice N₁ tale che |a_n-1|<10^-1 se n > N₁.