Strutture iperstatiche - Esercizi

SISTEMA ISOSTATICO ASSOCIATO

SCHEMA "O"

MOMENTO FLETTENTE "M₀"

M₀(AB) = -FE

M₀(BD) = -FE + ^F⁄₂x

SCHEMA "1"

REAZIONI VINCOLARI

MOMENTO FLETTENTE "M₁"

M₁(BD) = 1 - ¹⁄_2ℓ x

M₁(BC) = -1 + ¹⁄_2ℓ x

MOMENTO FLETTENTE

FR 0,6FR 0,4FR 0,1FR

SCHEMA "3"

REAZIONI VINCOLARI

MOMENTO FLETTENTE "M₃"

M₃(AB) = 3ℓ - x

M₃(BF) = 2ℓ - x

M₃(FG) = ℓ - x

M₃

1,2FL

0,6FL

M(A) = -0,3FL

M(B) =

M(C) = -0,15FL

M(D) = 0

M(E) = -0,35FL

M(F) = 0,3FL

0,2FL

0,3FL

0,3FL

0,2FL (1:3)

Schema "2"

Reazioni Vincolari

(VA HA MA) (VB HB MtB)

Tratto CB

HB = 0

Tratto AB

{ VA = -1/l HA = 0 Mta = 0 MA = -1/2

Sistema Equivalente

1/l 1/l

Momento Flettente M_f²

M_f²(BA) = -1/l x

M_f²(CB) = 1 - 1/l x

TRATTO 4-5

S_x^4-5 = S_x^1-5 (ξ₁ - ^α⁄₂) ξ₃ 2θ (^α⁄₂ - ^ξ₃⁄₂)

S_x^4-5 = - ^α2⁄₄ ξ₃ (α - ξ₃)

C = (- ^kα2⁄₄ K ξ₃ (α - ξ₃))¹⁄₂

⁽⁵⁾ τ = - ^kα2⁄₈ (ξ₃ = 0)

⁽⁷⁾ τ = - ^kα2⁄₄ (ξ₃ = ^α⁄₂)

⁽⁴⁾ τ = - ^{k α2}⁄₈ (ξ₃ = α)

SCHEMA "3"

MOMENTO TORCENTE M^t₃

M^t₃(AB) = -1

M^t₃(CB) = -1

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

TRATTO AB → Δv = ∫₀^ℓ ( ℓ - x ) ( -9x²/2 - 2qℓ² + 2qx ) ^dx/_EI + ∫₀^ℓ ( ℓ - x )² x₁/_EI dx +

  ∫₀^ℓ ( ℓ - x ) ( 2ℓ - x ) x₂/_GJt dx + ∫₀^ℓ ( a/2 ) ( -9qℓ + qa/2 x ) ^dx/_GJt + ∫₀^ℓ ( a/2 )² x₁/_GJt dx +

  ∫₀^ℓ ( -a/2 ) ( a/2 ) x₂/_GJt + ∫₀^ℓ ( -a/2 ) ( -1 ) x₃/_GJt dx

Schema Isostatico Equivalente

Tratto BD

Schema "O"

Reazioni Vincolari

Momento Flettente (BD)

^qe2⁄₂

M^F_o(BD) = -qe²⁄₂ + qel - qx²⁄₂

M^F_o(DB) = -9x²⁄₂

1) -\(\frac{h}{EA} = - \frac{q \ell^4}{8EI} - \frac{q \ell^4}{3GJt} + \frac{2 \ell^3}{3EI} x_4 + \frac{5 \ell^3}{6EI} x_2 + \frac{q \ell^4}{2 GJt} x_4 + \frac{\ell^3}{GJt} x_1

- \frac{h}{EA} = - q \ell^4 \left(\frac{11}{4EI} - \frac{1}{2GJt}\right) + x_1 \ell^3 \left(\frac{2}{3EI} + \frac{1}{GJt}\right) x_2 + \frac{5 \ell^3}{6EI} x_2 + \frac{\ell^3}{GJt} x_1

2) Lve = 0

Lve = \(\int_{0}^{\ell}( \ell + x )(-q \ex ) dx + \int_{0}^{\ell} x_1 ( \ell + x ) x dx + \int_{0}^{\ell} x_2 ( \ell + x ) ^ 2 \right dx + \int_{0}^{\ell} x_2 x^2 dx = \)

\(= \int_{0}^{\ell}(- q \ex^2 - q x^2) dx + x_1 \int_{0}^{\ell} ( \ell x + x^2 ) dx + x_2 \int_{0}^{\ell} ( \ell^2 + x^2 + 2 \ell x ) dx =\)

