Successioni, Analisi matematica I

LIMITI

FUNZIONI

SUCCESSIONI

DEFINIZIONE: Si chiama successione una qualsiasi funzione avente dominio discreto.

DISCRETO: esistenza del successivo N+1, cioè dato N esiste l’intero successivo N+1.

Gli interi IN ⊂ ℤ sono discreti, la parte dei numeri senza cifre.

SUCCESSIONI a. D ⊂ IN → ℝ

a_n= a(n)= a_n

Ci sono 2 modi per assegnare una successione:

1. FORMULA ESPLICITA

es: a_n= n + 5 se voglio calcolare il 20° termine a₂₀= 20 + 5 a₂₀ = 25 Calcolo diretto, non servono termini precedenti.

2. RICORSIONE

es:

{ a_n+1 = f(a_n)

{ a₀ = 2

Per calcolare servono i termini precedenti.

• a_n+1 = 3 - a_n²
• a₀ ` ? a₁, a₂, ... a₁₃

Le successioni per ricorrenza non rispettano il carattere discreto del dominio n - n + 1

(Solo definito su IN non su IR, discreto.)

GRAFICO

OBIETTIVO: Studiare un quando "n diventa grande"

acc n → + ∞

DEFINIZIONE:

Si dice che una proprietà P(n) che dipende da un in dice n è vera DEFINITIVAMENTE se è vera per n→∞, ossia se esiste un indice N∈N tale che P(n) è vera per n>N.

ES: p.n: n5>100 è vera definitivamente perchè è vera per N>95.

[0 N} → ∞ PALSA N VERA

ES: aₙ = n+6, n∈N

Come accade se n→ +∞?

GRAFICO

• f(x)=(x+6)/x
• (x+6)
• x>0
• f(x)=6/x

Sembra che per n→ +∞ i valori di aₙ si avvicinano a 1.

ASINTOTO DEL PERBOLE = 1

lim nⁿ⁺¹ + 0 → 0 V a_n > 0

SUCCESSIONE DIVERGENTE TIPICA

VERIFICA: ∀M > 0    nⁿ > M DEFINITIVAMENTE?

Si verif. se    n > M^1/n

n ≥ M ←→ n > M^1/n?

n = M PUNTO IN CUI RAGGIUNGO QUOTA M

M ≠ M ←→ n = M^1/n

DEFINIZIONE:

Una successione a:_N→IR si dice OSCILLANTE o INDETERMINATA se non è ne convergente ne divergente.

ESERCIZIO    a_n = (-1)ⁿ    ∀ n ∈ N

TIPICA SUCCESSIONE INDETERMINATA

DEFINIZIONE:

Una successione ammette limite

• FINITO quando esce e
• INFINITO quando esce e

(C) CONVERGENTE    DIVERGENTE (D)

Una successione non ammette limite quand’è INDETERMINATA

Una successione è LIMITATA quando    ∃ A, B ∈ IIR: A ≤ a_n ≤ B ∀ n ∈ N

Una successione può essere NON LIMITATA

Dimostrazione:

Si potrebbe dimostrare usando la definizione. Mi dicono una dimostrazione diversa

q = ₁/^a è: 9 = ₁/³ q = ₁/³ = ₁/³

a_n = _(¹/a)ⁿ = 1 / (4/9)ⁿ

lim a_nⁿ = lim a_n^an = lim 1 / pⁿ

0 < 2 < ( q ) = 9 = (*)

• 1 < ( q )
• 9 = 0 : O 0^0 ∀n ∈ N

lim a_n = 0

s) -1 < q < 0

es. q = ₁/² a_n = (₁/²)ⁿ

1. lim a_n = 0 n pari

q = (_-1/ⁿ) = -1

lim a_nⁿ partire a 0 perché o