\(= \left[- q \ell x^2 - q \ell x + x_1 \ell x^2 + x_1 x \right]_{0}^{\ell}\left[x_2 \frac{\ell^2}{EI} +x_2 \right]_{0}^{\ell}+

\(+ \left[ \frac{x^3}{3EI} \right]_{0}^{\ell}\)

2)0 = -\frac{5}{6} \frac{q \ell^4}{EI} + \frac{5 \ell^3}{6EI} x_1 + \frac{8 \ell^3}{3EI} x_2

\left(- q \ell^4 \left(\frac{11}{4EI} - \frac{1}{2GJt}\right) + x_1 \ell^3 \left(\frac{2}{3EI} + \frac{1}{GJt}\right) + \frac{5 \ell^3}{6EI} x_2 + \frac{\ell^3}{GJt} x_1 = - \frac{h}{EA}\right)

\left(- \frac{5 q \ell^4}{6 EI} + \frac{5 \ell^3}{6 EI} x_1 + \frac{8 \ell^3}{3EI} x_2 = 0\right)

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

TRATTO AB

L_vi = ∫₀^l̅[(l̅-x)(-³/₂ ql̅²qlex) dx/_EI + ∫₀^l̅ (l̅-x)² x₁ dx/_EI + ∫₀^l̅ (l̅-x)(l̅-x) x₂ dx/_EI +

+ ∫₀^l̅ (-a+d)(qld) dx/_GJt + ∫₀^l̅ [-(a+d)]² x₁ dx/_GJt + ∫₀^l̅ (-(a+d)(2a+d) x₂ dx/_GJt dx=

= ∫₀^l̅ [-³/₂ ql̅³ - qle² + ³/₂ ql̅² + ql̅x²]dx/_EI + ∫₀^l̅ [l̅² - l̅x - 2lx) x₁/_EI dx + ∫₀^l̅ (2l̅² - lx - 2lx + x²) x₂ dx/_EI

+ ∫₀^l̅ [- qld_a - qld_l²dx/_GJt + ∫₀^l̅ (a²+d² + 2ad) x₁ dx/_GJt + ∫₀^l̅ (-2a² + ad - 2ad + d²) x₂dx/_GJt

= [³/₂ ql̅³-ql̅² x²/2 + ³/₂ ql̅x²/4 + qel̅x³/3]∫₀^l̅ 1/_EI + x₁/_EI ∫₀^l̅ [lx²+x³/3-lx²]∫₀

+ x₂/_EI ∫₀^l̅ [2lx² - l̅x² + lx₂/3] + [- qldax - qld² x²]∫₀^l̅ 1/_GJt +

+ x₁/_GJt ∫₀^l̅ [a²x + d²x + 2ad x] + x₂/_GJt[ - 2a² x + adx - 2adx + d²]

= -¹¹/₁₂ql̅⁴/_EI + x₁ l̅³/_3EI + x₂ 5/6 l̅³/_EI - qe²d(a+d)/_GJt + x₁ l(a+d)²/_GJt +

+ x₂/_GJt (-2a² l̅ - adl̅ + d²)

SCHEMA "O"

Tratto CB

Reazioni Vincolari

• V_B = qℓ
• H_B = 0
• -M_B - qℓ²/2 = 0

• V_B = qℓ
• H_B = 0
• M_B = -qℓ²/2

Torsione Della Sezione

La sezione è 3 volte connessa:

c = mt+1=2+1=3

Si ipotizza che il momento torcente si ripartisca tra i due circuiti e q₁ e q₂ rappresentano i flussi delle tensioni tra i due circuiti

• Ω₁ = a²
• Ω₂ = 2a²

M_t = Mt₁ + Mt₂ = 2q₁Ω₁ + 2q₂Ω₂ → Equilibrio (Teorema di Bredt)

∮_Ci ζ_zδ ds = 2GΘΩ_i → Congruenza (Teorema di Stokes)

Quindi:

• M_t = 2q₁a² + 4a²q₂
• ∮_C1 ζ_zδ ds = ∮_C2 ɡ^(cδ)/ɡ_(cδ) ds = ɡ₁/δ a + ɡ₂/δ a + ɡ₂/δ a + (ɡ₁ - ɡ₂)/2δ a = 2GΘa²
• ∮_C1 ζ_zδ ds = ∮_C2 ɡ^(cδ)/ɡ_(cδ) ds = ɡ₂/δ · 2a + ɡ₂/δ 2a + ɡ₂/δ a + (ɡ₂ - ɡ₂)/2δ a = 4GΘa²

• q₁ = 13M_t/86a²
• q₂ = 15M_t/86a²
• Θ = M_t/GΘ = 86/19Θa³